Почти комплексное многообразие

В математике , почти комплексное многообразие является гладким многообразием оснащен гладкой линейной сложной структурой на каждом касательном пространстве . Каждое комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но есть почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными многообразиями. Почти сложные структуры имеют важные приложения в симплектической геометрии .

Эта концепция принадлежит Чарльзу Эресманну и Хайнцу Хопфу в 1940-х годах.

Формальное определение [ править ]

Пусть M - гладкое многообразие. Почти комплексная структура J на М представляет собой линейную сложную структуру (то есть линейное отображение которые квадратов к -1) на каждом касательном пространстве многообразия, которое изменяется плавно на многообразии. Другими словами, мы имеем гладкую тензорное поле J от степени (1, 1) такое , что , рассматриваемое как векторное расслоение изоморфизмом на касательном расслоении . Многообразие с почти комплексной структурой называется почти комплексным многообразием . ${\ displaystyle J ^ {2} = - 1}$ ${\ Displaystyle J \ двоеточие TM \ to TM}$

Если M допускает почти сложную структуру, она должна быть четномерной. Это можно увидеть следующим образом. Пусть М является п - мерное, и пусть J : ТМ → ТМ быть почти комплексная структура. Если J ² = −1, то (det J ) ² = (−1) ⁿ . Но если M - вещественное многообразие, то det J - действительное число, поэтому n должно быть даже, если M имеет почти комплексную структуру. Можно показать, что он тоже должен быть ориентируемым .

Простое упражнение по линейной алгебре показывает, что любое четномерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Следовательно, четномерное многообразие всегда допускает поточечный тензор (1, 1) -ранга (который является просто линейным преобразованием на каждом касательном пространстве) такой, что J _p² = −1 в каждой точке p . Только когда этот локальный тензор может быть скомпонован для глобального определения, точечно-линейная комплексная структура дает почти сложную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность такой склейки и, следовательно, существования почти комплексной структуры на многообразии M эквивалентнаредукция структурной группы касательного расслоения с GL (2 n , R ) на GL ( n , C ) . Таким образом, вопрос о существовании является чисто алгебраическим топологическим вопросом, и он довольно хорошо понят.

Примеры [ править ]

Для любого целого n плоское пространство R ^{2 n} допускает почти сложную структуру. Пример такой почти сложной структуры (1 ≤ i , j ≤ 2 n ): для четного i , для нечетного i . $J_{ij}=-\delta _{i,j-1}$ $J_{ij}=\delta _{i,j+1}$

Единственные сферы, допускающие почти сложные структуры, - это S ² и S ⁶ ( Borel & Serre (1953) ). В частности, S ⁴ нельзя придать почти комплексную структуру (Эресманн и Хопф). В случае S ² почти сложная структура происходит от честной сложной структуры на сфере Римана . 6-сфера S ⁶ , если рассматривать ее как набор мнимых октонионов с единичной нормой , наследует почти сложную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, имеет ли он сложную структуру , известен какПроблема Хопфа, по Хайнцу Хопфу . ^[1]

Дифференциальная топология почти комплексных многообразий [ править ]

Подобно тому , как сложная структура на векторном пространстве V допускает разложение V ^C в V ⁺ и V ^- (на собственные подпространства из J , соответствующих + I и - I , соответственно), так что почти комплексная структура на М допускает разложение комплексифицированное касательное расслоение TM ^C (которое является векторным расслоением комплексифицированных касательных пространств в каждой точке) на TM ⁺ и TM ^- . Участок TM ⁺ называется векторным полем.типа (1, 0), а сечение TM ^- векторное поле типа (0, 1). Таким образом, J соответствует умножению на i на (1, 0) -векторных полях комплексного касательного расслоения и умножению на - i на (0, 1) -векторных полях.

Подобно тому , как мы строим дифференциальные формы из внешних степеней в кокасательном расслоении , мы можем построить внешние силы комплексифицированного кокасательного расслоения (что канонический изоморфно расслоение двойственных пространств комплексифицированного касательного расслоения). Почти комплексная структура индуцирует разложение каждого пространства r -форм

\Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,

Другими словами, каждое Ω ^r ( M ) ^C допускает разложение в сумму Ω ^{( p , q )} ( M ), где r = p + q .

