Сплит-комплексное число

В абстрактной алгебре , А комплексное число , разделения (или гиперболическое число , также смущать номер , двухместный номер ) имеет два вещественного число компонентов х и у , и записывается г = х + у  J , где J ² = 1 . Конъюгат из г в г ^* = х - у  J . Поскольку j ² = 1 , произведение числа zс его сопряженной формой zz ^∗ = x ² - y ² , изотропная квадратичная форма , N ( z ) = x ² - y ² .

Набор D всех расщепляемых комплексных чисел z = x + y  j для x , y ∈ R образует алгебру над полем действительных чисел . Два расщепляемых комплексных числа w и z имеют произведение wz , для которого N ( wz ) = N ( w ) N ( z ) . Эта композиция N над произведением алгебры делает ( D , +, ×, *) aкомпозиционная алгебра .

Подобная алгебра на основе R ² и покомпонентно операции сложения и умножения, ( R ² , +, ×, х ) , где х является квадратичной формой от R ² , также образует квадратное пространство . Изоморфизм колец

${\ displaystyle {\ begin {align} D & \ to \ mathbb {R} ^ {2} \\ x + yj & \ mapsto (x + y, xy) \ end {выравнивается}}}$

относится пропорциональные квадратичные формы, но это отображение не изометрия , так как мультипликативная тождество (1, 1) R ² находится на расстоянии √ 2 от 0, который нормализует в D .

У разделенных комплексных чисел есть много других имен; см. § Синонимы ниже. См. Статью Переменная двигателя, чтобы узнать о функциях разделенного комплексного числа.

Определение [ править ]

Составное комплексное число - это упорядоченная пара действительных чисел, записанная в форме

${\ displaystyle z = x + jy}$

где x и y - действительные числа, а величина j удовлетворяет условию

${\ displaystyle j ^ {2} = + 1}$

Выбор результатов в комплексных числах . Именно это изменение знака отличает расщепленные комплексные числа от обычных комплексных. Величина j здесь не действительное число, а независимая величина.${\ displaystyle j ^ {2} = - 1}$

Совокупность всех таких z называется расщепляемой комплексной плоскостью . Сложение и умножение комплексных чисел с разбиением определяется формулой

${\ displaystyle {\ begin {align} (x + jy) + (u + jv) & = (x + u) + j (y + v) \\ (x + jy) (u + jv) & = (xu + yv) + j (xv + yu). \ end {align}}}$

Это умножение коммутативно , ассоциативно и распределяется по сложению.

Сопряженная, модульная и билинейная форма [ править ]

Так же, как для комплексных чисел, можно определить понятие комплексно- расщепляемого сопряжения . Если

${\ displaystyle z = x + jy}$

сопряжение z определяется как

${\ displaystyle z ^ {*} = x-jy.}$

Сопряжение обладает свойствами, аналогичными обычному комплексно сопряженному. А именно,

${\ displaystyle {\ begin {align} (z + w) ^ {*} & = z ^ {*} + w ^ {*} \\ (zw) ^ {*} & = z ^ {*} w ^ { *} \\\ left (z ^ {*} \ right) ^ {*} & = z. \ end {align}}}$

Эти три свойства означают , что сплит-комплексно сопряженное представляет собой автоморфизм из порядка 2.

Модуль сплит-комплексное число г = х + J  у задаются изотропной квадратичной формой

${\ displaystyle \ lVert z \ rVert = zz ^ {*} = z ^ {*} z = x ^ {2} -y ^ {2}.}$

Он обладает свойством композиционной алгебры :

${\ displaystyle \ lVert zw \ rVert = \ lVert z \ rVert \ lVert w \ rVert.}$

Однако эта квадратичная форма не является положительно определенной, а имеет сигнатуру (1, −1) , поэтому модуль не является нормой .

Соответствующая билинейная форма дается выражением

${\displaystyle \langle z,w\rangle =\operatorname {Re} \left(zw^{*}\right)=\operatorname {Re} \left(z^{*}w\right)=xu-yv,}$

где z = x + j  y и w = u + j  v . Другое выражение для модуля тогда

${\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle .}$

Поскольку она не является положительно определенной, эта билинейная форма не является внутренним продуктом ; тем не менее, билинейную форму часто называют неопределенным внутренним произведением . Подобное злоупотребление языком относится к модулю как к норме.

