Геометрия Клейна

В математике , геометрия Клейна является тип геометрии мотивировано Феликс Клейн в своей нашумевшей программе Эрланген . Более конкретно, это однородное пространство X вместе с транзитивным действием на X группой Ли G , которая действует как группа симметрии геометрии.

Историю и мотивацию см. В статье о программе Erlangen .

Формальное определение [ править ]

Клейн геометрия является парой ( G , H ) , где G является группой Ли и Н является замкнутой подгруппой Ли из G таких , что (слева) пространство смежных классов G / H будет подключено . Группа G называется главной группой геометрии, а G / H называется пространством геометрии (или, если использовать терминологию, просто геометрией Клейна ). Пространство X =G / H геометрии Клейна - гладкое многообразие размерности

тусклым Х = тусклый G - тусклый H .

Существует естественное гладкое левое действие группы G на X, заданное формулой

{\ displaystyle g. (aH) = (ga) H.}

Ясно, что это действие транзитивно (взять а = 1 ), так что можно считать , то X в качестве однородного пространства для действия G . Стабилизатор идентичности смежного класса H ∈ X является именно группа Н .

Для любого связного гладкого многообразия X и гладкого транзитивного действия группы Ли G на X мы можем построить ассоциированную геометрию Клейна ( G , H ) , фиксируя базовую точку x ₀ в X и позволяя H быть стабилизирующей подгруппой x ₀ в G . Группа Н обязательно замкнутая подгруппа в G и X естественно диффеоморфен к G / H .

Два Klein геометрии ( G ₁ , Н ₁ ) и ( G ₂ , Н ₂ ) являются геометрический изоморфными , если существует группа Ли изоморфизм φ : G ₁ → G _- так , что ф ( H ₁ ) = H ₂ . В частности, если φ является конъюгации элементом г ∈ G , мы видим , что ( G , H )и ( G , gHg ⁻¹ ) изоморфны. Тогда геометрия Клейна, ассоциированная с однородным пространством X, единственна с точностью до изоморфизма (т. Е. Не зависит от выбранной базовой точки x ₀ ).

Описание пакета [ править ]

Для группы Ли G и замкнутая подгруппа H , существует естественное право действия от H на G определяется умножением справа. Это действие одновременно бесплатное и правильное . Эти орбиты просто левые смежные классы из H в G . Можно сделать вывод, что G имеет структуру гладкого главного H -расслоения над левым смежным пространством G / H :

{\ displaystyle H \ to G \ to G / H.}

Типы геометрии Клейна [ править ]

Эффективная геометрия [ править ]

Действие G на X = G / H не обязательно должно быть эффективным. Ядро из геометрии Клейна определяется как ядро действия G на X . Это дается

{\ displaystyle K = \ {k \ in G: g ^ {- 1} кг \ in H \; \; \ forall g \ in G \}.}

Ядро К также может быть описан как сердечник из Н в G (т.е. самой большой подгруппы H , который является нормальным в G ). Это группа , порожденная всеми нормальными подгруппами G , которые лежат в H .

Клейна геометрии называется эффективным , если К = 1 и локально эффективным , если К является дискретным . Если ( G , H ) - геометрия Клейна с ядром K , то ( G / K , H / K ) - эффективная геометрия Клейна, канонически связанная с ( G , H ) .

Геометрически ориентированные геометрии [ править ]

Клейн геометрия ( G , H ) является геометрический ориентированной , если G является подключен . (Это не означает, что G / H является ориентированным многообразием ). Если H связно, то G также связно (это потому, что G / H предполагается связным, а G → G / H - расслоение ).

Принимая во внимании любой геометрию Клейна ( G , H ) , есть геометрический ориентированная геометрия , связанная с каноническим ( G , H ) с одной и тем же базовым пространством G / H . Это геометрия ( G ₀ , G ₀ ∩ H ) , где G ₀ является компонента единицы из G . Заметим , что G = G ₀ Н .

Редуктивные геометрии [ править ]

Клейн геометрия ( G , H ) называется восстановительные и G / Н восстановительного однородного пространство , если алгебра Ли из H имеет H - инвариантное дополнение в . ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Примеры [ править ]

В следующей таблице представлено описание классических геометрий, смоделированных как геометрии Клейна.

	Основное пространство	Группа преобразований G	Подгруппа H	Инварианты
Проективная геометрия	Реальное проективное пространство ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n}}$	Проективная группа ${\ Displaystyle \ mathrm {PGL} (п + 1)}$	Подгруппа, фиксирующая флаг ${\ displaystyle P}$ ${\ Displaystyle \ {0 \} \ подмножество V_ {1} \ подмножество V_ {п}}$	Проективные линии , кросс-отношение
Конформная геометрия на сфере	Сфера ${\ Displaystyle S ^ {п}}$	Группа Лоренца из n - мерного пространства $(n+2)$ $\mathrm {O} (n+1,1)$	Подгруппа, фиксирующая прямую в нулевом конусе метрики Минковского $P$	Обобщенные круги , углы
Гиперболическая геометрия	Гиперболическое пространство , смоделированное, например, в виде временных линий в пространстве Минковского $H(n)$ $\mathbb {R} ^{1,n}$	Ортохронная группа Лоренца $\mathrm {O} (1,n)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)$	Линии, круги, расстояния, углы
Эллиптическая геометрия	Эллиптическое пространство, смоделированное, например, как линии, проходящие через начало координат в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n+1}$	$\mathrm {O} (n+1)/\mathrm {O} (1)$	$\mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (1)$	Линии, круги, расстояния, углы
Сферическая геометрия	Сфера $S^{n}$	Ортогональная группа $\mathrm {O} (n+1)$	Ортогональная группа $\mathrm {O} (n)$	Линии (большие круги), круги, расстояния между точками, углы
Аффинная геометрия	Аффинное пространство $A(n)\simeq \mathbb {R} ^{n}$	Аффинная группа $\mathrm {Aff} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n)$	Общая линейная группа $\mathrm {GL} (n)$	Линии, фактор- поверхностных областей геометрических фигур, центр масс из треугольников
Евклидова геометрия	Евклидово пространство $E(n)$	Евклидова группа $\mathrm {Euc} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {O} (n)$	Ортогональная группа $\mathrm {O} (n)$	Расстояния точек , углы из векторов , областей