Внешняя алгебра

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (элемент ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт n векторов может быть визуализирован как любая n -мерная форма (например, n - параллелоэдр , n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъем ) и ориентацией, определяемой ориентацией его ( n - 1) -мерной границы и с какой стороны находится внутреннее пространство. ^{[1] [2]}

В математике , то внешний вид продукта или клин продукт векторов является алгебраической конструкцией , используемой в геометрии для изучения площади , объемов , и их многомерных аналогов. Внешний продукт двух векторов и  , обозначаемый , называется бивектором и живет в пространстве, называемом внешним квадратом , векторном пространстве , которое отличается от исходного пространства векторов. Величина ^[3] из можно интерпретировать как площадь параллелограмма со сторонами и ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle и \ клин v}$${\ Displaystyle и \ клин v}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$, который в трех измерениях также можно вычислить с помощью векторного произведения двух векторов. В более общем смысле, все параллельные плоские поверхности с одинаковой ориентацией и площадью имеют один и тот же бивектор в качестве меры их ориентированной площади . Как и перекрестное произведение, внешний продукт является антикоммутативным , что означает, что для всех векторов и  , но, в отличие от перекрестного произведения, внешний продукт является ассоциативным .${\ Displaystyle и \ клин v = - (v \ клин и)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

При таком рассмотрении внешнее произведение двух векторов называется 2-лопастью . В более общем смысле, внешний продукт любого числа k векторов может быть определен и иногда называется k- лезвием. Он живет в пространстве, известном как k- я внешняя сила. Величина полученного k- лезвия - это объем k -мерного параллелэдра , ребра которого являются заданными векторами, точно так же, как величина скалярного тройного произведения векторов в трех измерениях дает объем параллелепипеда, порожденного этими векторами.

Внешняя алгебра , или алгебра Грассмана после Грассман , ^[4] представляет собой алгебраическую систему, произведение которых внешнее произведение. Внешняя алгебра обеспечивает алгебраическую среду, в которой можно ответить на геометрические вопросы. Например, лопасти имеют конкретную геометрическую интерпретацию, а объектами внешней алгебры можно управлять в соответствии с набором однозначных правил. Внешняя алгебра содержит объекты, которые являются не только k- лезвиями, но и суммами k- лезвий; такая сумма называется k -вектором . ^[5] к-клинки, поскольку они являются простыми произведениями векторов, называются простыми элементами алгебры. Ранг любого K -вектором определяется как наименьшее число простых элементов , из которых она является суммой. Внешнее произведение распространяется на всю внешнюю алгебру, так что имеет смысл умножать любые два элемента алгебры. Оснащенная этим продуктом, внешняя алгебра является ассоциативной алгеброй , что означает, что для любых элементов . В K -векторах имеют степень K , что означает , что они представляют собой суммы произведений K векторов. При умножении элементов разной степени степени складываются как при умножении многочленов.${\ Displaystyle \ альфа \ клин (\ бета \ клин \ гамма) = (\ альфа \ клин \ бета) \ клин \ гамма}$${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, \ гамма}$. Это означает, что внешняя алгебра является градуированной алгеброй .

Определение внешней алгебры имеет смысл для пространств не только геометрических векторов, но и других векторных объектов, таких как векторные поля или функции . В полной общности внешняя алгебра может быть определена для модулей над коммутативным кольцом и для других структур, представляющих интерес в абстрактной алгебре . Это одна из этих более общих конструкций, в которой внешняя алгебра находит одно из своих наиболее важных приложений, где она выступает как алгебра дифференциальных форм, которая является фундаментальной в областях, использующих дифференциальную геометрию.. Внешняя алгебра также обладает множеством алгебраических свойств, которые делают ее удобным инструментом в самой алгебре. Связь внешней алгебры с векторным пространством - это тип функтора на векторных пространствах, что означает, что он определенным образом совместим с линейными преобразованиями векторных пространств. Внешняя алгебра является одним из примеров биалгебры , что означает, что ее двойственное пространство также обладает продуктом, и это двойственное произведение совместимо с внешним продуктом. Эта двойственная алгебра - это в точности алгебра чередующихся полилинейных форм , а спаривание между внешней алгеброй и двойственной ей задается внутренним произведением .

Мотивирующие примеры [ править ]

Области в самолете [ править ]

Декартова плоскость R ² представляет собой реальные векторное пространство , снабженное основание , состоящие из пары единичных векторов

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Предположим, что

${\displaystyle {\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2},\quad {\mathbf {w} }={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2}}$

являются парой заданных векторов в R ² , написанные в компонентах. Есть уникальный параллелограмм, у которого две стороны - v и w . Площадь этого параллелограмма задаются стандартным определитель формулы:

${\displaystyle {\text{Area}}={\Bigl |}\det {\begin{bmatrix}{\mathbf {v} }&{\mathbf {w} }\end{bmatrix}}{\Bigr |}={\Biggl |}\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}{\Biggr |}=\left|ad-bc\right|.}$

Рассмотрим теперь внешнее произведение v и w :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {w} }&=(a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2})\wedge (c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2})\\&=ac{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+ad{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}+bc{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+bd{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\\&=\left(ad-bc\right){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\end{aligned}}}$

где первый шаг использует закон распределения для внешнего продукта , а последний использует тот факт, что внешний продукт является чередующимся, и в частности . (Тот факт, что внешний продукт чередуется, также является силами .) Обратите внимание, что коэффициент в этом последнем выражении является в точности определителем матрицы [ v w ] . Тот факт, что это может быть положительным или отрицательным, интуитивно означает, что v и w могут быть ориентированы против часовой стрелки или по часовой стрелке как вершины параллелограмма, которые они определяют. Такая область называется подписанной областью параллелограмма: абсолютное значение${\displaystyle \mathbf {e_{2}} \wedge \mathbf {e_{1}} =-(\mathbf {e_{1}} \wedge \mathbf {e_{2}} )}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0}$ подписанной области - это обычная область, а знак определяет ее ориентацию.

