Подпись метрики

В математике , в подписи ( v , р , г ) в виде метрического тензора г (или эквивалентно, реальная квадратичная форма рассматривать как реальная симметричная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве ) это число (с учетом кратности) из положительные, отрицательные и нулевые собственные значения вещественной симметричной матрицы g _ab метрического тензора относительно базиса . В релятивистской физике , то vпредставляет время или виртуальное измерение, а p - пространство и физическое измерение. В качестве альтернативы его можно определить как размерность максимального положительного и нулевого подпространства . По закону инерции Сильвестра эти числа не зависят от выбора основы. Таким образом, подпись классифицирует метрику до выбора основы. Подпись часто обозначается парой целых чисел ( v , p ), подразумевающей r = 0, или явным списком знаков собственных значений, таких как (+, -, -, -) или (-, +, +, +) для подписей (1, 3, 0) и (3, 1, 0) соответственно.^[1]

Сигнатура называется неопределенной или смешанной, если и v, и p ненулевые, и вырожденной, если r не равно нулю. Риманова метрика метрика с положительно определенной сигнатуры ( об , 0) . Лоренцевы метрика является метрикой с сигнатурой ( р , 1) , или (1, р ) .

Существует еще одно понятие сигнатуры невырожденного метрического тензора, заданного одним числом s, определенным как ( v - p ) , где v и p такие же, как указано выше, что эквивалентно приведенному выше определению, когда задана размерность n = v + p. или неявный. Например, s = 1 - 3 = −2 для (+, -, -, -) и его зеркальное отображение s ' = - s = +2 для (-, +, +, +) .

Определение [ править ]

Сигнатура метрического тензора определяется как сигнатура соответствующей квадратичной формы . ^[2] Это количество ( v , p , r ) положительных и нулевых собственных значений любой матрицы (т. Е. В любом базисе для лежащего в основе векторного пространства), представляющей форму, с учетом их алгебраической кратности . Обычно требуется r = 0 , что равносильно тому, что метрический тензор должен быть невырожденным, т. Е. Никакой ненулевой вектор не ортогонален всем векторам.

По закону инерции Сильвестра числа ( v , p , r ) не зависят от базиса.

Свойства [ править ]

Подпись и размер [ править ]

По спектральной теореме симметричная матрица размера n × n над вещественными числами всегда диагонализуема и, следовательно, имеет ровно n действительных собственных значений (считая с алгебраической кратностью ). Таким образом, v + p = n = dim ( V ) .

Закон инерции Сильвестра: независимость выбора базиса и наличие ортонормированного базиса [ править ]

Согласно закону инерции Сильвестра , сигнатура скалярного произведения (также известного как действительная симметричная билинейная форма), g не зависит от выбора базиса. Более того, для каждой метрики g сигнатуры ( v , p , r ) существует такой базис, что g _ab = +1 при a = b = 1, ..., v , g _ab = −1 при a = b = v + 1, ..., v + p и g _ab= 0 в противном случае. Следовательно, существует изометрия ( V ₁ , g ₁ ) → ( V ₂ , g ₂ ) тогда и только тогда, когда сигнатуры g ₁ и g ₂ равны. Точно так же сигнатура равна для двух конгруэнтных матриц и классифицирует матрицу до конгруэнтности. Эквивалентно, сигнатура постоянна на орбитах общей линейной группы GL ( V ) в пространстве симметричных контравариантных тензоров ранга 2 S ²V ^∗ и классифицирует каждую орбиту.

Геометрическая интерпретация индексов [ править ]

Число v (соответственно p ) - это максимальная размерность векторного подпространства, на котором скалярное произведение g положительно определено (соответственно отрицательно определено), а r - размерность радикала скалярного произведения g или нуль. подпространство в симметричной матрице г _аб от скалярного произведения . Таким образом, невырожденное скалярное произведение имеет сигнатуру ( v , p , 0) , где v + p = n . Двойственность частных случаев ( v ,p , 0) соответствуют двум скалярным собственным значениям, которые могут быть преобразованы друг в друга взаимным зеркальным отражением.

Примеры [ править ]

Матрицы [ править ]

Сигнатура единичной матрицы размера n × n равна ( n , 0, 0) . Сигнатура диагональной матрицы - это количество положительных, отрицательных и нулевых чисел на ее главной диагонали .