Расщепленное комплексное число обратимо тогда и только тогда, когда его модуль отличен от нуля ( ), поэтому x ± j x не имеет обратного. Мультипликативным обратным обратимого элемента задается${\displaystyle \lVert z\rVert \neq 0}$ 

${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{\lVert z\rVert }}.}$

Необратимые расщепляемые комплексные числа называются нулевыми векторами . Все они имеют вид ( a ± j  a ) для некоторого действительного числа a .

Диагональное основание [ править ]

Есть два нетривиальных идемпотентных элемента, заданных формулами e = (1 - j ) / 2 и e ^∗ = (1 + j ) / 2 . Напомним, что идемпотент означает, что ee = e и e ^∗ e ^∗ = e ^∗ . Оба эти элемента равны нулю:

${\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0.}$

Часто удобно использовать e и e ^∗ в качестве альтернативного базиса для расщепленной комплексной плоскости. Этот базис называется диагональным базисом или нулевым базисом . Комплексное число z расщепления можно записать в нулевом базисе как

${\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}.}$

Если мы обозначим число z = ae + be ^∗ для действительных чисел a и b через ( a , b ) , то комплексно-расщепляемое умножение будет иметь вид

${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2})\right.}$

В этом базисе становится ясно, что расщепляемые комплексные числа изоморфны по кольцу прямой сумме R ⊕ R с попарно определенными сложением и умножением.

Сплит-комплексно-сопряженный в диагональном базисе равен

${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$

а модуль на

${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab.}$

Хотя комплексная плоскость и прямая сумма двух вещественных прямых находятся в одном и том же классе изоморфизма в категории колец , на декартовой плоскости они различаются . Изоморфизм, как планарное отображение, состоит из поворота против часовой стрелки на 45 ° и растяжения на √ 2 . В частности, расширение иногда вызывало путаницу в связи с областями гиперболического сектора . Действительно, гиперболический угол соответствует области из сектора в R ⊕ R плоскости с его «единичной окружности» , заданной {( в , б ) ∈ R⊕ R  : ab = 1} . Сжатая единичная гипербола {ch a + j sinh a  : a ∈ R } расщепленной комплексной плоскости имеет только половину площади в промежутке соответствующего гиперболического сектора. Такое смешение может быть увековечена , когда геометрия сплит-комплексной плоскости не отличается от таковой R ⊕ R .

Геометрия [ править ]

Двумерное вещественное векторное пространство со скалярным произведением Минковского называется (1 + 1) -мерным пространством Минковского , часто обозначаемым R ^1,1 . Подобно тому, как большая часть геометрии евклидовой плоскости R ² может быть описана с помощью комплексных чисел, геометрия плоскости Минковского R ^1,1 может быть описана с помощью комплексных чисел с расщеплением.

Набор точек

${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =a^{2}\right\}}$

является гиперболой для любого ненулевого в R . Гипербола состоит из правой и левой ветвей, проходящих через ( a , 0) и (- a , 0) . Случай a = 1 называется гиперболой единицы . Сопряженная гипербола задается формулой

${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =-a^{2}\right\}}$

с верхней и нижней ветвью, проходящей через (0, a ) и (0, - a ) . Гипербола и сопряженная гипербола разделены двумя диагональными асимптотами, которые образуют набор нулевых элементов:

${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.}$

Эти две линии (иногда называемый нулевой конус ) являются перпендикулярна в R ² и имеют наклоны ± 1.

Split-комплексные числа г и ш называется гиперболическим ортогональным , если ⟨ г , ш ⟩ = 0 . Хотя это условие аналогично обычной ортогональности, в частности, в обычной арифметике комплексных чисел, это условие более тонкое. Он составляет основу концепции одновременной гиперплоскости в пространстве-времени.

Аналог формулы Эйлера для расщепленных комплексных чисел:

${\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).\,}$

Это можно вывести из разложения в степенной ряд, используя тот факт, что cosh имеет только четные степени, а для sinh - нечетные степени. Для всех действительных значений гиперболического угла θ расщепляемое комплексное число λ = exp ( jθ ) имеет норму 1 и лежит на правой ветви единичной гиперболы. Такие числа, как λ, были названы гиперболическими версорами .