То, что этот коэффициент является подписанной областью, не случайно. Фактически, относительно легко увидеть, что внешний продукт должен быть связан с областью со знаком, если попытаться аксиоматизировать эту область как алгебраическую конструкцию. Более подробно, если A ( v , w ) обозначает знаковую область параллелограмма, пара векторов v и w которого образует две смежные стороны, то A должна удовлетворять следующим свойствам:

1. A ( r v , s w ) = rs A ( v , w ) для любых действительных чисел r и s , поскольку изменение масштаба любой из сторон изменяет масштаб области на ту же величину (а изменение направления одной из сторон меняет ориентацию на противоположное). параллелограмма).
2. A ( v , v ) = 0 , поскольку площадь вырожденного параллелограмма, определяемого v (т.е. отрезка прямой ), равна нулю.
3. A ( w , v ) = −A ( v , w ) , поскольку при смене ролей v и w ориентация параллелограмма меняется на противоположную.
4. A ( v + r w , w ) = A ( v , w ) для любого действительного числа r , поскольку добавление кратного w к v не влияет ни на основание, ни на высоту параллелограмма и, следовательно, сохраняет его площадь.
5. A ( e ₁ , e ₂ ) = 1 , так как площадь единичного квадрата равна единице.

За исключением последнего свойства, внешнее произведение двух векторов удовлетворяет тем же свойствам, что и площадь. В определенном смысле внешний продукт обобщает окончательное свойство, позволяя сравнивать площадь параллелограмма с площадью любого выбранного параллелограмма в параллельной плоскости (здесь, со сторонами e ₁ и e ₂ ). Другими словами, внешний вид продукта обеспечивает независимую от основы формулировку площади. ^[6]

Перекрестные и тройные произведения [ править ]

Для векторов в трехмерном ориентированном векторном пространстве с билинейным скалярным произведением внешняя алгебра тесно связана с перекрестным произведением и тройным произведением . Используя стандартный базис ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) , внешнее произведение пары векторов

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

и

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$

является

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}),}$

где ( e ₁ ∧ e ₂ , e ₂ ∧ e ₃ , e ₃ ∧ e ₁ ) является базисом для трехмерного пространства Λ ² ( R ³ ). Приведенные выше коэффициенты такие же, как и в обычном определении векторного произведения векторов в трех измерениях с заданной ориентацией, с той лишь разницей, что внешний продукт не является обычным вектором, а вместо этого является 2-вектором , и что Внешний вид изделия не зависит от выбора ориентации.

Внесение третьего вектора

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

внешнее произведение трех векторов равно

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$

где e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ - базисный вектор для одномерного пространства Λ ³ ( R ³ ). Скалярный коэффициент - это тройное произведение трех векторов.

Перекрестное произведение и тройное произведение в трехмерном евклидовом векторном пространстве допускают как геометрическую, так и алгебраическую интерпретацию. Произведение u × v можно интерпретировать как вектор, перпендикулярный как u, так и v , величина которого равна площади параллелограмма, определяемой двумя векторами. Его также можно интерпретировать как вектор, состоящий из миноров матрицы со столбцами u и v . Тройное произведение u , v и  w- скаляр со знаком, представляющий геометрически ориентированный объем. Алгебраически это определитель матрицы со столбцами u , v и  w . Внешний продукт в трех измерениях допускает аналогичные интерпретации: его также можно идентифицировать с помощью ориентированных линий, областей, объемов и т. Д., Которые охватываются одним, двумя или более векторами. Внешний продукт обобщает эти геометрические понятия на все векторные пространства и на любое количество измерений, даже в отсутствие скалярного произведения.

Формальные определения и алгебраические свойства [ править ]

Внешняя алгебра Λ ( V ) векторного пространства V над полем К определяется как фактор - алгебры от тензора алгебры T ( V ) с помощью двустороннего идеала I , порожденный всеми элементами вида х ⊗ х для х ∈ V (т.е. все тензоры, которые могут быть выражены как тензорное произведение вектора в V самого по себе). ^[7] Идеал I содержит идеал J, порожденный элементами вида${\displaystyle x\otimes y+y\otimes x=(x+y)\otimes (x+y)-x\otimes x-y\otimes y}$и эти идеалы совпадают, если (и только если) :${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$

${\displaystyle I\supseteq J{\text{ with equality iff }}\operatorname {char} (K)\neq 2}$.

