Геометрическая алгебра

Геометрическая алгебра ( ГА ) из векторного пространства является алгебра над полем , известен своей операции умножения называется геометрический продукт на пространстве элементов под названием Поливекторы , который содержит как скаляры и векторное пространство . Математически, геометрическая алгебра может быть определена как алгебра Клиффорда в виде векторного пространства с квадратичной формой . Вклад Клиффорда заключался в определении нового продукта, геометрического продукта, который объединил алгебры Грассмана и Гамильтона в единую структуру. Добавление двойного${\ displaystyle F}$${\ displaystyle V}$внешнего произведения Грассмана («встреча») позволяет использовать алгебру Грассмана – Кэли , а конформная версия последней вместе с конформной алгеброй Клиффорда дает конформную геометрическую алгебру (CGA), обеспечивающую основу для классической геометрии . ^[1] На практике эти и несколько производных операций допускают соответствие элементов, подпространств и операций алгебры геометрической интерпретации.

Скаляры и векторы имеют свою обычную интерпретацию и составляют различные подпространства ГА. Бивекторы обеспечивают более естественное представление псевдовекторных величин в векторной алгебре, таких как ориентированная область, ориентированный угол поворота, крутящий момент, угловой момент, электромагнитное поле и вектор Пойнтинга . Тривектора может представлять собой ориентированный объем, и так далее. Элемент, называемый лопастью, может использоваться для представления подпространства и ортогональных проекций на это подпространство. Вращения и отражения представлены как элементы. В отличие от векторной алгебры, ГА естественно вмещает любое количество измерений и любую квадратичную форму, например, в теории относительности .${\ displaystyle V}$

Примеры геометрических алгебр, применяемых в физике, включают алгебру пространства-времени (и менее распространенную алгебру физического пространства ) и конформную геометрическую алгебру . Геометрическое исчисление , расширение ГА, которое включает дифференцирование и интегрирование , можно использовать для формулирования других теорий, таких как комплексный анализ и дифференциальная геометрия , например, используя алгебру Клиффорда вместо дифференциальных форм . Геометрическая алгебра пропагандируется, в первую очередь от Дэвида Hestenes ^[2] и Крис Доран , ^[3]как предпочтительный математический аппарат для физики . Сторонники утверждают , что обеспечивает компактные и интуитивные описания во многих областях , в том числе классической и квантовой механике , электромагнитной теории и теории относительности . ^[4] GA также нашел применение в качестве вычислительного инструмента в компьютерной графике ^[5] и робототехнике .

Геометрический продукт первой кратко упоминается Грассман , ^[6] , который был в основном заинтересованы в развитии тесно связана внешняя алгебра . В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд значительно расширил работу Грассмана, чтобы сформировать то, что сейчас обычно называют алгебрами Клиффорда в его честь (хотя сам Клиффорд решил называть их «геометрическими алгебрами»). В течение нескольких десятилетий геометрические алгебры несколько игнорировались, сильно затмеваясь векторным исчислением, недавно разработанным для описания электромагнетизма. Термин «геометрическая алгебра» был популяризирован в 1960-х годах Хестеном , который отстаивал его важность для релятивистской физики. ^[7]

Определение и обозначения [ править ]

Есть несколько разных способов определить геометрическую алгебру. Первоначальный подход Хестена был аксиоматическим ^[8], «полным геометрического значения» и эквивалентным универсальной алгебре Клиффорда. ^[9] Учитывая конечномерное квадратичное пространство над полем с симметричной билинейной формой ( скалярное произведение , например, евклидова или лоренцева метрика ) , геометрической алгеброй для этого квадратичного пространства является алгебра Клиффорда . Как обычно в этой области, в оставшейся части этой статьи будет рассматриваться только реальный случай ,. Обозначения (соответственно${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle g: V \ times V \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (V, g)}$${\ Displaystyle F = \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (p, q)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (p, q, r)}$) будет использоваться для обозначения геометрической алгебры, для которой билинейная форма имеет сигнатуру (соответственно ).${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle (p, q, r)}$

Существенное произведение в алгебре называется геометрическим произведением , а произведение в содержащейся внешней алгебре называется внешним произведением (часто называемым произведением клина и реже внешним произведением ^[a] ). Стандартно обозначать их, соответственно, путем сопоставления (т. Е. Подавления любого явного символа умножения) и символа . Приведенное выше определение геометрической алгебры является абстрактным, поэтому мы суммируем свойства геометрического продукта с помощью следующего набора аксиом. Геометрическое изделие обладает следующими свойствами :${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}$

${\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}$( закрытие )

${\displaystyle 1A=A1=A}$, где - тождественный элемент (наличие тождественного элемента )${\displaystyle 1}$