Поскольку λ имеет модуль 1, умножение любого расщепляемого комплексного числа z на λ сохраняет модуль z и представляет собой гиперболическое вращение (также называемое усилением Лоренца или отображением сжатия ). Умножение на λ сохраняет геометрическую структуру, переводя гиперболы в себя, а нулевой конус в себя.

Множество всех преобразований расщепленной комплексной плоскости, которые сохраняют модуль (или, что эквивалентно, внутреннее произведение), образует группу, называемую обобщенной ортогональной группой O (1, 1) . Эта группа состоит из гиперболических вращений, которые образуют подгруппу, обозначенную SO ⁺ (1, 1) , в сочетании с четырьмя дискретными отражениями, заданными формулой

${\displaystyle z\mapsto \pm z}$ и ${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}$

Экспоненциальная карта

${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}$

отправка & thetas к вращению на ехре ( jθ ) является групповым изоморфизмом , так как обычная экспоненциальная формула:

${\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.\,}$

Если расщепленное комплексное число z не лежит на одной из диагоналей, то z имеет полярное разложение .

Алгебраические свойства [ править ]

В абстрактной алгебре терминах, расщепленные-комплексные числа можно охарактеризовать как частное от кольца многочленов R [ х ] от идеала , порожденного многочлен х ² - 1 ,

R [ x ] / ( x ² - 1).

Образ x в частном - это «мнимая» единица j . Из этого описания становится ясно, что расщепленные комплексные числа образуют коммутативное кольцо с характеристикой 0. Более того, если мы определим скалярное умножение очевидным образом, расщепленные комплексные числа образуют коммутативную и ассоциативную алгебру размерности два над действительными числами. . Алгебра не является алгеброй с делением или полем, поскольку нулевые элементы не обратимы. Все ненулевые нулевые элементы являются делителями нуля .

Поскольку сложение и умножение являются непрерывными операциями по отношению к обычной топологии плоскости, расщепленные комплексные числа образуют топологическое кольцо .

Алгебра расщепляемых комплексных чисел образует композиционную алгебру, поскольку

${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }$  для любых чисел z и w .

Из определения видно , что кольцо сплит-комплексных чисел изоморфна группе кольца R [C ₂ ] в циклической группе C ₂ над вещественными числами R .

Матричные представления [ править ]

Комплексные числа с разбиением легко представить матрицами . Сплит-комплексное число

${\displaystyle z=x+jy}$

можно представить матрицей

${\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.}$

Сложение и умножение комплексных чисел с разбиением затем задаются сложением и умножением матриц. Модуль z задается определителем соответствующей матрицы. В этом представлении расщепленное комплексное сопряжение соответствует умножению с обеих сторон на матрицу

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Для любого действительного числа a гиперболический поворот на гиперболический угол a соответствует умножению на матрицу

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}.}$

Диагональный базис для плоскости разделенных комплексных чисел может быть вызван с помощью упорядоченной пары ( x , y ) для и создания отображения${\displaystyle z=x+jy}$

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S.}$

Теперь квадратичная форма. Кроме того,${\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.}$

${\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)}$

так что две параметризованные гиперболы приводятся в соответствие с S .

Действие по гиперболической versor соответствует тогда под этим линейным преобразованием к отображению сжатия${\displaystyle e^{bj}\!}$

${\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}.}$

Обратите внимание, что в контексте вещественных матриц 2 × 2 на самом деле существует большое количество различных представлений разделенных комплексных чисел. Вышеуказанное диагональное представление представляет собой жорданову каноническую форму матричного представления расщепленных комплексных чисел. Для разделенного комплексного числа z = ( x , y ), заданного следующим матричным представлением:

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}}$

его каноническая форма Иордании определяется следующим образом:

${\displaystyle J_{z}={\begin{pmatrix}x+y&0\\0&x-y\end{pmatrix}},}$

где и ${\displaystyle Z=SJ_{z}S^{-1}\ ,}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

История [ править ]

Использование разделенных комплексных чисел восходит к 1848 году, когда Джеймс Кокл показал свои тессарины . ^[1] Уильям Кингдон Клиффорд использовал комплексные числа с разбиением для обозначения суммы вращений. Клиффорд ввел использование расщепленных комплексных чисел в качестве коэффициентов в алгебре кватернионов, которая теперь называется расщепленными бикватернионами . Он назвал его элементы «двигателями», термин, параллельный действию «ротора» обычного комплексного числа, взятого из группы кругов . Продолжая аналогию, функции двигательной переменной отличаются от функций обычной комплексной переменной .

