Алгебра пространства-времени

В математической физике , пространственно - временная алгебра (СТО) является именем для алгебры Клиффорд Cl _1,3 ( R ), или , что эквивалентна геометрическая алгебра С ( М ⁴ ) . Согласно Дэвиду Хестенсу , алгебра пространства-времени может быть особенно тесно связана с геометрией специальной теории относительности и релятивистского пространства-времени .

Это векторное пространство, которое позволяет комбинировать не только векторы , но и бивекторы (направленные величины, связанные с конкретными плоскостями, такими как области или вращения) или лопасти (величины, связанные с конкретными гиперобъемами), а также вращать , отражать , или усиление Лоренца . Это также естественная родительская алгебра спиноров в специальной теории относительности. Эти свойства позволяют выразить многие из наиболее важных уравнений физики в особенно простых формах и могут быть очень полезны для более геометрического понимания их значений.

Структура [ править ]

Алгебра пространства-времени может быть построена из ортогонального базиса из одного времениподобного вектора и трех пространственно-подобных векторов , с правилом умножения${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ {\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}, \ gamma _ {3} \}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} + \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ mu} = 2 \ eta _ {\ mu \ nu}}$

где - метрика Минковского с сигнатурой (+ - - -) .${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$

Таким образом, , , в противном случае .${\ displaystyle \ gamma _ {0} ^ {2} = {+ 1}}$${\displaystyle \gamma _{1}^{2}=\gamma _{2}^{2}=\gamma _{3}^{2}={-1}}$${\displaystyle \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$

Базисные векторы разделяют эти свойства с матрицами Дирака , но в STA нет необходимости использовать явное матричное представление.${\displaystyle \gamma _{k}}$

Это генерирует базис из одного скаляра , четырех векторов , шести бивекторов , четырех псевдовекторов и одного псевдоскаляра , где .${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$ ${\displaystyle \{i\gamma _{0},i\gamma _{1},i\gamma _{2},i\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{i\}}$${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$

Взаимный фрейм [ править ]

С ортогональным базисом связан взаимный базис для , удовлетворяющий соотношению${\displaystyle \{\gamma _{\mu }\}}$${\displaystyle \{\gamma ^{\mu }={\gamma _{\mu }}^{-1}\}}$${\displaystyle \mu =0,\dots ,3}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }={\delta _{\mu }}^{\nu }.}$

Эти векторы обратной системы отсчета различаются только знаком, с и для .${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma ^{k}=-\gamma _{k}}$${\displaystyle k=1,\dots ,3}$

Вектор может быть представлен как в верхнем, так и в нижнем индексных координатах с суммированием по нотации Эйнштейна , где координаты могут быть извлечены путем взятия скалярных произведений с базисными векторами или их обратными величинами.${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$${\displaystyle \mu =0,\dots ,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu }\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu }.\end{aligned}}}$

Градиент пространства-времени [ править ]

Градиент пространства-времени, как и градиент в евклидовом пространстве, определяется таким образом, что выполняется соотношение производной по направлению :

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

Это требует, чтобы определение градиента было

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Записанные явно с , эти частичные${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}}$

Разделение пространства-времени [ править ]

Разделение пространства-времени - примеры:

${\displaystyle x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x} }$

${\displaystyle p\gamma _{0}=E+\mathbf {p} }$[1]

${\displaystyle v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )}$[1]

где - фактор Лоренца${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla \gamma _{0}=\partial _{t}-\nabla }$[2]

В алгебре пространства-времени разделение пространства-времени - это проекция из четырехмерного пространства в (3 + 1) -мерное пространство с выбранной системой отсчета посредством следующих двух операций:

• коллапс выбранной оси времени с образованием трехмерного пространства, охваченного бивекторами, и
• проекция четырехмерного пространства на выбранную ось времени, в результате чего получается одномерное пространство скаляров. ^[3]

Это достигается пре- или пост-умножением на времениподобный базисный вектор , который служит для разделения четырехвектора на скалярный времениподобный и бивекторный пространственноподобный компоненты. С у нас есть${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}}$

Поскольку эти бивекторы равны единице, они служат пространственной основой. Они записываются с использованием матричных обозначений Паули . Пространственные векторы в STA выделены жирным шрифтом; затем в -spacetime раскола и его обратном направлении являются:${\displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle x\gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{0}x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=x^{0}+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=x^{0}-\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Многовекторное деление [ править ]

Алгебра пространства - времени не является алгеброй с делением , так как она содержит идемпотентные элементы и ненулевых делителей нуля : . Их можно интерпретировать как проекторы на световой конус и соотношения ортогональности для таких проекторов, соответственно. Но в некоторых случаях это можно разделить одну величины многовекторной другой, и имеют смысл результата: так, например, направленная область делится на вектор в той же плоскости , дает другой вектор, ортогональный к первому.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm \gamma _{0}\gamma _{i})}$${\displaystyle (1+\gamma _{0}\gamma _{i})(1-\gamma _{0}\gamma _{i})=0}$

Описание нерелятивистской физики на алгебре пространства-времени [ править ]

Нерелятивистская квантовая механика [ править ]

Алгебра пространства-времени позволяет описывать частицу Паули в терминах реальной теории вместо теории матриц. Матричная теория описывает частицы Паули: ^[4]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