Мы определяем

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I}$

Внешнее произведение ∧ двух элементов из Λ ( V ) - это произведение, индуцированное тензорным произведением ⊗ группы T ( V ) . То есть, если

${\displaystyle \pi :T(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I}$

- каноническая сюръекция , а a и b лежат в Λ ( V ) , то существуют и в T ( V ) такие, что и и${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle a=\pi (\alpha )}$${\displaystyle b=\pi (\beta ),}$

${\displaystyle a\wedge b=\pi (\alpha \otimes \beta ).}$

Это следует из определения фактор-алгебры, что значение не зависит от конкретного выбора и .${\displaystyle a\wedge b}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Поскольку T ⁰ = K , T ¹ = V , и включения K и V в T ( V ) вызывают инъекции K и V в Λ ( V ) . Эти инъекции обычно рассматриваются как включения и называются естественными вкраплениями , естественными инъекциями или естественными включениями . Слово « канонический» также часто используется вместо слова « естественный» .${\displaystyle \left(T^{0}(V)\oplus T^{1}(V)\right)\cap I=\{0\}}$

Альтернативный продукт [ править ]

Внешний продукт состоит из чередующихся элементов конструкции , что означает, что для всех , согласно приведенной выше конструкции. Отсюда следует , что продукт также антикоммутативный на элементах , для предположения , что ,${\displaystyle V}$${\textstyle x\wedge x=0}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x,y\in V}$

${\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x}$

следовательно

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

В более общем смысле, если σ - это перестановка целых чисел [1, ..., k ] , а x ₁ , x ₂ , ..., x _k - элементы V , то отсюда следует, что

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn} (\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

где sgn ( σ ) - сигнатура перестановки σ . ^[8]

В частности, если x _i = x _j для некоторого i ≠ j , то также имеет место следующее обобщение свойства альтернированности:

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

Внешняя мощность [ править ]

К - й внешней степени из V , обозначается Л ^K ( V ), является векторное подпространство Л ( V ) , натянутое на элементы вида

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k.}$

Если α ∈ Λ ^k ( V ) , то α называется k -вектором . Если, кроме того, α может быть выражено как внешнее произведение k элементов V , то α называется разложимым . Хотя разложимые k -векторы порождают Λ ^k ( V ), не каждый элемент Λ ^k ( V ) разложим. Например, в R ⁴ следующий 2-вектор не разложим:

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

(Это симплектическая форма , так как & alpha ; ∧ & alpha ; ≠ 0 . ^[9] )

Основа и размер [ править ]

Если размер из V является п и { е ₁ , ..., е _п } является основанием для V , то множество

${\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots n~~{\text{ and }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}}$

является базисом для Λ ^k ( V ) . Причина в следующем: учитывая любое внешнее изделие вида

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

каждый вектор v _j может быть записан как линейная комбинация базисных векторов e _i ; используя билинейность внешнего произведения, это можно расширить до линейной комбинации внешних произведений этих базисных векторов. Любой внешний продукт, в котором один и тот же базисный вектор встречается более одного раза, равен нулю; любой внешний продукт, в котором базисные векторы не появляются в правильном порядке, можно переупорядочить, меняя знак всякий раз, когда два базисных вектора меняются местами. В целом, полученные в результате коэффициенты базисных K - векторы могут быть вычислены как миноры в матрице , которая описывает векторы v _J в терминах базисаe _i .

С учетом базисных элементов размерность Λ ^k ( V ) равна биномиальному коэффициенту :

${\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)={\binom {n}{k}}\,.}$

где n - размерность векторов , а k - количество векторов в продукте. Биномиальный коэффициент дает правильный результат даже в исключительных случаях; в частности, Λ ^k ( V ) = {0} при k > n .

Любой элемент внешней алгебры можно записать в виде суммы k -векторов . Следовательно, как векторное пространство внешняя алгебра представляет собой прямую сумму

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V)}$

(где по соглашению Λ ⁰ ( V ) = K , поле, лежащее в основе V , и   Λ ¹ ( V ) = V ), и, следовательно, его размерность равна сумме биномиальных коэффициентов, которая равна 2 ⁿ .

Ранг k- вектора [ править ]

Если α ∈ Λ ^k ( V ) , то можно выразить α как линейную комбинацию разложимых k -векторов :

${\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}}$

где каждое α ^{( i )} разложимо, скажем

${\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.}$

Оценка по к -векторному альфа представляет минимальное число разлагаемых K -векторов в таком расширении альфа . Это похоже на понятие тензорного ранга .

Ранг особенно важен при изучении 2-векторов ( Sternberg 1964 , §III.6) ( Bryant et al. 1991 ). Ранг 2-вектора α можно отождествить с половиной ранга матрицы коэффициентов α в базисе. Таким образом, если e _i является базисом для V , то α можно однозначно выразить как

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

где a _ij = - a _ji (матрица коэффициентов кососимметрична ). Следовательно, ранг матрицы a _ij четный и вдвое больше ранга формы α .

В характеристике 0 2-вектор α имеет ранг p тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\neq 0\ }$ и ${\displaystyle \ {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0.}$

Градуированная структура [ править ]

Внешнее произведение k -вектора на p -вектор является ( k + p ) -вектором, снова вызывая билинейность. Как следствие, разложение в прямую сумму предыдущего раздела

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)}$

придает внешней алгебре дополнительную структуру градуированной алгебры , т. е.

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{k+p}(V).}$

Более того, если K - базовое поле, мы имеем

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K}$ и ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V.}$

Внешнее произведение является градуированным антикоммутативным, что означает, что если α ∈ Λ ^k ( V ) и β ∈ Λ ^p ( V ) , то

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

В дополнение к изучению градуированной структуры внешней алгебры Бурбаки (1989) изучает дополнительные градуированные структуры внешних алгебр, например, структуры внешней алгебры градуированного модуля (модуля, который уже имеет собственную градацию).

