Конформная геометрическая алгебра

Конформная геометрическая алгебра ( CGA ) является геометрической алгеброй , построенная над результирующим пространством отображения из точек в п - мерном базовое пространство ℝ ^{р , д} к векторам нуля в ℝ ^{р +1, д +1} . Это позволяет выполнять операции с базовым пространством, включая отражения, вращения и перемещения, которые могут быть представлены с использованием версоров геометрической алгебры; и обнаружено, что точки, линии, плоскости, круги и сферы получают особенно естественные и вычислительно поддающиеся представлению.

Эффект отображения заключается в том, что обобщенные (т.е. включающие нулевую кривизну) k -сферы в базовом пространстве отображаются на ( k + 2) - лопасти , и так, что эффект переноса (или любого конформного отображения ) базового пространства соответствует к вращению в многомерном пространстве. В алгебре этого пространства, основанной на геометрическом произведении векторов, такие преобразования соответствуют характерным сэндвич-операциям алгебры, подобно использованию кватернионов для пространственного вращения в 3D., которые сочетаются очень эффективно. Следствием трансформации роторов является то, что представления сфер, плоскостей, окружностей и других геометрических объектов, а также уравнения, связывающие их, преобразуются ковариантно. Геометрический объект ( k- сфера) может быть синтезирован как произведение клина k + 2 линейно независимых векторов, представляющих точки на объекте; и наоборот, объект можно разложить как повторяющееся произведение клина векторов, представляющих k + 2 различных точки на его поверхности. Некоторые операции пересечения также приобретают аккуратную алгебраическую форму: например, для евклидова пространства базовой ℝ ³ , с применением клина продуктак двойственному тетравекторам, представляющим две сферы, дает двойственное к тривекторному представлению их окружности пересечения.

Поскольку эта алгебраическая структура напрямую подходит для эффективных вычислений, она облегчает изучение классических методов проективной геометрии и инверсивной геометрии в конкретной, простой в использовании среде. Он также использовался как эффективная структура для представления и облегчения вычислений в теории винта . CGA имеет особенно был применен в связи с проективным отображением повседневного евклидовом пространства ℝ ³ в пятимерный векторном пространстве ℝ ^4,1 , которое было исследовано для применений в области робототехники и компьютерное зрении. Его можно применить в общем случае к любому псевдоевклидовому пространству , и отображение пространства Минковского ℝ ^3,1 пространству ℝ ^4,2 исследуется для применения в релятивистской физике.

Этот раздел может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Нет очистки причина не была указана. Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, если можете. ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Построение CGA [ править ]

Обозначения и терминология [ править ]

В этой статье основное внимание уделяется алгебре, поскольку именно эта алгебра с течением времени была предметом наибольшего внимания; другие случаи кратко рассматриваются в отдельном разделе. Пространство, содержащее моделируемые объекты, упоминается здесь как базовое пространство , а алгебраическое пространство, используемое для моделирования этих объектов, как представление или конформное пространство. Однородное подпространство относится к линейному подпространству алгебраического пространства.${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (4,1)}$

Термины для объектов: точка , линия , круг , сфера , квазисфера и т. Д. Используются для обозначения либо геометрического объекта в базовом пространстве, либо однородного подпространства пространства представления, которое представляет этот объект, причем последнее обычно подразумевается если не указано иное. ^[a] Алгебраически, будет использоваться любой ненулевой нулевой элемент однородного подпространства, при этом один элемент называется нормализованным по некоторому критерию.

Полужирные строчные буквы латинского алфавита используются для обозначения векторов положения от исходной точки до точки в базовом пространстве. Курсивом обозначены другие элементы пространства представления.

Базовые и представительские помещения [ править ]

Базовое пространство ℝ ³ представлено расширением базиса для перемещений от выбранного начала координат и добавлением двух базисных векторов e _- и e _+, ортогональных базовому пространству и друг другу, причем e _- ² = −1 и e ₊ ² = +1 , создавая пространство представления .${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (4,1)}$

Удобно использовать два нулевых вектора n _o и n _{∞ в} качестве базисных векторов вместо e ₊ и e _- , где n _o = ( e _- - e ₊ ) / 2 и n _∞ = e _- + e ₊ . Можно проверить, где x находится в базовом пространстве, что:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}}$

Эти свойства приводят к следующим формулам для коэффициентов базисного вектора общего вектора r в пространстве представления для базиса с элементами e _i, ортогональными каждому другому элементу базиса:

Коэффициент при n _o для r равен - n _∞ ⋅ r.