где - мнимая единица без геометрической интерпретации, - матрицы Паули (с обозначением «шляпа», указывающим, что это матричный оператор, а не элемент геометрической алгебры) и - гамильтониан Шредингера. В алгебре пространства-времени частица Паули описывается действительным уравнением Паули – Шредингера: ^[4]${\displaystyle i}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle H_{S}}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,i\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

где в настоящее время является единицей псевдоскаляр , и и являются элементами геометрической алгебры, с четным многовекторности; снова является гамильтонианом Шредингера. Хестенес называет это реальной теорией Паули – Шредингера, чтобы подчеркнуть, что эта теория сводится к теории Шредингера, если опустить термин, включающий магнитное поле.${\displaystyle i}$${\displaystyle i=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \sigma _{3}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle H_{S}}$

Описание релятивистской физики на алгебре пространства-времени [ править ]

Релятивистская квантовая механика [ править ]

Релятивистская квантовая волновая функция иногда выражается в виде спинорного поля , т.е. ^{[ править ]}

${\displaystyle \psi =e^{{\frac {1}{2}}(\mu +\beta i+\phi )},}$

где - бивектор, и ^{[5] [6]}${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}},}$

где, согласно выводу Дэвида Хестенеса , - четная многовекторнозначная функция в пространстве-времени, является унимодулярным спинором (или «ротором» ^[7] ), и - скалярные функции. ^[5]${\displaystyle \psi =\psi (x)}$${\displaystyle R=R(x)}$${\displaystyle \rho =\rho (x)}$${\displaystyle \beta =\beta (x)}$

Это уравнение интерпретируется как связывающее спин с мнимым псевдоскаляром. ^[8] рассматриваются как вращение Лоренца, кадр векторов в другой кадр векторов с помощью операции , ^[7] , где символ тильды указует на обратном (обратную часто также обозначается символом крестика, смотрите также вращения в геометрическом алгебра ).${\displaystyle R}$${\displaystyle \gamma _{\mu }}$${\displaystyle e_{\mu }}$${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }{\tilde {R}}}$

Это было расширено, чтобы обеспечить основу для локально меняющихся векторных и скалярных наблюдаемых и поддержку интерпретации Zitterbewegung квантовой механики, первоначально предложенной Шредингером .

Гестенс сравнил свое выражение для с выражением Фейнмана для него в формулировке интеграла по путям:${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },}$

где - классическое действие на -путье. ^[5]${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

Алгебра пространства-времени позволяет описать частицу Дирака в терминах реальной теории вместо теории матриц. Матричная теория описывает частицы Дирака: ^[9]

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(\mathbf {j} \partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,}$

где - матрицы Дирака. В алгебре пространства-времени частица Дирака описывается уравнением: ^[9]${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$

${\displaystyle \nabla \psi \,i\sigma _{3}-\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}}$

Здесь и - элементы геометрической алгебры, а - производная вектора пространства-времени.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \sigma _{3}}$${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Новая формулировка общей теории относительности [ править ]

Ласенби, Доран и Гулл из Кембриджского университета предложили новую формулировку гравитации, названную гравитацией калибровочной теории (GTG), в которой алгебра пространства-времени используется для индуцирования искривления пространства Минковского , допуская калибровочную симметрию при «произвольном плавном переназначении событий на пространство-время. "(Ласенби и др.); тогда нетривиальный вывод приводит к уравнению геодезических,

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R}$

и ковариантная производная

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,}$

где - связь, связанная с гравитационным потенциалом, и - внешнее взаимодействие, такое как электромагнитное поле.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega }$

Теория показывает некоторые перспективы для изучения черных дыр, поскольку ее форма решения Шварцшильда не разрушается в сингулярностях; большинство результатов общей теории относительности было математически воспроизведено, а релятивистская формулировка классической электродинамики была распространена на квантовую механику и уравнение Дирака .

См. Также [ править ]

• Геометрическая алгебра
• Алгебра Дирака
• Уравнение Дирака
• Общая теория относительности

Ссылки [ править ]

• Lasenby, A .; Doran, C .; Галл, С. (1998), "Гравитация, калибровочные теории и геометрическая алгебра", Фил. Пер. R. Soc. Лондон. A , 356 (1737): 487–582, arXiv : gr-qc / 0405033 , Bibcode : 1998RSPTA.356..487L , doi : 10.1098 / rsta.1998.0178
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003), Геометрическая алгебра для физиков , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48022-2
• Hestenes, David (2015) [1966], Пространственно-временная алгебра (2-е изд.), Birkhäuser
• Гестен, Дэвид; Собчик (1984), Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление , Springer Verlag, ISBN 978-90-277-1673-6
• Хестенс, Дэвид (1973), "Локальные наблюдаемые в теории Дирака", Журнал математической физики , 14 (7): 893–905, Bibcode : 1973JMP .... 14..893H , CiteSeerX  10.1.1.412.7214 , doi : 10.1063 / 1.1666413
• Хестенс, Дэвид (1967), «Реальные спинорные поля», журнал математической физики , 8 (4): 798–808, Bibcode : 1967JMP ..... 8..798H , doi : 10.1063 / 1.1705279

Внешние ссылки [ править ]

• Мнимые числа не реальны - геометрическая алгебра пространства-времени , учебное введение в идеи геометрической алгебры С. Галла, А. Ласенби, К. Дорана.
• Примечания к курсу « Физические приложения геометрической алгебры» , см. В особенности часть 2.
• Группа геометрической алгебры Кембриджского университета
• Исследования и разработки в области геометрического исчисления