Компонент идентичности

В математике , в частности теория групп , то компонента единицы из группы G относится к нескольким тесно связанным представлениям о величине связной подгруппы G , содержащей единичный элемент.

В точке множественной топологии , то компонента единицы в топологической группе G является компонентой связности G ⁰ из G , который содержит единичный элемент группы. Компонент пути идентичности топологической группы G - это компонент пути группы G, который содержит элемент идентичности группы.

В алгебраической геометрии , то компонента единицы из алгебраической группы G над полем к является компонентой единицы , лежащим в основе топологического пространства. Компонент идентичности групповой схемы G над базовой схемой S , грубо говоря, схему группы G ⁰ , чьи волокна над точкой s из S является связной компонентой (G _сек ) ⁰ волокна G _ы , алгебраической группа. ^[1]

Свойства [ править ]

Компонента единицы G ⁰ топологической или алгебраической группы G является замкнутой нормальной подгруппой в G . Он закрыт, так как компоненты всегда закрыты. Это подгруппа, поскольку умножение и инверсия в топологической или алгебраической группе являются непрерывными отображениями по определению. Более того, для любого непрерывного автоморфизма a группы G имеем

а ( G ⁰ ) = G ⁰ .

Таким образом, G ⁰ - характеристическая подгруппа группы G , поэтому она нормальна.

Компонента единицы G ⁰ топологической группы G не должна быть открыта в G . На самом деле, мы можем иметь гайанские ⁰ = { е }, в этом случае G является полностью отсоединен . Однако компонент идентичности локально линейно связного пространства (например, группы Ли ) всегда открыт, поскольку он содержит линейно связную окрестность { e }; и, следовательно, является закрытым множеством .

Компонент пути идентичности топологической группы может в общем быть меньше компонента идентичности (поскольку связность путей является более сильным условием, чем связность), но они согласуются, если G локально линейно связна.

Группа компонентов [ править ]

Фактор - группа G / G ⁰ называется группой компонентов или группы компонентов из G . Ее элементы являются компонентами связности G . Группа компонентов G / G ⁰ является дискретной группой тогда и только тогда, когда G ⁰ открыта. Если G - алгебраическая группа конечного типа , например аффинная алгебраическая группа , то G / G ⁰ на самом деле конечная группа .

Аналогичным образом можно определить группу компонентов пути как группу компонентов пути (частное от G по единичному компоненту пути), и в общем случае группа компонентов является фактором группы компонентов пути, но если G локально соединен по пути, эти группы согласуются . Группу компонентов пути также можно охарактеризовать как нулевую гомотопическую группу ,${\ displaystyle \ pi _ {0} (G, e).}$

Примеры [ править ]

• Группа ненулевых действительных чисел с умножением ( R *, •) состоит из двух компонентов, а группа компонентов - ({1, −1}, •).
• Рассмотрим группу единиц U в кольце расщепляемых комплексных чисел . В обычной топологии плоскости { z = x + j y  : x , y ∈ R } U делится на четыре компонента прямыми y = x и y = - x, где z не имеет обратной. Тогда U ⁰ = { z  : | y | < x }. В этом случае группа компонент U изоморфнаКляйн четыре группы .
• Компонент идентичности аддитивной группы ( Z _p , +) целых p-адических чисел - это одноэлементное множество {0}, поскольку Z _p полностью несвязно.
• Группа Вейля из восстановительной алгебраической группы G является группой компонентов из нормализатора группы о наличии максимального тора из G .
• Рассмотрим групповую схему µ ₂ = Spec ( Z [ x ] / ( x ² - 1)) вторых корней из единицы, определенную над базовой схемой Spec ( Z ). Топологически μ _n состоит из двух копий кривой Spec ( Z ), склеенных вместе в точке (то есть простом идеале ) 2. Следовательно, μ _n связно как топологическое пространство, а значит, как схема. Однако μ ₂ не совпадает со своей составляющей единицы, потому что слой над каждой точкой Spec ( Z ), кроме 2, состоит из двух дискретных точек.

Алгебраическая группа G над топологическим полем K допускает два естественных топологии, в топологию Зарисской и топологию , унаследованную от K . Компонент идентичности G часто меняется в зависимости от топологии. Например, общая линейная группа GL _n ( R ) связана как алгебраическая группа, но имеет две компоненты пути как группа Ли: матрицы положительного определителя и матрицы отрицательного определителя. Любая связная алгебраическая группа над неархимедовым локальным полем K полностью несвязна в K-топология и, следовательно, имеет в этой топологии элементарный компонент идентичности.

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Лев Семенович Понтрягин , Топологические группы , 1966.
• Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (1970), Groupes algébriques. Том I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , Париж: Masson, ISBN 978-2225616662, Руководство по ремонту  0302656