Универсальное свойство [ править ]

Пусть V векторное пространство над полем K . Неформально, умножение в Л ( V ) выполняется путем манипулирования символов и навязывании дистрибутивного закона , в ассоциативный законе , и используя тождество для V ∈ V . Формально Λ ( V ) является «наиболее общей» алгеброй, в которой эти правила выполняются для умножения в том смысле, что любая унитальная ассоциативная K -алгебра, содержащая V с знакопеременным умножением на V, должна содержать гомоморфный образ Λ ( V )${\displaystyle v\wedge v=0}$. Другими словами, внешняя алгебра обладает следующим универсальным свойством : ^[10]

Чтобы построить наиболее общую алгебру, содержащую V и чье умножение альтернировано на V , естественно начать с наиболее общей ассоциативной алгебры, содержащей V , тензорной алгебры T ( V ) , а затем усилить свойство альтернированности, выбрав подходящий частное . Таким образом , мы взять двусторонний идеал I в T ( V ) , порожденную всеми элементами вида V ⊗ V для V в V , и определим Л ( V ) как частное

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V)/I\ }$

(и используйте ∧ как символ умножения в Λ ( V )) . Тогда несложно показать, что Λ ( V ) содержит V и удовлетворяет указанному выше универсальному свойству.

Как следствие этой конструкции, операция сопоставления векторному пространству V его внешней алгебры Λ ( V ) является функтором из категории векторных пространств в категорию алгебр.

Вместо того, чтобы сначала определять Λ ( V ), а затем идентифицировать внешние степени Λ ^k ( V ) как определенные подпространства, можно альтернативно сначала определить пространства Λ ^k ( V ), а затем объединить их, чтобы сформировать алгебру Λ ( V ) . Этот подход часто используется в дифференциальной геометрии и описан в следующем разделе.

Обобщения [ править ]

Учитывая коммутативное кольцо R и R - модуль M , мы можем определить внешнюю алгебру Л ( М ) так же , как выше, в качестве подходящего фактора тензора алгебры Т ( М ). Он будет удовлетворять аналогичному универсальному свойству. Многие свойства Λ ( M ) также требуют, чтобы M был проективным модулем . Если используется конечномерность, свойства дополнительно требуют, чтобы M было конечно порожденным и проективным. Обобщения наиболее распространенных ситуаций можно найти у Бурбаки (1989) .

Внешние алгебры векторных расслоений часто рассматриваются в геометрии и топологии. По теореме Серра – Свана нет существенных различий между алгебраическими свойствами внешней алгебры конечномерных векторных расслоений и внешней алгебры конечно порожденных проективных модулей . Для пучков модулей можно определить более общие внешние алгебры .

Альтернативная тензорная алгебра [ править ]

Если K - поле характеристики 0, ^[11], то внешнюю алгебру векторного пространства V над K можно канонически отождествить с векторным подпространством T ( V ), состоящим из антисимметричных тензоров . Напомним, что внешняя алгебра является фактором T ( V ) по идеалу I, порожденному элементами вида x ⊗ x .

Пусть T ^r ( V ) - пространство однородных тензоров степени r . Это натянуто на разложимые тензоры

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad v_{i}\in V.}$

Антисимметризация (или иногда косая симметризация ) из нестойкого тензора определяются

${\displaystyle \operatorname {Alt} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}$

где сумма берется по симметрической группе перестановок символов {1, ..., r }. Благодаря линейности и однородности это продолжается до операции, также обозначаемой Alt, на полной тензорной алгебре T ( V ). Образ Alt (T ( V )) является альтернативной тензорной алгеброй , обозначаемой A ( V ). Это векторное подпространство в T ( V ), и оно наследует структуру градуированного векторного пространства от такового в T ( V ). Он несет ассоциативную градуированную продукцию, определяемую${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s=\operatorname {Alt} (t\otimes s).}$

Хотя это произведение отличается от тензорного произведения, ядро Alt - это в точности идеал I (опять же, в предположении, что K имеет характеристику 0), и существует канонический изоморфизм

${\displaystyle A(V)\cong {\textstyle \bigwedge }(V).}$

Обозначение индекса [ править ]

Предположим, что V имеет конечную размерность n и задан базис e ₁ , ..., e _n в V. то любой знакопеременный тензор t ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V ) можно записать в индексных обозначениях как

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

где т ^{я ₁ ⋅⋅⋅ я _г} является полностью антисимметричной по своим индексам.

Внешнее произведение двух чередующихся тензоров t и s рангов r и p имеет вид

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

Компоненты этого тензора - это в точности скошенная часть компонент тензорного произведения s ⊗ t , обозначенная квадратными скобками на индексах:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

Предмет интерьера также может быть описан в индексных обозначениях следующим образом. Пусть - антисимметричный тензор ранга r . Тогда для альфа ∈ V ^* , я _{& alpha} ; т представляет собой переменный тензор ранга г - 1 , задается${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$

${\displaystyle (i_{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

где п есть размерность V .