${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$( ассоциативность )

${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$и ( распределенность )${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$

${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$, где - любой элемент подпространства алгебры.${\displaystyle a}$${\displaystyle V}$

Внешний продукт имеет те же свойства, за исключением того, что последнее свойство выше заменено на for .${\displaystyle a\wedge a=0}$${\displaystyle a\in V}$

Обратите внимание, что в последнем свойстве выше действительное число не обязательно должно быть неотрицательным, если не является положительно определенным. Важным свойством геометрического произведения является наличие элементов, имеющих мультипликативный обратный. Для вектора , если он существует и равен . Ненулевой элемент алгебры не обязательно имеет мультипликативный обратный. Например, if является вектором в таком , что элемент является одновременно нетривиальным идемпотентным элементом и ненулевым делителем нуля и, следовательно, не имеет обратного. ^[b]${\displaystyle g(a,a)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{2}\neq 0}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle g(a,a)^{-1}a}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u^{2}=1}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$

Обычно отождествляют и с их изображениями под естественными вложениями и . В этой статье предполагается такая идентификация. На всем протяжении термины скаляр и вектор относятся к элементам и соответственно (и их изображений при этом вложении).${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle V}$

Геометрическое произведение [ править ]

Даны два вектора и , если геометрический продукт является ^[10] антикоммутативным; они перпендикулярны (вверху), потому что , если они коммутативны; они параллельны (снизу) , так как .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a\cdot b=0}$${\displaystyle a\wedge b=0}$

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация элементов уклона в реальной внешней алгебре для ( знаковая точка), (направленный отрезок линии или вектор), (элемент ориентированной плоскости), (ориентированный объем). Внешнее произведение векторов можно представить в виде любого n - мерной формы (например - параллелоэдр , - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъем ) и ориентацией, определяемой ориентацией на его -мерной границе и с какой стороны находится внутреннее пространство. ^{[11] [12]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

Для векторов и мы можем записать геометрическое произведение любых двух векторов и как сумму симметричного произведения и антисимметричного произведения:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)}$

Таким образом, мы можем определить внутреннее произведение ^[c] векторов как

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

так что симметричное произведение можно записать как

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b}$

Наоборот, полностью определяется алгеброй. Антисимметричная часть - это внешнее произведение двух векторов, произведение содержащейся внешней алгебры :${\displaystyle g}$

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a)}$

Затем простым добавлением:

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$ необобщенная или векторная форма геометрического произведения.

Внутренние и внешние продукты связаны с известными концепциями стандартной векторной алгебры. Геометрический, и являются параллельными , если их геометрическим произведение равно их скалярного произведения, тогда и являются перпендикулярно , если их геометрическим произведение равно их внешнего произведения. В геометрической алгебре, для которой квадрат любого ненулевого вектора положителен, скалярное произведение двух векторов можно отождествить с скалярным произведением стандартной векторной алгебры. Внешнее произведение двух векторов можно отождествить с областью со знаком, заключенной в параллелограмм, стороны которого являются векторами. Перекрестное произведение${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$двух векторов в размерностях с положительно определенной квадратичной формой тесно связано с их внешним произведением.${\displaystyle 3}$

Большинство интересующих нас геометрических алгебр имеют невырожденную квадратичную форму. Если квадратичная форма полностью вырождена , скалярное произведение любых двух векторов всегда равно нулю, и геометрическая алгебра тогда просто внешняя алгебра. Если не указано иное, в данной статье рассматриваются только невырожденные геометрические алгебры.

Внешнее произведение естественным образом расширяется как ассоциативный билинейный бинарный оператор между любыми двумя элементами алгебры, удовлетворяющими тождествам

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

где сумма берется по всем перестановкам индексов, с в знак перестановки , и векторы (не общие элементы алгебры). Поскольку каждый элемент алгебры может быть выражен как сумма произведений этой формы, это определяет внешний продукт для каждой пары элементов алгебры. Из определения следует, что внешний продукт образует знакопеременную алгебру .${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$${\displaystyle a_{i}}$

Клинки, ранги и каноническая основа [ править ]

Мультивектор, который является внешним произведением линейно независимых векторов, называется лопастью и называется классом . ^[e] Мультивектор, который является суммой лопастей классов , называется (однородным) многовектором по классам . Согласно аксиомам, с замыканием, каждый мультивектор геометрической алгебры представляет собой сумму лопастей.${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Рассмотрим набор линейно независимых векторов, покрывающих -мерное подпространство векторного пространства. С их помощью мы можем определить вещественную симметричную матрицу (точно так же, как матрицу Грамиана )${\displaystyle r}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