С конца ХХ века, разделенного комплексное умножение имеет обычно рассматривается как импульс Лоренца в виде пространственно - временной плоскости. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]} В этой модели число z = x + y  j представляет событие в пространственно-временной плоскости, где x измеряется в наносекундах, а y - в единицах Мермина. ноги . Будущее соответствует квадранту событий { z  : | y | < x }, который имеет расщепленное комплексное полярное разложение${\displaystyle z=\rho e^{aj}\!}$. Модель утверждает, что z может быть достигнуто из начала координат, введя систему отсчета с быстротой a и ожидая ρ наносекунд. Расщепленное комплексное уравнение

${\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}}$

выражение произведений на единичной гиперболе иллюстрирует аддитивность быстрот для коллинеарных скоростей. Одновременность событий зависит от скорости а ;

${\displaystyle \lbrace z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \rbrace }$

- это линия событий, одновременная с началом координат в системе отсчета с быстротой a .

Два события г и ш является гиперболическими ортогонален , когда г ^* ш + ZW ^* = 0 . Канонические события exp ( aj ) и j exp ( aj ) гиперболически ортогональны и лежат на осях системы отсчета, в которой события, одновременные с началом координат, пропорциональны j exp ( aj ) .

В 1933 году Макс Цорн использовал расщепленные октонионы и отметил свойство композиционной алгебры . Он понял, что конструкция Кэли-Диксона , используемая для генерации алгебр с делением, может быть модифицирована (с коэффициентом гамма (γ)) для построения других композиционных алгебр, включая расщепленные октонионы. Его новаторство было увековечено Адрианом Альбертом , Ричардом Д. Шафер и другими. ^[8] Гамма-фактор с ℝ в качестве базового поля строит расщепляемые комплексные числа как композиционную алгебру. В обзоре журнала Albert for Mathematical Reviews Н. Н. Маккой писал, что было «введение некоторых новых алгебр порядка 2 ^e над F.обобщающие алгебры Кэли – Диксона » ^[9]. Взятие F = ℝ и e = 1 соответствует алгебре из этой статьи.

В 1935 г. Дж. Винно и А. Дураньона-и-Ведиа разработали комплексно-расщепленную геометрическую алгебру и теорию функций в четырех статьях в Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas , Национальный университет Ла-Платы , Аргентина (на испанском языке). Эти разъяснительные и педагогические эссе представляют предмет для широкой оценки. ^[10]

В 1941 году Э. Ф. Аллен применил геометрическую арифметику расщепленных комплексов, чтобы установить гиперболу из девяти точек треугольника, вписанного в  zz ^∗ = 1 . ^[11]

В 1956 году Мечислав Вармус опубликовал «Исчисление приближений» в Bulletin de l'Académie polonaise des Sciences (см. Ссылку в разделе «Ссылки»). Он разработал две алгебраические системы, каждую из которых он назвал «приближенными числами», вторая из которых образует действительную алгебру. ^[12] Д.Х. Лемер рассмотрел статью в « Mathematical Reviews» и заметил, что эта вторая система изоморфна «гиперболическим комплексным» числам, предмету данной статьи.

В 1961 году Вармус продолжил свое изложение, ссылаясь на компоненты приблизительного числа как на середину и радиус обозначенного интервала.

Синонимы [ править ]

Разные авторы использовали множество названий комплексных чисел с разбиением на части. Некоторые из них включают:

• ( настоящие ) тессарины , Джеймс Кокл (1848)
• ( алгебраические ) двигатели , У. К. Клиффорд (1882 г.)
• гиперболические комплексные числа , Ж. Винно (1935)
• двумерные числа , У. Бенчивенга (1946)
• приблизительные числа , Warmus (1956), для использования в интервальном анализе
• countercomplex или гиперболические числа от Musean hypernumbers
• двойные числа , И. М. Яглом (1968), Кантор и Солодовников (1989), Хазевинкель (1990), Руни (2014)
• анормально-комплексные числа , В. Бенц (1973)
• сложные числа , П. Фьелстад (1986) и Poodiack & LeClair (2009)
• Числа Лоренца , Ф. Р. Харви (1990)
• гиперболические числа , Г. Собчик (1995)
• паракомплексные числа , Cruceanu, Fortuny & Gadea (1996)
• полукомплексные числа , Ф. Антонуччо (1994)
• разделенные бинарионы , К. МакКриммон (2004)
• расщепляемые комплексные числа , Б. Розенфельд (1997) ^[13]
• Пространственно-временные числа , Н. Борота (2000)
• Номера исследований , П. Лаунесто (2001)
• Два комплексных числа , С. Олариу (2002)

Сплит-комплексные числа и их многомерные родственники ( расщепленные кватернионы / кокватернионы и расщепленные октонионы ) иногда назывались «числами Музея», поскольку они являются подмножеством программы гиперчислов, разработанной Шарлем Мусесом .

См. Также [ править ]

• Пространство Минковского
• Сплит-кватернион
• Номер гиперкомплекса

Ссылки [ править ]

В Викиучебнике по ассоциативной алгебре композиции есть страница по теме: Разделение бинарионов

• Бенчивенга, Ульдрико (1946) "Sulla rappresentazione geometrya delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli , Ser (3) v.2 No7. Руководство по ремонту 0021123 .
• Вальтер Бенц (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren , Springer
• Н. А. Борота, Э. Флорес и Т. Дж. Ослер (2000) "Пространство-время - простой путь", Математика и компьютерное образование 34: 159–168.
• Н. А. Борота и Т. Дж. Ослер (2002) "Функции пространственно-временной переменной", Математика и компьютерное образование 36: 231–239.
• К. Кармоди, (1988) "Круглые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы", Appl. Математика. Comput. 28: 47–72.
• К. Кармоди, (1997) "Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы - дальнейшие результаты", Appl. Математика. Comput. 84: 27–48.
• Уильям Кингдон Клиффорд (1882) « Математические работы» , редактор А. В. Такера, стр. 392, «Дальнейшие заметки о бикватернионах»
• В. Кручану, П. Фортуни и П. М. Гадеа (1996) Обзор паракомплексной геометрии , Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 (1): 83–115, ссылка из проекта Euclid .
• Де Бур, Р. (1987) "Также известный как список недоуменных чисел", Американский журнал физики 55 (4): 296.
• Энтони А. Харкин и Джозеф Б. Харкин (2004) Геометрия обобщенных комплексных чисел , Математический журнал 77 (2): 118–29.
• Ф. Риз Харви. Спиноры и калибровки. Academic Press, Сан-Диего. 1990. ISBN 0-12-329650-1 . Содержит описание нормированных алгебр с неопределенной сигнатурой, включая числа Лоренца. 
• Хазевинкль, М. (1994) "Двойные и двойственные числа", Энциклопедия математики , Советский / AMS / Kluwer, Dordrect.
• Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр , стр 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924 
• C. Musès, "Прикладные гиперчисла: вычислительные концепции", Appl. Математика. Comput. 3 (1977) 211–226.
• C. Musès, "Hypernumbers II - Дальнейшие концепции и вычислительные приложения", Appl. Математика. Comput. 4 (1978) 45–66.
• Олариу, Сильвиу (2002) Комплексные числа в N измерениях , Глава 1: Гиперболические комплексные числа в двух измерениях, страницы 1–16, North-Holland Mathematics Studies # 190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7 . 
• Poodiack, Роберт Д. и Кевин Дж. Леклер (2009) «Основные теоремы алгебры для недоумений», College Mathematics Journal 40 (5): 322–35.
• Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , перевод Э. Примроуза с русского оригинала 1963 года, Academic Press , стр. 18–20.
• Дж. Руни (2014). «Обобщенные комплексные числа в механике». В Марко Чеккарелли и Викторе А. Глазунове (ред.). Достижения теории и практики роботов и манипуляторов: материалы Romansy 2014 XX симпозиум CISM-IFToMM по теории и практике роботов и манипуляторов . Механизмы и машиноведение. 22 . Springer. С. 55–62. DOI : 10.1007 / 978-3-319-07058-2_7 . ISBN 978-3-319-07058-2.