Двойственность [ править ]

Альтернативные операторы [ править ]

Учитывая два векторных пространств V и X и натурального число к , переменный оператор из V ^к к X является полилинейной картой

${\displaystyle f\colon V^{k}\to X}$

такая, что всякий раз, когда v ₁ , ..., v _k являются линейно зависимыми векторами в V , то

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

Карта

${\displaystyle w\colon V^{k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)}$

который ассоциируется с векторами из их внешнего продукта, то есть их соответствующего -вектора, также является чередующимся. Фактически, это отображение является «самым общим» оператором чередования, определенным на ; для любого другого альтернативного оператора существует единственное линейное отображение с . Это универсальное свойство характеризует пространство и может служить его определением.${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V^{k}}$${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \phi :\wedge ^{k}(V)\rightarrow X}$${\displaystyle f=\phi \circ w}$${\displaystyle \wedge ^{k}(V)}$

Чередующиеся полилинейные формы [ править ]

Вышеупомянутое обсуждение специализируется на случае, когда X = K , базовое поле. В этом случае переменная полилинейная функция

${\displaystyle f:V^{k}\to K\ }$

называется знакопеременной полилинейной формой . Множество всех чередующихся полилинейных форм является векторным пространством, поскольку сумма двух таких карт или произведение такой карты со скаляром снова чередуются. По универсальному свойству внешней силы, пространство чередующихся форм степени к на V является естественным изоморфно с двойным векторным пространством (Λ ^к V ) ^* . Если V конечномерно, то последнее естественно изоморфно Λ ^k ( V ^∗ ). В частности, если V равно n-мерной размерностью пространства чередующихся отображений из V ^k в K является биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$

Под этой идентификацией внешний продукт принимает конкретную форму: он производит новую антисимметричную карту из двух данных. Предположим, что ω  : V ^k → K и η  : V ^m → K - два антисимметричных отображения. Как и в случае тензорных произведений полилинейных отображений, количество переменных их внешнего произведения является суммой чисел их переменных. Он определяется следующим образом: ^[15]

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

где, если характеристика основного поля K равна 0, чередование Alt полилинейной карты определяется как среднее значение скорректированных по знаку значений по всем перестановкам его переменных:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

Когда поле K имеет конечную характеристику , точно определена эквивалентная версия приведенного выше выражения без каких-либо факториалов или каких-либо констант:

${\displaystyle {\omega \wedge \eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

где Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} - подмножество ( k , m ) перетасовок : перестановки σ множества {1, 2, ..., k + m } такие, что σ (1) < σ (2 ) <... < σ ( k ) и σ ( k + 1) < σ ( k + 2) <... < σ ( k + m ) .

Интерьерный продукт [ править ]

Предположим, что V конечномерно. Если V ^∗ обозначает пространство, сопряженное с векторным пространством V , то для каждого α ∈ V ^∗ можно определить антидифференцирование на алгебре Λ ( V ),

${\displaystyle i_{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{k}V\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k-1}V.}$

Этот вывод называется внутренним произведением на α , иногда оператором вставки или сжатием на α .

Предположим , что ш ∈ Л ^K V . Тогда w является полилинейным отображением V ^∗ в K , поэтому оно определяется своими значениями на k- кратном декартовом произведении V ^∗ × V ^∗ × ... × V ^∗ . Если u ₁ , u ₂ , ..., u _{k −1} являются k - 1 элементами V ^∗ , то определим

${\displaystyle (i_{\alpha }{\mathbf {w} })(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})={\mathbf {w} }(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$

Кроме того, пусть i _α f = 0, если f является чистым скаляром (т. Е. Принадлежит Λ ⁰ V ).

Аксиоматическая характеристика и свойства [ править ]

Изделие для интерьера обладает следующими свойствами:

1. Для каждого к и каждого & alpha ; ∈ V ^* ,

   ${\displaystyle i_{\alpha }:{\textstyle \bigwedge }^{k}V\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k-1}V.}$

   (По соглашению Λ ⁻¹ V = {0}. )

2. Если v является элементом V (= Λ ¹ V ), то i _α v = α ( v ) является двойственным спариванием между элементами V и элементами V ^∗ .
3. Для каждого & alpha ; ∈ V ^* , я _альфа является градуированным вывод степени -1:

   ${\displaystyle i_{\alpha }(a\wedge b)=(i_{\alpha }a)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (i_{\alpha }b).}$

Этих трех свойств достаточно, чтобы охарактеризовать продукт интерьера, а также определить его в общем бесконечномерном случае.

К другим свойствам предмета интерьера относятся:

• ${\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\alpha }=0.}$
• ${\displaystyle i_{\alpha }\circ i_{\beta }=-i_{\beta }\circ i_{\alpha }.}$

Двойственность Ходжа [ править ]

Предположим, что V имеет конечную размерность n . Тогда внутреннее произведение индуцирует канонический изоморфизм векторных пространств

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{n}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V)}$

по рекурсивному определению

${\displaystyle i_{\alpha \wedge \beta }=i_{\beta }\circ i_{\alpha }.}$

В геометрической постановке ненулевой элемент верхней внешней степени Λ ⁿ ( V ) (который является одномерным векторным пространством) иногда называют формой объема (или формой ориентации , хотя этот термин может иногда приводить к двусмысленности) . Форма ориентации имени происходит из того факта, что выбор предпочтительного верхнего элемента определяет ориентацию всей внешней алгебры, поскольку это равносильно фиксации упорядоченного базиса векторного пространства. Относительно предпочтительной формы объема σ изоморфизм явно задается формулой

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V):\alpha \mapsto i_{\alpha }\sigma .}$

Если в дополнение к форме объема векторное пространство V оснащено внутренним произведением, отождествляющим V с V ^∗ , то полученный изоморфизм называется звездным оператором Ходжа , который отображает элемент в его двойственный по Ходжу :

${\displaystyle \star :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{n-k}(V).}$

Композиция с собой отображает Λ ^k ( V ) → Λ ^k ( V ) и всегда является скалярным кратным тождественного отображения. В большинстве случаев, форма объема является совместимой с внутренним произведением в том смысле , что она является внешним продуктом ортонормированного из V . В этом случае,${\displaystyle \star }$

${\displaystyle \star \circ \star :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

где id - отображение идентичности, а внутренний продукт имеет метрическую подпись ( p , q ) - p плюсов и q минусов.