По спектральной теореме , можно диагонализовать до диагональной матрицы с помощью ортогональной матрицы с помощью${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

Определите новый набор векторов , известных как ортогональные базисные векторы, которые будут преобразованы ортогональной матрицей:${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

Поскольку ортогональные преобразования сохраняют внутренние продукты, отсюда следует, что и, следовательно , перпендикулярны. Другими словами, геометрическое произведение двух различных векторов полностью определяется их внешним произведением или, в более общем смысле,${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

Следовательно, каждое лезвие класса может быть записано как геометрическое произведение векторов. В более общем смысле, если вырожденная геометрическая алгебра разрешена, то ортогональная матрица заменяется блочной матрицей, которая ортогональна в невырожденном блоке, а диагональная матрица имеет нулевые элементы по вырожденным измерениям. Если новые векторы невырожденного подпространства нормировать согласно${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

тогда эти нормализованные векторы должны возводиться в квадрат или . По закону инерции Сильвестра общее количество s и общее количество s на диагональной матрице инвариантно. Таким образом, общее количество квадратов векторов и общее количество квадратов являются инвариантными. (Общее количество базисных векторов, которые возводятся в квадрат до нуля, также инвариантно и может быть ненулевым, если разрешен вырожденный случай.) Мы обозначаем эту алгебру . Например, модель - мерное евклидово пространство , релятивистское пространство и конформная геометрическая алгебра А${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$${\displaystyle 3}$-мерное пространство.

Множество всех возможных произведений ортогональных базисных векторов с индексами в порядке возрастания, в том числе в виде пустого произведения, образует основу всей геометрической алгебры (аналог теоремы PBW ). Например, в основе геометрической алгебры лежит следующее :${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{3},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

Основание, сформированное таким образом, называется каноническим базисом геометрической алгебры, и любой другой ортогональный базис будет порождать другой канонический базис. Каждая каноническая основа состоит из элементов. Каждый мультивектор геометрической алгебры может быть выражен как линейная комбинация канонических базисных элементов. Если канонический базис элементы с будучи множество индексов, то геометрическое произведение любых двух мультивекторов является${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \{B_{i}|i\in S\}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

Терминология « -вектор» часто используется для описания многовекторов, содержащих элементы только одного сорта. В пространстве более высоких измерений некоторые такие многовекторы не являются лопастями (не могут быть учтены во внешнем произведении векторов). Например, in нельзя разложить на множители; Однако обычно такие элементы алгебры не поддаются геометрической интерпретации как объекты, хотя они могут представлять геометрические величины, такие как вращения. Только и -векторы всегда являются лезвиями в -пространстве.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$${\displaystyle 0,1,(n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Прогноз оценки [ править ]

Используя ортогональный базис, можно установить структуру градуированного векторного пространства . Элементы геометрической алгебры, кратные скалярам, ​​являются ступенчатыми и называются скалярами . Мультивекторы, находящиеся в диапазоне, являются классами- лопатками и являются обычными векторами. Мультивекторы в пролете являются лопастями и бивекторами. Эта терминология продолжается до последнего класса -векторов. Альтернативно, ступенчатые лопасти называются псевдоскалярами , степенными лопастями псевдовекторами и т. Д. Многие элементы алгебры не оцениваются по этой схеме, поскольку они представляют собой суммы элементов разной степени. Такие элементы называются${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$смешанный сорт . Градация многовекторов не зависит от изначально выбранной основы.

Это градуировка как векторное пространство, но не как алгебра. Поскольку произведение -клинка и -клинка содержится в промежутке сквозных- лезвий, геометрическая алгебра является фильтрованной алгеброй .${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle r+s}$

Мультивектор можно разложить с помощью оператора проекции уклона, который выводит часть уклона . Как результат:${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

В качестве примера, геометрическое произведение двух векторов, поскольку и и , кроме и .${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$

Разложение многовектора также может быть разделено на четные и нечетные компоненты:${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{+}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{-}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

Это результат забывания структуры из - градуированного векторного пространства к - градуированное векторное пространство . Геометрический продукт соответствует этой более крупной градации. Таким образом , в дополнение к тому - градуированное векторное пространство , геометрическая алгебра является - градуированная алгебра или супералгеброй .${\displaystyle \mathrm {Z} }$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Ограничиваясь четной частью, произведение двух четных элементов также является четным. Это означает, что четные мультивекторы определяют четную подалгебру . Четная подалгебра -мерной геометрической алгебры изоморфна (без сохранения ни фильтрации, ни градуировки) полной геометрической алгебре размерностей. Примеры включают и .${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}^{+}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}^{+}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$

Представление подпространств [ править ]

