Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

При изучении геометрических алгебр , А лезвие является обобщение концепции скаляров и векторов , чтобы включать в себя простые бивекторы , тривекторы и т.д. В частности, к -blade является любым объектом , который может быть выражен как внешнее произведение (неформально клин продукт ) из K векторов, и имеет класс к .

Подробно: [1]

  • 0-лезвие - это скаляр .
  • 1-лезвие - это вектор . Каждый вектор прост.
  • Двухлопастный - это простой бивектор . Линейные комбинации двух лопастей также являются бивекторами, но не обязательно должны быть простыми и, следовательно, не обязательно являются двумя лопастями. 2-лопасть может быть выражена как произведение клина двух векторов a и b :
  • Трехлопастный - это простой тривектор, то есть его можно выразить как произведение клина трех векторов a , b и c :
  • В векторном пространстве в размерности п , лезвие класса п - 1 называется псевдовектор [2] или antivector . [3]
  • Элемент высшего класса в пространстве называется псевдоскаляром , а в пространстве размерности n - n- клинком. [4]
  • В векторном пространстве размерности n существует k ( n - k ) + 1 измерений свободы при выборе k- лезвия, из которых одно измерение является общим масштабным множителем. [5]

Для n- мерного пространства есть лопатки всех степеней от 0 до n включительно. Векторное подпространство конечной размерности к может быть представлено K -blade , образованной в виде клина произведения всех элементов базиса для этого подпространства. [6]

Примеры [ править ]

Например, в двумерном пространстве скаляры описываются как 0-лезвия, векторы - как 1-лезвия, а элементы области - это 2-лезвия, известные как псевдоскаляры , поскольку они являются элементами одномерного пространства, отличными от обычных скаляров.

В трехмерном пространстве 0-лезвия снова являются скалярами, а 1-лезвия - трехмерными векторами, а 2-лезвия - элементами ориентированной области. 3-лопасти представляют собой объемные элементы, а в трехмерном пространстве они скалярны, т. Е. 3-лопасти в трех измерениях образуют одномерное векторное пространство.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ↑ Маркос А. Родригес (2000). «§1.2 Геометрическая алгебра: набросок». Инварианты для распознавания образов и классификации . World Scientific. п. 3 сл . ISBN 981-02-4278-6.
  2. ^ Уильям Э Бейлис (2004). "§4.2.3 Мультивекторы высшего уровня в Cℓ n : Duals". Лекции по (геометрическим) алгебрам Клиффорда и их приложениям . Birkhäuser. п. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
  3. ^ Ленджиел, Эрик (2016). Основы разработки игрового движка, Том 1: Математика . ООО «Терафон Софтвер». ISBN 978-0-9858117-4-7.
  4. ^ Джон А. Винс (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики . Springer. п. 85. ISBN 1-84628-996-3.
  5. ^ Для грассманианцев (включая результат о размерности) хорошая книга: Griffiths, Phillip ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523. Доказательство размерности на самом деле несложно. Возьмут K векторы и заклинить их вместе и выполнять элементарные операции столбцов на них (не факторинг шарниров из) до вершины к  ×  к блочному являются элементарными базисными векторами . Затем продукт клина параметризуется произведением шарниров и нижнего блока k  × ( n - k ) . Сравните также с размерностью грассманиане , к ( п - K ) , в котором устранен скалярный множитель.
  6. ^ Дэвид Хестенес (1999). Новые основы классической механики: фундаментальные теории физики . Springer. п. 54. ISBN 0-7923-5302-1.

Ссылки [ править ]

  • Дэвид Хестенес ; Гаррет Собчик (1987). «Глава 1: Геометрическая алгебра». Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление: единый язык математики и физики . Springer. п. 1 сл . ISBN 90-277-2561-6.
  • Крис Доран и Энтони Ласенби (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48022-1.
  • A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Ковариантный подход к геометрии с использованием геометрической алгебры. Технический отчет. Инженерный факультет Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.
  • R Wareham; Дж. Кэмерон и Дж. Ласенби (2005). «Приложения конформной геометрической алгебры к компьютерному зрению и графике». В Хунбо Ли; Питер Дж. Олвер и Джеральд Соммер (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями . Springer. п. 329 сл . ISBN 3-540-26296-2.

Внешние ссылки [ править ]

  • Учебник по геометрической алгебре , специально для компьютерных специалистов.