Следующие матрицы имеют одинаковую сигнатуру (1, 1, 0) , поэтому они конгруэнтны из-за закона инерции Сильвестра :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Скалярные произведения [ править ]

Стандартное скалярное произведение, определенное на, имеет n -мерные сигнатуры ( v , p , r ) , где v + p = n и ранг r = 0 . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

В физике пространство Минковского представляет собой пространственно-временное многообразие с базисами v = 1 и p = 3 и имеет скалярное произведение, определяемое либо матрицей: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\check {g}}$

{\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

который имеет сигнатуру и известен как космическое превосходство или космическое превосходство; или зеркальная сигнатура , известная как виртуальное превосходство или подобие времени с матрицей. $(1,3,0)^{-}$ $(1,3,0)^{+}$ ${\hat {g}}$

{\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}

Как вычислить подпись [ править ]

Есть несколько методов вычисления сигнатуры матрицы.

Для любой невырожденной симметричной по п × п матрицы, диагонализовать его (или найти все собственные значения из него) и подсчитать количество положительных и отрицательных признаков.
Для симметричной матрицы характеристический многочлен будет иметь все действительные корни, знаки которых в некоторых случаях могут полностью определяться правилом знаков Декарта .
Алгоритм Лагранжа позволяет вычислить ортогональный базис и, таким образом, вычислить диагональную матрицу, конгруэнтную (таким образом, с той же сигнатурой) другой: сигнатура диагональной матрицы - это количество положительных, отрицательных и нулевых элементов на ее диагонали. .
Согласно критерию Якоби симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все определители ее главных миноров положительны.

Подпись по физике [ править ]

В математике обычным условием для любого риманова многообразия является использование положительно определенного метрического тензора (что означает, что после диагонализации все элементы на диагонали положительны).

В теоретической физике , пространство моделируются псевдоримановом многообразия . Сигнатура подсчитывает, сколько времениподобных или пространственных символов находится в пространстве-времени в смысле, определяемом специальной теорией относительности : как используется в физике элементарных частиц , метрика имеет собственное значение во времениподобном подпространстве, а его зеркальное собственное значение в пространстве-времени. пространственноподобное подпространство. В конкретном случае метрики Минковского ,

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}

,

метрическая сигнатура: или (+, -, -, -), если ее собственное значение определено во временном направлении, или или (-, +, +, +), если собственное значение определено в трех пространственных направлениях x , y и z . (Иногда используется противоположное соглашение о знаках , но в данном случае s непосредственно измеряет собственное время .) $(1,3,0)^{+}$ $(1,3,0)^{-}$

Изменение подписи [ править ]

Если метрика везде регулярна, то сигнатура метрики постоянна. Однако, если учесть метрики, которые являются вырожденными или разрывными на некоторых гиперповерхностях, то сигнатура метрики может измениться на этих поверхностях. ^[3] Такие метрики, изменяющие сигнатуру, возможно, найдут применение в космологии и квантовой гравитации .

См. Также [ править ]

псевдориманово многообразие
Подписать соглашение

Примечания [ править ]

^ Роуленд, Тодд. «Матричная подпись». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком Вайсштейном. http://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html
^ Ландау, LD ; Лифшиц, Е.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . С. 245–246. ISBN 0 7506 2768 9.CS1 maint: ref=harv (link)
^ Дрей, Тевиан; Эллис, Джордж; Хеллаби, Чарльз; Маног, Корин А. (1997). «Смена гравитации и подписи». Общая теория относительности и гравитации . 29 : 591–597. arXiv : gr-qc / 9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . DOI : 10,1023 / A: 1018895302693 .

[1] Роуленд, Тодд. «Матричная подпись». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram, созданного Эриком Вайсштейном. http://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html

[2] Ландау, LD ; Лифшиц, Е.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . С. 245–246. ISBN 0 7506 2768 9.CS1 maint: ref=harv (link)

[3] Дрей, Тевиан; Эллис, Джордж; Хеллаби, Чарльз; Маног, Корин А. (1997). «Смена гравитации и подписи». Общая теория относительности и гравитации . 29 : 591–597. arXiv : gr-qc / 9610063 . Bibcode : 1997GReGr..29..591D . DOI : 10,1023 / A: 1018895302693 .

[1]