Геометрическая алгебра представляет подпространства в виде лопастей, и поэтому они сосуществуют в одной алгебре с векторами из . - Мерное подпространство из представленного, взяв ортогональный базис и используя геометрический продукт , чтобы сформировать лезвие . Есть несколько лопастей, представляющих ; все представляющие являются скалярными кратными . Эти лезвия можно разделить на два набора: положительные кратные и отрицательные кратные . Положительные кратны говорят, имеют ту же ориентацию , как и отрицательные умножают противоположную ориентацию .${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$ ${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

Лезвия важны, так как геометрические операции, такие как проекции, вращения и отражения, зависят от факторизации через внешний продукт, который обеспечивает (ограниченный класс) -пластов, но этот (обобщенный класс) градиент-множителей - нет, когда .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 4}$

Псевдоскаляры единиц [ править ]

Псевдоскаляры единиц - это лезвия, которые играют важную роль в GA. Блок псевдоскаляр для невырожденного подпространства в этом лезвии , которое является продуктом членов ортонормированной для . Можно показать, что если и являются единичными псевдоскалярами для , то и . Если не выбрать ортонормированный базис для , то вложение Плюккера дает вектор во внешней алгебре, но только с точностью до масштабирования. Используя изоморфизм векторного пространства между геометрической алгеброй и внешней алгеброй, это дает класс эквивалентности для всех . Ортонормальность избавляет от этой двусмысленности, за исключением указанных выше знаков.${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I'}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I=\pm I'}$${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \alpha I}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Предположим, что сформирована геометрическая алгебра со знакомым положительно определенным внутренним произведением . Для данной плоскости ( -мерного подпространства) можно найти ортонормированный базис, охватывающий плоскость, и, таким образом, найти единичный псевдоскаляр, представляющий эту плоскость. Геометрическое произведение любых двух векторов в промежутке и лежит в , то есть является суммой -вектора и -вектора.${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbf {R} \}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$

По свойствам геометрического произведения . Сходство с мнимой единицы не случайно: подпространство является алгебра изоморфна комплексных чисел . Таким образом, копия комплексных чисел вкладывается в геометрическую алгебру для каждого двумерного подпространства, на котором квадратичная форма определена.${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbf {R} \}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle V}$

Иногда можно определить присутствие воображаемой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре, к которой относится квадрат , и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств.${\displaystyle -1}$

В , происходит еще один знакомый случай. Учитывая канонический базис , состоящий из ортогональных векторов из , множество всех -векторов натянуто${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

Обозначая их , и (на мгновение отклоняясь от нашего соглашения о верхнем регистре) подпространство, генерируемое -векторами и -векторами, точно . Этот набор рассматривается как четная подалгебра другой важной алгебраической системы - кватернионов - и, кроме того, изоморфен как -алгебра кватернионам .${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbf {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle \mathbf {R} }$

Двойная основа [ править ]

Позвольте быть базисом , т. Е. Набором линейно независимых векторов, которые охватывают -мерное векторное пространство . Базис, двойственный к, - это набор элементов дуального векторного пространства, который образует биортогональную систему с этим базисом, таким образом, элементы, обозначенные как удовлетворяющие${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

где - дельта Кронекера .${\displaystyle \delta }$

Учитывая невырожденную квадратичную форму на , становится естественным образом отождествляться с , и дуальный базис может рассматриваться как элементы , но в общем случае не являются тем же множеством, что и исходный базис.${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Учитывая далее ГА , пусть ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \epsilon =e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

быть псевдоскалярным (который не обязательно квадратным ), сформированным из основы . Двойственные базисные векторы могут быть построены как${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})\epsilon ^{-1},}$

где означает, что th базисный вектор опущен из произведения.${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$${\displaystyle i}$

Расширения внутренних и внешних продуктов [ править ]

Обычной практикой является расширение внешнего произведения векторов на всю алгебру. Это можно сделать с помощью оператора проекции уклона:

${\displaystyle C\wedge D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$     ( внешний продукт )

Это обобщение согласуется с приведенным выше определением антисимметризации. Другое обобщение, относящееся к внешнему продукту, - это коммутаторное произведение:

${\displaystyle C\times D:={\tfrac {1}{2}}(CD-DC)}$     ( коммутаторное произведение )

Регрессивный продукт (обычно называемый «встречей») является двойником внешнего продукта (или «соединения» в данном контексте). ^[f] Двойная спецификация элементов допускает для лопастей и пересечение (или встречу), где должна приниматься двойственность по отношению к лопатке наименьшего класса, содержащей оба и (соединение). ^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle C\vee D:=((CI^{-1})\wedge (DI^{-1}))I}$

с единичным псевдоскаляром алгебры. Регрессивный продукт, как и внешний продукт, ассоциативен. ^[15]${\displaystyle I}$

Внутренний продукт на векторы также может быть обобщен, но более чем одним неэквивалентным способом. В статье ( Dorst, 2002 ) дается полное описание нескольких различных внутренних произведений, разработанных для геометрических алгебр, и их взаимосвязей, и обозначения взяты оттуда. Многие авторы используют тот же символ, что и для внутреннего произведения векторов для выбранного ими расширения (например, Hestenes и Perwass). Никаких последовательных обозначений не появилось.