Внутренний продукт [ править ]

Для V конечномерного пространства скалярное произведение (или псевдоевклидово скалярное произведение) на V определяет изоморфизм V с V ^∗ , а значит, и изоморфизм Λ ^k V с (Λ ^k V ) ^∗ . Соединение этих двух пространств также принимает форму внутреннего продукта. На разложимых k -векторах

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det(\langle v_{i},w_{j}\rangle ),}$

определитель матрицы внутренних продуктов. В частном случае V _я = ш _I , скалярное произведение есть квадрат норма K -вектором, дается определитель Определитель Грама (⟨ об _I , v _J ⟩) . Это затем распространяется билинейно (или sesquilinearly в комплексном случае) к невырожденному скалярному произведению на Л ^K V . Если е _я , я = 1, 2, ..., п , образуют ортогональный базис в V , то векторы вида

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

составляют ортонормированный базис для Λ ^k ( V ).

Что касается внутреннего произведения, внешнее умножение и внутреннее произведение взаимно сопряжены. В частности, для v ∈ Λ ^{k −1} ( V ) , w ∈ Λ ^k ( V ) и x ∈ V ,

${\displaystyle \langle x\wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,i_{x^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

где x ^♭ ∈ V ^∗ - музыкальный изоморфизм , линейный функционал, определяемый формулой

${\displaystyle x^{\flat }(y)=\langle x,y\rangle }$

для всех у ∈ V . Это свойство полностью характеризует внутреннее произведение на внешней алгебре.

Действительно, в более общем случае для v ∈ Λ ^{k - l} ( V ) , w ∈ Λ ^k ( V ) и x ∈ Λ ^l ( V ) итерация указанных выше сопряженных свойств дает

${\displaystyle \langle \mathbf {x} \wedge \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,i_{\mathbf {x} ^{\flat }}\mathbf {w} \rangle }$

где теперь x ^♭ ∈ Λ ^l ( V ^∗ ) ≃ (Λ ^l ( V )) ^∗ - двойственный l -вектор, определяемый формулой

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\flat }(\mathbf {y} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$

для всех y ∈ Λ ^l ( V ) .

Структура биалгебры [ править ]

Существует соответствие между двумя градуированными градуированной алгеброй Л ( V ) и переменной полилинейные формами на V . Внешняя алгебра (так же, как и симметрическая алгебра ) наследует структуру биалгебры и, действительно, структуру алгебры Хопфа от тензорной алгебры . См. Статью о тензорных алгебрах для подробного рассмотрения этой темы.

Внешнее произведение полилинейных форм, определенных выше, двойственно копроизведению, определенному на Λ ( V ), задающему структуру коалгебры . Копроизведение является линейной функцией Δ: Л ( V ) → A ( V ) ⊗ Л ( V ) , который задается

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

на элементах v ∈ V . Символ 1 обозначает единичный элемент поля K . Напомним, что K ⊂ Λ ( V ), так что указанное выше действительно лежит в Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ). Это определение копроизведения поднимается до полного пространства Λ ( V ) с помощью (линейного) гомоморфизма. Правильная форма этого гомоморфизма - это не то, что можно было бы наивно написать, но она должна быть тщательно определена в статье о коалгебре . В этом случае получаем

${\displaystyle \Delta (v\wedge w)=1\otimes (v\wedge w)+v\otimes w-w\otimes v+(v\wedge w)\otimes 1.}$

Подробно раскрывая это, мы получаем следующее выражение для разложимых элементов:

${\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=\sum _{p=0}^{k}\;\sum _{\sigma \in Sh(p+1,k-p)}\;\operatorname {sgn} (\sigma )(x_{\sigma (0)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}).}$

где второе суммирование ведется по всем ( p +1, k - p ) -разбросам . Вышеупомянутое написано с помощью нотации, чтобы отслеживать элемент поля 1: уловка состоит в том, чтобы писать , и это перетасовывается в различные места во время расширения суммы путем перемешивания. Перетасовка непосредственно вытекает из первой аксиомы со-алгебры: относительный порядок элементов будет сохранен в Riffle перетасовки: с винтовками перетасовать просто делит упорядоченную последовательность на две упорядоченных последовательности, один слева и один справа .${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{k}}$

Заметим, что копроизведение сохраняет градуировку алгебры. Продолжая до полного пространства Λ ( V ), имеем

${\displaystyle \Delta :{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to \bigoplus _{p=0}^{k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(V)}$