Коэффициент при n _∞ для r равен - n _o ⋅ r

Коэффициент е _я для г является е _я ^-1 ⋅ г .

Отображение между базовым пространством и пространством представления [ править ]

Отображение вектора в базовом пространстве (от начала координат до точки в представленном аффинном пространстве) задается формулой: ^[b]

${\displaystyle F:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }}$

Все точки и другие объекты, которые отличаются только ненулевым скалярным множителем, отображаются в один и тот же объект в базовом пространстве. Когда требуется нормализация, например, для создания простой обратной карты точки из пространства представления в базовое пространство или определения расстояний, может использоваться условие F ( x ) ⋅ n _∞ = -1 .

Прямое отображение эквивалентно:

• сначала конформно проектируя x из e ₁₂₃ на единичную 3-сферу в пространстве e ₊ ∧ e ₁₂₃ (в 5-D это находится в подпространстве r - (- n _o -1/2n _∞ ) = 0 );
• затем поднимите это в проективное пространство, присоединив e _- = 1 и отождествив все точки на том же луче из начала координат (в 5-D это находится в подпространстве r - (- n _o -1/2n _∞ ) = 1 );
• затем измените нормализацию, так что плоскость для однородной проекции задается координатой n _o, имеющей значение 1 , то есть r ⋅ n _∞ = −1 .

Обратное отображение [ править ]

Обратное отображение для X на нулевом конусе задается (уравнение Первасса 4.37) формулой

${\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)}$

Это сначала дает стереографическую проекцию светового конуса на плоскость r ⋅ n _∞ = −1 , а затем отбрасывает n _o и n _∞ частей, так что общий результат состоит в отображении всех эквивалентных точек αX = α ( п _о + х +1/2x ² n _∞ ) в x .

Начало и точка в бесконечности [ править ]

Точка х = 0 в ℝ ^{р , д} сопоставляется п _о в ℝ ^{р +1, д +1} , так что п _о определяется как (представление) вектора точки в начале координат.

Вектор в ℝ ^{р +1, д +1} с ненулевым п _∞ коэффициентом, но с нулевым п _о коэффициенте, необходимо (учитывая обратное отображение) быть образом бесконечного вектора в ℝ ^{р , д} . Таким образом, направление n _∞ представляет собой (конформную) точку на бесконечности . Это мотивирует индексы _o и _∞ для идентификации нулевых базисных векторов.

Выбор начала координат произвольный: может быть выбрана любая другая точка, поскольку представление имеет аффинное пространство . Начало координат просто представляет собой опорную точку и алгебраически эквивалентно любой другой точке. Как и в случае любого перевода, изменение начала координат соответствует повороту в пространстве представления.

Геометрические объекты [ править ]

Основа [ править ]

Вместе с и это 32 основных лезвия алгебры. Происхождение плоской точки написано как внешний продукт, потому что геометрический продукт имеет смешанный класс ( ).${\displaystyle I_{5}=e_{123}E}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E=e_{+}e_{-}}$

Основа клинков ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Элементы	Геометрическая концепция
Точечная и двойная сфера
${\displaystyle e_{i},n_{0},n_{\infty }}$	Без двойной плоскости${\displaystyle n_{0}}$
Точечная пара
${\displaystyle e_{ij}}$	Бивектор
${\displaystyle e_{i}n_{0}}$	Касательный вектор
${\displaystyle e_{i}n_{\infty }}$	Вектор направления (плюс бивектор - двойная линия)
${\displaystyle E=n_{o}\wedge n_{\infty }}$	Начало плоской точки *
Круг
${\displaystyle e_{1}e_{2}e_{3}=I_{3}}$	3D псевдоскаляр
${\displaystyle e_{ij}n_{0}}$	Касательный бивектор
${\displaystyle e_{ij}n_{\infty }}$	Направление Бивектор (плюс - линия)${\displaystyle e_{i}E}$
${\displaystyle e_{i}E}$
Сфера
${\displaystyle e_{ij}E}$
${\displaystyle e_{i}n_{0}}$	Без Самолета${\displaystyle e_{i}n_{0}}$
${\displaystyle e_{i}n_{\infty }}$