Среди этих нескольких различных обобщений внутреннего произведения векторов:

${\displaystyle C\;\rfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$   ( левое сокращение )

${\displaystyle C\;\lfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$   ( правильное сокращение )

${\displaystyle C*D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{0}}$   ( скалярное произведение )

${\displaystyle C\bullet D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$   (продукт "(жирная) точка") ^[г]

Дорст (2002) приводит аргумент в пользу использования сокращений вместо внутреннего продукта Гестена; они алгебраически более регулярны и имеют более чистую геометрическую интерпретацию. Ряд идентичностей, включающих сокращения, действительны без ограничения их входных данных. Например,

${\displaystyle C\;\rfloor \;D=(C\wedge (DI^{-1}))I}$

${\displaystyle C\;\lfloor \;D=I((I^{-1}C)\wedge D)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\;\rfloor \;C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\;\lfloor \;B)*A}$

${\displaystyle A\;\rfloor \;(B\;\rfloor \;C)=(A\wedge B)\;\rfloor \;C}$

${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\lfloor \;C=A\;\rfloor \;(B\;\lfloor \;C).}$

Преимущества использования левого сокращения в качестве расширения внутреннего продукта на векторах включают в себя то, что идентичность распространяется на любой вектор и мультивектор , и что операция проецирования расширяется для любого лезвия и любого мультивектора (с незначительной модификацией для размещения нулевого , приведенный ниже ).${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Линейные функции [ править ]

Хотя с версором легче работать, потому что он может быть непосредственно представлен в алгебре как мультивектор, версоры - это подгруппа линейных функций на мультивекторах, которую можно использовать при необходимости. Геометрическая алгебра -мерного векторного пространства натянута базисом элементов. Если многовектор представлен вещественной матрицей-столбцом коэффициентов базиса алгебры, то все линейные преобразования многовектора могут быть выражены как умножение матрицы на вещественную матрицу. Однако такое общее линейное преобразование допускает произвольный обмен между классами, такой как «поворот» скаляра в вектор, который не имеет очевидной геометрической интерпретации.${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}\times 1}$${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$

Представляет интерес общее линейное преобразование векторов в векторы. С естественным ограничением на сохранение индуцированной внешней алгебры, внешний морфизм линейного преобразования является единственным ^[h] расширением версора. Если это линейная функция, которая отображает векторы в векторы, то ее внешний морфизм - это функция, которая подчиняется правилу${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

для лезвия, распространенного на всю алгебру через линейность.

Моделирование геометрии [ править ]

Хотя много внимания было уделено CGA, следует отметить, что GA - это не просто одна алгебра, это одна из семейства алгебр с той же основной структурой. ^[16]

Векторная модель пространства [ править ]

${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$можно рассматривать как расширение или пополнение векторной алгебры . От векторов к геометрической алгебре охватывает основную аналитическую геометрию и дает введение в стереографическую проекцию. ^[17]

Даже подалгебра из изоморфно в комплексных числа , как это можно видеть в письменном виде вектора в терминах его компонентов в ортонормированному и слева умножение базисного вектора , получая${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

где мы определяем, поскольку${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

Точно так же четная подалгебра в with base изоморфна кватернионам, что можно увидеть, отождествив , и .${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$

Каждая ассоциативная алгебра имеет матричное представление; замена трех декартовых базисных векторов матрицами Паули дает представление :${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Обозначение « вектора Паули » ( диады ):

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$с произвольными векторами и и умножение на дает:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$(Эквивалентно, при осмотре, ( × ))${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Модель пространства-времени [ править ]

В физике, основные приложения геометрическая алгебра Минковских 3 +-пространства - время , , называется пространство - время алгебра (СТО), ^[7] или , реже, , интерпретировала алгебру физического пространства (APS).${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

В то время как в STA точки пространства-времени представлены просто векторами, в APS точки -мерного пространства-времени вместо этого представлены паравекторами : -мерный вектор (пространство) плюс -мерный скаляр (время).${\displaystyle (3+1)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1}$