Как и в случае любой прямой суммы , существует каноническая проекция π _{p , q} из Ω ^r ( M ) ^C в Ω ^{( p , q )} . Мы также имеем внешнюю производную д , которая отображает Ω ^г ( M ) ^C , чтобы Ом ^{г + 1} ( М ) ^C . Таким образом, мы можем использовать почти сложную структуру для уточнения действия внешней производной до форм определенного типа

\partial =\pi _{p+1,q}\circ d

{\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d

так что это отображение, которое увеличивает голоморфную часть типа на единицу (принимает формы типа ( p , q ) в формы типа ( p +1, q )), и является отображением, которое увеличивает антиголоморфную часть типа одним. Эти операторы называются операторами Долбо . $\partial$ ${\overline {\partial }}$

Поскольку сумма всех проекций должна быть тождественным отображением , заметим, что внешняя производная может быть записана

d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\dots .

Интегрируемые почти сложные структуры [ править ]

Каждое комплексное многообразие само является почти комплексным многообразием. В локальных голоморфных координатах можно определить отображения $z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }$

J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}

(как при вращении π / 2 против часовой стрелки) или

J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.

Легко проверить, что эта карта определяет почти сложную структуру. Таким образом, любая комплексная структура на многообразии порождает почти сложную структуру, которая называется «индуцированной» сложной структурой, а комплексная структура называется «совместимой с» почти комплексной структурой.

Обратный вопрос, подразумевает ли почти сложная структура существование сложной структуры, гораздо менее тривиален и в целом неверен. На произвольном почти комплексном многообразии всегда можно найти координаты, для которых почти комплексная структура принимает указанный выше канонический вид в любой заданной точке p . В целом, однако, не удалось найти координаты так , что J принимает канонический вид на весь район от р . Такие координаты, если они существуют, называются «локальными голоморфными координатами для J». Если M допускает локальные голоморфные координаты для J вокруг каждой точки, то они вместе образуют голоморфный атлас дляМ придавая ей сложную структуру, которая , кроме того индуцирует J . Тогда J называется « интегрируемым ». Если J индуцирован сложной структурой, то он индуцирован уникальной комплексной структурой.

Для любого линейного отображения A на каждом касательном пространстве M ; т. е. A является тензорным полем ранга (1, 1), тогда тензор Нейенхейса является тензорным полем ранга (1,2), заданным формулой

N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,

или, для обычного случая почти комплексной структуры A = J такой, что , $J^{2}=-Id$

N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,

Отдельные выражения справа зависят от выбора гладких векторных полей X и Y , но левая часть фактически зависит только от поточечных значений X и Y , поэтому N _A является тензором. Это также видно из формулы компонента

-(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).

В терминах скобки Фрелихера – Нийенхейса , которая обобщает скобку Ли векторных полей, тензор Нейенхейса N _A составляет лишь половину [ A , A ].

Теорема Ньюлендера – Ниренберга утверждает, что почти комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда N _J = 0. Как обсуждалось выше, согласованная комплексная структура уникальна. Поскольку существование интегрируемой почти сложной структуры эквивалентно существованию сложной структуры, это иногда принимают как определение сложной структуры.

Есть несколько других критериев, которые эквивалентны обращению в нуль тензора Нейенхейса и поэтому предоставляют методы для проверки интегрируемости почти сложной структуры (и фактически каждый из них можно найти в литературе):

Скобка Ли любых двух (1, 0) -векторных полей снова имеет тип (1, 0)
$d=\partial +{\bar {\partial }}$
${\bar {\partial }}^{2}=0.$

Любое из этих условий подразумевает существование уникальной согласованной сложной структуры.