Как решение пары уравнений [ править ]

Для любой ненулевой лопасти A представляющего пространства множество векторов, которые являются решениями пары однородных уравнений вида ^[3]

${\displaystyle X^{2}=0}$

${\displaystyle X\wedge A=0}$

является объединением однородных одномерных подпространств нулевых векторов и, таким образом, является представлением набора точек в базовом пространстве. Это приводит к выбору лезвия A как удобного способа представления определенного класса геометрических объектов. Конкретные случаи для лезвия A (независимо от количества измерений пространства), когда базовое пространство является евклидовым пространством, следующие:

• скаляр: пустое множество
• вектор: одна точка
• бивектор: пара точек
• тривектор: обобщенный круг
• 4-вектор: обобщенная сфера
• и т.п.

Каждый из них может быть разделен на три случая в зависимости от того, является ли A ² положительным, нулевым или отрицательным, соответствует (в некоторых случаях в обратном порядке) указанному объекту, вырожденному случаю одной точки или отсутствию точек (где ненулевые решения из X ∧ исключают нулевые векторы).

Перечисленные геометрические объекты (обобщенные n -сферы ) становятся квазисферами в более общем случае, когда базовое пространство является псевдоевклидовым. ^[4]

Плоские объекты можно идентифицировать по точке на бесконечности, включенной в решения. Таким образом, если n _∞ ∧ A = 0 , объект будет линией, плоскостью и т. Д., Для лезвия A соответственно степени 3, 4 и т. Д.

На основе точек объекта [ править ]

Лезвие A, представляющее один из этого класса объектов, может быть найдено как внешнее произведение линейно независимых векторов, представляющих точки на объекте. В базовом пространстве эта линейная независимость проявляется как каждая точка, лежащая вне объекта, определяемого другими точками. Так, например, четвертая точка, лежащая на обобщенном круге, определяемом тремя различными точками, не может использоваться в качестве четвертой точки для определения сферы.

шансы [ править ]

Точки в e ₁₂₃ отображаются на нулевой конус - нулевую параболу, если мы устанавливаем r . п _∞ = -1.

Мы можем рассматривать геометрическое место точек в e ₁₂₃ st в конформном пространстве g ( x ). A = 0, для различных типов геометрического объекта A.

Начнем с того, что ${\displaystyle g(\mathbf {a} ).g(\mathbf {b} )=-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}}$

сравнивать:

• Икс. a = 0 => x perp a; x. (a∧b) = 0 => x perp a и x perp b
• x∧a = 0 => x параллельно a; x∧ (a∧b) = 0 => x параллельно a или b (или некоторой линейной комбинации)

представления внутреннего продукта и внешнего продукта связаны дуализацией

х∧А = 0 <=> х. A * = 0 ( отметьте - работает, если x 1-тусклый, A тусклый n-1)

г (х). A = 0 [ редактировать ]

• Точка : локус х в R ³ представляет собой точку , если А в R ^4,1 представляет собой вектор на нуль конуса.

(Обратите внимание: поскольку это однородное проективное пространство, векторы любой длины на луче, проходящем через начало координат, эквивалентны, поэтому g (x) .A = 0 эквивалентно g (x) .g (a) = 0).

*** предупреждение : очевидно, неправильная коразмерность - перейдите к сфере в качестве общего случая, а затем ограничьтесь сферой нулевого размера. Влияет ли двойственное уравнение на нулевой конус?

• Сфера : локус х является сферой , если A = S, вектор выключения нулевого конуса.

Если

${\displaystyle \mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\frac {1}{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\infty }}$

то S . Х = 0 =>${\displaystyle -{\frac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{\frac {1}{2}}\rho ^{2}=0}$

это точки, соответствующие сфере

сделать рис, чтобы показать гиперболическую ортогональность -> для вектора S вне нулевого конуса, какие направления гиперболически ортогональны? (см. пиксель преобразования Лоренца)

в 2 + 1 D, если S равно (1, a, b), (с использованием координат e-, {e +, e _i }), точки, гиперболически ортогональные S, являются теми, которые евклидово ортогональны (-1, a, б) - т.е. самолет; или в n измерениях - гиперплоскость через начало координат. Это будет разрезать другую плоскость не через начало координат на прямой (гиперповерхность на n -2 поверхности), а затем на конус в двух точках (соответственно, некоторая коническая поверхность n -3). Так что, вероятно, это будет похоже на конус. Это поверхность, которая является изображением сферы под g .