В алгебре пространства-времени тензор электромагнитного поля имеет бивекторное представление . ^[18] Здесь - единичный псевдоскаляр (или четырехмерный элемент объема), - единичный вектор в направлении времени, и - классические векторы электрического и магнитного поля (с нулевой составляющей времени). Используя четырехтоковую формулу , уравнения Максвелла превращаются в${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {J}}$

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля	${\displaystyle DF=\mu _{0}J}$
	${\displaystyle D\wedge F=0}$	${\displaystyle D~\rfloor ~F=\mu _{0}J}$
Потенциалы (любого калибра)	${\displaystyle F=D\wedge A}$	${\displaystyle D~\rfloor ~(D\wedge A)=\mu _{0}J}$
Потенциалы (калибровка Лоренца)	${\displaystyle F=DA}$ ${\displaystyle D~\rfloor ~A=0}$	${\displaystyle D^{2}A=\mu _{0}J}$

В геометрическом исчислении сопоставление векторов, таких как in, указывает на геометрическое произведение и может быть разложено на части как . Вот ковекторная производная в любом пространстве-времени, которая сводится к плоскому пространству-времени. Где играет роль в пространстве- времени Минковского, которое является синонимом роли в евклидовом пространстве и связано с даламбертовским путем . Действительно, учитывая наблюдателя, представленного будущим указывающим времяподобным вектором, мы имеем${\displaystyle DF}$${\displaystyle DF=D~\rfloor ~F+D\wedge F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \bigtriangledown }$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

Бусты в этом лоренцевом метрическом пространстве имеют то же выражение, что и вращение в евклидовом пространстве, где - это бивектор, порожденный временем и задействованными направлениями пространства, тогда как в евклидовом случае это бивектор, порожденный двумя направлениями пространства, усиливая "аналогию "почти идентичность.${\displaystyle e^{\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

Эти матрицы Дирака являются представлением , показывая эквивалентность с матричными представлениями , используемых физикой.${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$

Однородная модель [ править ]

Первая модель здесь - это версия однородных координат GA, используемая в проективной геометрии. Здесь вектор представляет точку и внешнее произведение векторов ориентированной длины, но мы можем работать с алгеброй точно так же, как в . Однако полезный внутренний продукт не может быть определен в пространстве, и поэтому не существует геометрического продукта, оставляя только внешний продукт и неметрические применения двойственности, такие как встреча и соединение.${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

Тем не менее, были исследованы 4-мерные альтернативы полному 5-мерному CGA для ограниченной геометрии, такой как движения твердого тела. Некоторые из них можно найти в Части IV Руководства по геометрической алгебре на практике . ^[19] Обратите внимание, что алгебра появляется как подалгебра CGA, выбирая только один нулевой базисный вектор и отбрасывая другой, и, кроме того, что «моторная алгебра» (изоморфная двойным кватернионам) является четной подалгеброй .${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$

Конформная модель [ править ]

Краткое описание современного состояния техники предоставлено Bayro-Corrochano & Scheuermann (2010) , которое также включает дополнительные ссылки, в частности, на Dorst, Fontijne & Mann (2007) . Другие полезные ссылки: Li (2008) и Bayro-Corrochano (2010) .

Работая в GA, евклидово пространство (вместе с конформной точкой на бесконечности) проективно вложено в CGA посредством идентификации евклидовых точек с подпространствами -d в -d нулевом конусе векторного подпространства -d CGA. Это позволяет выполнять все конформные преобразования как вращения и отражения и является ковариантным , распространяя отношения инцидентности проективной геометрии на окружности и сферы.${\displaystyle {\mathcal {E}}^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 5}$

В частности, мы добавляем ортогональные базисные векторы и такие, что и к основе векторного пространства, которое генерирует и идентифицирует нулевые векторы${\displaystyle e_{+}}$${\displaystyle e_{-}}$${\displaystyle {e_{+}}^{2}=+1}$${\displaystyle {e_{-}}^{2}=-1}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle n_{\infty }=e_{-}+e_{+}}$как конформная точка на бесконечности (см. Компактификация ) и

${\displaystyle n_{\text{o}}={\tfrac {1}{2}}(e_{-}-e_{+})}$ как точка в начале координат, давая

${\displaystyle n_{\infty }\cdot n_{\text{o}}=-1}$.

Эта процедура имеет некоторое сходство с процедурой для работы с однородными координатами в проективной геометрии , так и в этом случае позволяет моделировать евклидов преобразований в качестве ортогональных преобразований подмножества .${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{4,1}}$

Быстро меняющаяся и изменчивая область GA, CGA, также исследуется для приложений к релятивистской физике.