Символ тензора ⊗, используемый в этом разделе, следует понимать с некоторой осторожностью: это не тот же символ тензора, который используется в определении чередующегося произведения. Интуитивно, пожалуй, проще всего представить его просто еще одним, но другим тензорным произведением: оно все еще (би-) линейное, каким должно быть тензорное произведение, но это произведение, подходящее для определения биалгебры, которое есть, для создания объекта Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ). Любые сохраняющиеся сомнения можно развеять, размышляя о равенствах (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) и ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗w ) = v ⊗ w , которые следуют из определения коалгебры, в отличие от наивных манипуляций с использованием символов тензора и клина. Более подробно это различие развито в статье о тензорных алгебрах.. Здесь проблема гораздо меньше, поскольку знакопеременное произведение Λ явно соответствует умножению в биалгебре, оставляя символ ⊗ свободным для использования в определении биалгебры. На практике это не представляет особой проблемы, если избежать фатальной ловушки замены чередующихся сумм символом клина, за одним исключением. Из ⊗ можно построить чередующийся продукт, понимая, что он работает в другом пространстве. Непосредственно ниже приводится пример: альтернативное произведение для двойственного пространства может быть дано в терминах копроизведения. Конструкция биалгебры здесь почти полностью параллельна конструкции в статье о тензорной алгебре , за исключением необходимости правильно отслеживать знакопеременные знаки для внешней алгебры.

С точки зрения копродукта, внешний продукт в двойственном пространстве является просто градуированным двойственным продуктом:

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )\left(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})\right)}$

где тензорное произведение в правой части является полилинейным линейным отображением (продолженным нулем на элементы несовместимой однородной степени: точнее, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ ∆ , где ε - число, так как определено в настоящее время).

Коединица гомоморфизм ε  : Λ ( V ) → K , что возвращает 0-градуированный компонент своего аргумента. Копроизведение и счетчик вместе с внешним произведением определяют структуру биалгебры на внешней алгебре.

С антиподом, определенным на однородных элементах с помощью , внешняя алгебра, кроме того, является алгеброй Хопфа . ^[16]${\displaystyle S(x)=(-1)^{\binom {{\text{deg}}\,x\,+1}{2}}x}$

Функциональность [ править ]

Предположим, что V и W - пара векторных пространств, а f  : V → W - линейное отображение . Тогда по универсальному свойству существует единственный гомоморфизм градуированных алгебр

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f):{\textstyle \bigwedge }(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }(W)}$

такой, что

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{1}(V)}\right.=f:V={\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\rightarrow W={\textstyle \bigwedge }^{1}(W).}$

В частности, Λ ( f ) сохраняет однородную степень. К -градуироваиным компонентам Л ( ф ) приведены на разлагаемых элементы по

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(f)(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=f(x_{1})\wedge \cdots \wedge f(x_{k}).}$

Позволять

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(f)={\textstyle \bigwedge }(f)\left|_{{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)}\right.:{\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\rightarrow {\textstyle \bigwedge }^{k}(W).}$

Компоненты преобразования Λ ^k ( f ) относительно базиса V и W - матрица k × k миноров f . В частности, если V = W и V имеет конечную размерность п , то Λ ^п ( е ) представляет собой отображение одного-мерного векторного пространства Л ^п V к самому себе, и, следовательно , задается скаляр: в определителе из F .

Точность [ править ]

Если - короткая точная последовательность векторных пространств, то${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{1}(U)\wedge {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(V)\to {\textstyle \bigwedge }(W)\to 0}$

является точной последовательностью градуированных векторных пространств, ^[17] как есть

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }(U)\to {\textstyle \bigwedge }(V).}$^[18]

Прямые суммы [ править ]

В частности, внешняя алгебра прямой суммы изоморфна тензорному произведению внешних алгебр:

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V\oplus W)\cong {\textstyle \bigwedge }(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }(W).}$

Это градуированный изоморфизм; т.е.

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}(V\oplus W)\cong \bigoplus _{p+q=k}{\textstyle \bigwedge }^{p}(V)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{q}(W).}$

Вообще говоря, для короткой точной последовательности векторных пространств существует естественная фильтрация${\displaystyle 0\to U\xrightarrow {f} V\xrightarrow {g} W\to 0}$

${\displaystyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \cdots \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}={\textstyle \bigwedge }^{k}(V)}$

где for охватывает элементы формы для и . Соответствующие факторы допускают естественный изоморфизм${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots v_{p-1}}$${\displaystyle u_{i}\in U}$${\displaystyle v_{i}\in V}$

${\displaystyle F^{p+1}/F^{p}\cong {\textstyle \bigwedge }^{k-p}(U)\otimes {\textstyle \bigwedge }^{p}(W)}$ дано ${\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-1-p}\wedge v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{p-1}\mapsto u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{k-1-p}\otimes g(v_{1})\wedge \ldots \wedge g(v_{p-1}).}$

В частности, если U одномерно, то

${\displaystyle 0\to U\otimes {\textstyle \bigwedge }^{k-1}(W)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(W)\to 0}$

точно, а если W одномерно, то

${\displaystyle 0\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(U)\to {\textstyle \bigwedge }^{k}(V)\to {\textstyle \bigwedge }^{k-1}(U)\otimes W\to 0}$

точно. ^[19]

Приложения [ править ]

Линейная алгебра [ править ]

В приложениях к линейной алгебре , внешний виду продукт обеспечивает абстрактный алгебраический способ для описания определителя и несовершеннолетних из в матрице . Например, хорошо известно, что определитель квадратной матрицы равен объему параллелоэдра, стороны которого являются столбцами матрицы (со знаком для отслеживания ориентации). Это предполагает, что определитель может быть определен в терминах внешнего произведения векторов-столбцов. Точно так же миноры k × k матрицы могут быть определены, глядя на внешние произведения векторов-столбцов, выбранных kвовремя. Эти идеи можно распространить не только на матрицы, но и на линейные преобразования : детерминант линейного преобразования - это коэффициент, с помощью которого он масштабирует ориентированный объем любого заданного эталонного параллелоэдра. Таким образом, детерминант линейного преобразования может быть определен в терминах того, что преобразование делает с высшей внешней мощностью. Действие трансформации на меньшие внешние силы дает независимый от основы способ говорить о младших трансформациях.