Существование почти сложной структуры - это топологический вопрос, на который относительно легко ответить, как обсуждалось выше. С другой стороны, существование интегрируемой почти сложной структуры - гораздо более сложный аналитический вопрос. Например, до сих пор неизвестно, допускает ли S ⁶ интегрируемую почти сложную структуру, несмотря на долгую историю совершенно непроверенных заявлений. Вопросы плавности важны. Для вещественно-аналитического J теорема Ньюлендера – Ниренберга следует из теоремы Фробениуса ; для C ^∞ (и менее гладкого) J требуется анализ (с более сложной техникой, поскольку гипотеза регулярности ослабевает).

Совместимые тройки [ править ]

Пусть М снабжен симплектической формой со , в римановой метрики д и почти комплексной структуры J . Так как ш и г является невырожденными , каждый из них индуцирует изоморфизм расслоения TM → T * M , где первое отображение, обозначаемая ф _ш , задаются внутреннем продуктом ф _ш ( у ) = я _у ш = ш ( у , •) и другой, обозначенный φ _g , задается аналогичной операцией для g. При таком понимании три структуры ( g , ω , J ) образуют совместимую тройку, когда каждая структура может быть определена двумя другими следующим образом:

g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
ω ( u , v ) = g ( Ju , v )
J ( u ) = ( φ _g ) ⁻¹ ( φ _ω ( u )).

В каждом из этих уравнений две структуры в правой части называются совместимыми, если соответствующая конструкция дает структуру указанного типа. Например, ω и J совместимы тогда и только тогда, когда ω (•, J •) - риманова метрика. Расслоение на M , сечения которого являются почти комплексными структурами, совместимыми с ω, имеет стягиваемые слои : комплексные структуры на касательных слоях, совместимые с ограничением на симплектические формы.

Используя элементарные свойства симплектической формы ω , можно показать, что согласованная почти комплексная структура J является почти кэлеровой структурой для римановой метрики ω ( u , Jv ). Кроме того, если J интегрируемо, то ( M , ω , J ) - кэлерово многообразие . Эти тройки связаны со свойством 2 из 3 унитарной группы .

Обобщенная почти сложная структура [ править ]

Найджел Хитчин ввел понятие обобщенной почти комплексной структуры на многообразии M , которое было развито в докторских диссертациях его учеников Марко Гуальтьери и Джила Кавальканти . Обычная почти комплексная структура - это выбор полумерного подпространства каждого слоя комплексифицированного касательного расслоения TM . Обобщенная почти комплексная структура - это выбор полумерного изотропного подпространства каждого слоя прямой суммы комплексифицированных касательных и кокасательных расслоений . В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подгруппыи его комплексное сопряжение дают исходный пучок.

Почти комплексная структура интегрируется в сложную, если полумерное подпространство замкнуто относительно скобки Ли . Обобщенная почти комплексная структура интегрируется в обобщенную комплексную структуру, если подпространство замкнуто относительно скобки Куранта . Если, кроме того, это полумерное пространство является аннулятором нигде не исчезающего чистого спинора, то M является обобщенным многообразием Калаби – Яу .

См. Также [ править ]

Почти кватернионное многообразие
Черн класс
Скобка Фрелихера – Нийенхейса
Кэлерово многообразие
Пуассоново многообразие
Коллектор Рицца
Симплектическое многообразие

Ссылки [ править ]

^ Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 .

Ньюландер, август; Ниренберг, Луи (1957). «Комплексные аналитические координаты в почти комплексных многообразиях». Анналы математики . Вторая серия. 65 (3): 391–404. DOI : 10.2307 / 1970051 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970051 . Руководство по ремонту 0088770 .
Каннас да Силва, Ана (2001). Лекции по симплектической геометрии . Springer. ISBN 3-540-42195-5. Информация о совместимых тройках, кэлеровых и эрмитовых многообразиях и т. Д.
Уэллс, Раймонд О. (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0. Краткий раздел, который вводит стандартный базовый материал.
Рубей, Елена (2014). Алгебраическая геометрия, краткий словарь . Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер. ISBN 978-3-11-031622-3.
Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1953). "Groupes de Lie et puissances Réduites de Steenrod". Американский журнал математики . 75 (3): 409–448. DOI : 10.2307 / 2372495 . JSTOR 2372495 . Руководство по ремонту 0058213 .

[1] Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 .

[1]