Модели проективного преобразования [ править ]

Два потенциальных кандидата в настоящее время исследуются в качестве основы для аффинной и проективной геометрии в 3-х измерениях ^[20] и ^[21], которые включают представления для сдвигов и неравномерного масштабирования, а также квадратичных поверхностей и конических сечений.${\displaystyle {\mathcal {R}}(3,3)}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(4,4)}$

Новая исследовательская модель Quadric Conformal Geometric Algebra (QCGA) является расширением CGA, посвященным квадратичным поверхностям. Идея состоит в том, чтобы представить объекты в подпространствах малой размерности алгебры. QCGA может строить квадратичные поверхности с использованием контрольных точек или неявных уравнений. Более того, QCGA может вычислять пересечение квадратичных поверхностей, а также касательные к поверхности и векторы нормали в точке, лежащей на поверхности квадрики. ^[22]${\displaystyle {\mathcal {R}}(9,6)}$

Геометрическая интерпретация [ править ]

Прогнозирование и отклонение [ править ]

В 3-м пространстве бивектор определяет 2-мерное плоское подпространство (светло-голубой, бесконечно простирается в указанных направлениях). Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на его проекцию на плоскость и отклонение от этой плоскости.${\displaystyle a\land b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c_{\|}}$${\displaystyle c_{\perp }}$

Для любого вектора и любого обратимого вектора ,${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle a=amm^{-1}=(a\cdot m+a\wedge m)m^{-1}=a_{\|m}+a_{\perp m},}$

где проекция из на (или параллельная часть) является${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\|m}=(a\cdot m)m^{-1}}$

и отказ от от (или ортогональной часть) является${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\perp m}=a-a_{\|m}=(a\wedge m)m^{-1}.}$

Используя концепцию -клинка как представления подпространства и каждого мультивектора, в конечном итоге выраженного в терминах векторов, это обобщается на проекцию общего мультивектора на любой обратимый -клинок как ^[i]${\displaystyle k}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B,}$

с отклонением, определяемым как

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(A)=A-{\mathcal {P}}_{B}(A).}$

Проекция и отклонение обобщаются на нулевые лопасти , заменяя обратное на псевдообратное по отношению к сокращающемуся продукту. ^[j] Результат проекции совпадает в обоих случаях для ненулевых лезвий. ^{[23] [24]} Для нулевых лопастей следует использовать определение проекции, данной здесь с первым сокращением, а не вторым, на псевдообратное, ^[k], поскольку только тогда результат обязательно будет в подпространстве, представленном как . ^[23] Проекция распространяется через линейность на общие многовекторы . ^[l] Проекция нелинейна и не обобщается на объекты.${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{-1}}$${\displaystyle B^{+}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$ это не лезвия.

Отражение [ править ]

Простые отражения в гиперплоскости легко выражаются в алгебре посредством сопряжения с одним вектором. Они служат для создания группы общих круговых отражений и вращений .

Отражение вектора вдоль вектора . Отменяется только компонент parallel to .${\displaystyle c}$${\displaystyle m}$${\displaystyle c}$${\displaystyle m}$

Отражение вектора вдоль вектора или, что то же самое, в гиперплоскости, ортогональной к , аналогично отрицанию компонента вектора, параллельного . Результатом отражения будет ${\displaystyle c'}$${\displaystyle c}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle c'={-c_{\|m}+c_{\perp m}}={-(c\cdot m)m^{-1}+(c\wedge m)m^{-1}}={(-m\cdot c-m\wedge c)m^{-1}}=-mcm^{-1}}$

Это не самая общая операция, которую можно рассматривать как отражение при измерении . Общее отражение может быть выражено как совокупность любого нечетного числа одноосных отражений. Таким образом, общее отражение вектора можно записать${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\mapsto a'=-MaM^{-1},}$

куда

${\displaystyle M=pq\cdots r}$ и ${\displaystyle M^{-1}=(pq\cdots r)^{-1}=r^{-1}\cdots q^{-1}p^{-1}.}$

Если мы определим отражение вдоль ненулевого вектора произведения векторов как отражение каждого вектора в произведении вдоль того же вектора, мы получим для любого произведения нечетного числа векторов, что, например,${\displaystyle m}$

${\displaystyle (abc)'=a'b'c'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})=-ma(m^{-1}m)b(m^{-1}m)cm^{-1}=-mabcm^{-1}\,}$

и для произведения четного числа векторов, которые

${\displaystyle (abcd)'=a'b'c'd'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})(-mdm^{-1})=mabcdm^{-1}.}$

Используя концепцию того, что каждый многовектор в конечном итоге выражается в терминах векторов, можно записать отражение общего многовектора с использованием любого варианта отражения${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle A\mapsto M\alpha (A)M^{-1},}$

где есть автоморфизм от отражения через начало координат векторного пространства ( ) продлен до линейности на всю алгебру.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle v\mapsto -v}$