Технические детали: определения [ править ]

Пусть ^[20] - n -мерное векторное пространство над полем с базисом . ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

• При определим на простых тензорах формулой${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k})=Av_{1}\wedge \cdots \wedge Av_{k}}$

и расширим определение линейно на все тензоры. В более общем смысле, мы можем определить простые тензоры как${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{p}V),(p\geq k)}$

${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}\right)(v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{p})=\sum _{0\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq p}v_{1}\wedge \cdots \wedge Av_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge Av_{i_{k}}\wedge \cdots \wedge v_{p}}$

т.е. выберите k компонентов, на которые будет действовать A , затем просуммируйте все результаты, полученные в результате различных выборов. Если , определите . Поскольку он одномерный с базисом , мы можем отождествить его с единственным числом, удовлетворяющим${\displaystyle p<k}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{p}A^{k}=0}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}V}$${\displaystyle e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$${\displaystyle \kappa \in K}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=\kappa (e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}).}$

• Для определите внешний транспонирование как единственный оператор, удовлетворяющий${\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{p}V)}$ ${\displaystyle \varphi ^{\mathrm {T} }\in \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{n-p}V)}$

${\displaystyle \forall \omega _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{p}V,\omega _{n-p}\in {\textstyle \bigwedge }^{n-p}V,(\varphi ^{\mathrm {T} }\omega _{n-p})\wedge \omega _{p}=\omega _{n-p}\wedge (\varphi \omega _{p})}$

• Для определения . Эти определения эквивалентны другим версиям.${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle \det A={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n},\operatorname {Tr} (A)={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{1},\operatorname {adj} A=({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-1})^{\mathrm {T} }}$

Основные свойства [ править ]

Все результаты, полученные из других определений определителя, следа и сопряженного, могут быть получены из этого определения (поскольку эти определения эквивалентны). Вот некоторые основные свойства, связанные с этими новыми определениями:

• ${\displaystyle (\cdot )^{\mathrm {T} }}$является -линейным.${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.}$

• У нас есть канонический изоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :\operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)\cong \operatorname {End} ({\textstyle \bigwedge }^{n-k}V)\\A\mapsto A^{\mathrm {T} }\end{cases}}}$

Однако канонического изоморфизма между и${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-k}V.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}A\right)={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}.}$Элементы транспонированной матрицы являются минорами .${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}A}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \forall k\leqslant n-1,p\leqslant k,A\in \operatorname {End} (V),}$

${\displaystyle \sum _{q=0}^{p}\left({\textstyle \bigwedge }^{n-k}A^{p-q}\right)^{\mathrm {T} }\left({\textstyle \bigwedge }^{k}A^{q}\right)=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}\right)\operatorname {Id} \in \operatorname {End} (V).}$

Особенно,

${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p-1}\right)^{\mathrm {T} }A+\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}\right)\operatorname {Id} }$

и поэтому

${\displaystyle (\operatorname {adj} A)A=\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-1}\right)^{\mathrm {T} }A=\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n}\right)\operatorname {Id} =(\det A)\operatorname {Id} .}$

• ${\displaystyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }=\sum _{q=0}^{p}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p-q}\right)(-A)^{q}=\sum _{q=0}^{p}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{p-q}A\right)(-A)^{q}.}$

Особенно,

${\displaystyle \operatorname {adj} A=\sum _{q=0}^{n-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-q-1}\right)(-A)^{q}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}\operatorname {adj} A\right)={\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}=(\det A)^{k-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\right)=(\det A)^{k-1}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{n-k}A\right).}$

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{k}\right)^{\mathrm {T} }\right)=(n-k){\textstyle \bigwedge }^{n}A^{p}=(n-k)\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{p}A\right).}$

• Характеристический полином из может быть задана${\displaystyle \operatorname {ch} _{A}(t)}$${\displaystyle A\in \operatorname {End} (V)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}\operatorname {Tr} \left({\textstyle \bigwedge }^{k}A\right)(-t)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}\right)(-t)^{n-k}.}$

По аналогии,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\operatorname {adj} A}(t)=\sum _{k=0}^{n}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}\right)(-t)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(\det A)^{k-1}\left({\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\right)(-t)^{n-k}}$

Алгоритм Леверье [ править ]

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$- коэффициенты при членах характеристического полинома. Они также встречаются в выражениях и . Алгоритм Леверье ^[21] - это экономичный способ вычисления и :${\displaystyle (-t)^{n-k}}$${\textstyle \left({\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{p}\right)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}(\operatorname {adj} A)^{k}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{k}}$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{k}}$

Установить ;${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{0}=1}$

Для ,${\displaystyle k=n-1,n-2,\ldots ,1,0}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}={\frac {1}{n-k}}\operatorname {Tr} (A\circ {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k-1});}$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k}={\textstyle \bigwedge }^{n}A^{n-k}\cdot \operatorname {Id} -A\circ {\textstyle \bigwedge }^{n-1}A^{n-k-1}.}$