• Плоскость : локус х представляет собой плоскость , если A = P , вектор с нулевым п _ö компонента. В однородном проективном пространстве такой вектор P представляет вектор на плоскости n _o = 1, который был бы бесконечно далеко от начала координат (т.е. бесконечно далеко за пределами нулевого конуса), поэтому g (x) .P = 0 соответствует x на сфера бесконечного радиуса, плоскость.

В частности:

• ${\displaystyle \mathbf {P} ={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$соответствует x на плоскости с нормалью на ортогональном расстоянии α от начала координат.${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} =g(\mathbf {a} )-g(\mathbf {b} )}$соответствует плоскости на полпути между a и b , с нормалью a - b

• круги
• касательные плоскости
• линии
• линии на бесконечности
• пары точек

Преобразования [ править ]

• размышления

Можно проверить, что формирование P g ( x ) P дает новое направление на нулевом конусе, g ( x ' ), где x' соответствует отражению в плоскости точек p в R ^3, которые удовлетворяют g ( p ) . Р = 0.

г ( х ). А = 0 => P g ( x ). Р = 0 => Р г ( х ) Р . P A P (и аналогично для продукта клина), поэтому эффект применения P сэндвич-моды к любым величинам A в приведенном выше разделе аналогичным образом отражает соответствующее геометрическое место точек x , поэтому соответствующие круги, сферы, линии и плоскости, соответствующие определенным типам A, отражаются точно так же, как применение P к g ( x ) отражает точку x .

Эту операцию отражения можно использовать для построения общих перемещений и поворотов:

• переводы

Отражение в двух параллельных плоскостях дает перевод,

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })=\mathbf {P} _{\beta }\mathbf {P} _{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\beta }}$

Если и тогда${\displaystyle \mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +2(\beta -\alpha ){\hat {\mathbf {a} }}}$

• вращения

${\displaystyle g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}}$соответствует x ', который повернут вокруг начала координат на угол 2 θ, где θ - угол между a и b - тот же эффект, который имел бы этот ротор, если бы его применяли непосредственно к x .

• общие ротации

вращения вокруг общей точки можно достичь, сначала переведя точку в исходную точку, затем повернув ее вокруг исходной точки, а затем переведя точку обратно в исходное положение, т. е. сэндвич оператором, чтобы${\displaystyle \mathbf {TR{\tilde {T}}} }$

${\displaystyle g({\mathcal {G}}x)=\mathbf {TR{\tilde {T}}} \;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T{\tilde {R}}{\tilde {T}}} }$

• винты

эффект винта или двигателя (вращение вокруг общей точки с последующим перемещением параллельно оси вращения) может быть достигнут оператором смещения g ( x ) .${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}} }$

M также можно параметризовать ( теорема Часлза )${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {T^{\prime }R^{\prime }} }$

• инверсии

инверсии является отражением в области - различные операции , которые могут быть достигнуты с использованием таких инверсий обсуждаются на инверсивной геометрии . В частности, комбинация инверсии вместе с переносом и вращением евклидовых преобразований достаточна, чтобы выразить любое конформное отображение, то есть любое отображение, которое универсально сохраняет углы. ( Теорема Лиувилля ).

• дилатации

две инверсии с одним и тем же центром производят расширение .

Обобщения [ править ]

История [ править ]

Конференции и журналы [ править ]

Вокруг Клиффорда и геометрических алгебр существует активное и междисциплинарное сообщество с широким спектром приложений. Основные конференции по этой теме включают в себя Международную конференцию по алгебрам Клиффорда и их приложениям в математической физике (ICCA) и серии «Приложения геометрической алгебры в информатике и инженерии» (AGACSE) . Основным изданием является журнал Springer « Достижения в прикладных алгебрах Клиффорда» .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]