Вращения [ править ]

Ротор, который вращает векторы в плоскости, поворачивает векторы на угол , то есть на угол поворота . Угол между и есть . Подобные интерпретации действительны для общего многовектора вместо вектора . ^[10]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x\mapsto R_{\theta }xR_{\theta }^{\dagger }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta /2}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

Если у нас есть произведение векторов, то мы обозначим обратное как${\displaystyle R=a_{1}a_{2}\cdots a_{r}}$

${\displaystyle R^{\dagger }=(a_{1}a_{2}\cdots a_{r})^{\dagger }=a_{r}\cdots a_{2}a_{1}.}$

В качестве примера предположим, что мы получаем${\displaystyle R=ab}$

${\displaystyle RR^{\dagger }=abba=ab^{2}a=a^{2}b^{2}=ba^{2}b=baab=R^{\dagger }R.}$

Масштабирование так, чтобы затем${\displaystyle R}$${\displaystyle RR^{\dagger }=1}$

${\displaystyle (RvR^{\dagger })^{2}=Rv^{2}R^{\dagger }=v^{2}RR^{\dagger }=v^{2}}$

так что оставляет длину неизменной. Мы также можем показать, что${\displaystyle RvR^{\dagger }}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle (Rv_{1}R^{\dagger })\cdot (Rv_{2}R^{\dagger })=v_{1}\cdot v_{2}}$

поэтому преобразование сохраняет и длину, и угол. Поэтому его можно идентифицировать как вращение или вращательное отражение; называется ротором, если это собственное вращение (как если бы оно могло быть выражено как произведение четного числа векторов) и является примером того, что в GA называется версором .${\displaystyle RvR^{\dagger }}$${\displaystyle R}$

Существует общий метод вращения вектора, включающий формирование многовекторной формы, которая производит вращение в плоскости и с ориентацией, определяемой -лопастью .${\displaystyle R=e^{-B\theta /2}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle B}$

Роторы представляют собой обобщение кватернионов на -мерные пространства.${\displaystyle n}$

Версор [ править ]

A -версор - это многовектор, который можно выразить как геометрическое произведение обратимых векторов. ^{[m] [26]} Единичные кватернионы (первоначально названные Гамильтоном версорами) могут быть отождествлены с роторами в трехмерном пространстве почти так же, как реальные двухмерные роторы включают комплексные числа; подробности см. в Dorst. ^[27]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Некоторые авторы используют термин «продукт Versor» для обозначения часто встречающегося случая, когда операнд «зажат» между операторами. Описание вращений и отражений, включая их внешние морфизмы, являются примерами такого сэндвича. Эти внешние морфизмы имеют особенно простую алгебраическую форму. ^{[n] В} частности, отображение векторов вида

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$ распространяется на внешний морфизм ${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

Поскольку и операторы, и операнды являются версорами, существует возможность для альтернативных примеров, таких как вращение ротора или отражение спинора, всегда при условии, что таким операциям может быть придано какое-то геометрическое или физическое значение.

По теореме Картана – Дьедонне каждая изометрия может быть задана как отражение в гиперплоскостях, а так как составные отражения обеспечивают вращения, то ортогональные преобразования являются версорами.

С точки зрения группы, для вещественного невырожденного , идентифицировав группу как группу всех обратимых элементов , Лундхольм дает доказательство того, что «группа версоров » (множество обратимых версоров) равна липшицевой группе (также известной как Clifford group, хотя Lundholm осуждает это использование). ^[28]${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in G:v_{i}\in V^{\times }\}}$${\displaystyle \Gamma }$

Подгруппы Γ [ править ]

Lundholm определяет , и подгруппы, порожденные единичных векторов, и в случае и только четное число таких факторов , вектор может присутствовать. ^[29]${\displaystyle \operatorname {Pin} }$${\displaystyle \operatorname {Spin} }$${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} }$${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$

Подгруппа	Определение	Описание
${\displaystyle \operatorname {Pin} }$	${\displaystyle X\in \Gamma :XX^{\dagger }=\pm 1}$	единицы Versors
${\displaystyle \operatorname {Spin} }$	${\displaystyle {\operatorname {Pin} }\cap {\mathcal {G}}^{+}}$	даже единицы Versors
${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$	${\displaystyle X\in \operatorname {Spin} :XX^{\dagger }=1}$	роторы

Спиноры определяются как элементы четной подалгебры вещественной ГА; Анализ подхода ГА к спинорам дан Франсисом и Косовски. ^[30]

Примеры и приложения [ править ]

Гиперобъем параллелоэдра, натянутого на векторы [ править ]

Для векторов и натяжения параллелограмма имеем${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$