Симметричная билинейная форма

Симметричная билинейная форма на векторном пространстве является билинейное отображение из двух экземпляров векторного пространства в поле скаляров таким образом, что порядок следования двух векторов не влияет на стоимость карте. Другими словами, это билинейная функция, которая отображает каждую пару элементов векторного пространства в базовое поле так, что для каждого и in . Они также называются более кратко просто симметричными формами, когда понимается «билинейные».${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle (и, v)}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle В (и, v) = В (v, и)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$

Симметричные билинейные формы на конечномерных векторных пространств точности соответствуют симметричных матриц , приведенных в основу для V . Среди билинейных форм важны симметричные, потому что это те, для которых векторное пространство допускает особенно простой вид базиса, известный как ортогональный базис (по крайней мере, когда характеристика поля не равна 2).

Для симметричной билинейной формы B функция q ( x ) = B ( x , x ) является ассоциированной квадратичной формой в векторном пространстве. Более того, если характеристика поля не равна 2, B - единственная симметричная билинейная форма, связанная с q .

Формальное определение [ править ]

Пусть V векторное пространство размерности п над полем K . Карта является симметричной билинейной формой на пространстве , если:${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$

• ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}$
• ${\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}$
• ${\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}$

Последние две аксиомы устанавливают линейность только по первому аргументу, но первая аксиома (симметрия) сразу же подразумевает линейность и по второму аргументу.

Примеры [ править ]

Пусть V = R ⁿ , n- мерное вещественное векторное пространство. Тогда стандартное скалярное произведение представляет собой симметричную билинейную форму, B ( x , y ) = x ⋅ y . Матрица, соответствующая этой билинейной форме (см. Ниже) на стандартном базисе, является единичной матрицей.

Пусть V - любое векторное пространство (включая, возможно, бесконечномерное), и предположим, что T - линейная функция от V к полю. Тогда функция, определяемая формулой B ( x , y ) = T ( x ) T ( y ), является симметричной билинейной формой.

Пусть V - векторное пространство непрерывных вещественных функций одной переменной. Ибо можно определить . В силу свойств определенных интегралов , это определяет симметричную билинейную форму на V . Это пример симметричной билинейной формы, которая не связана с какой-либо симметричной матрицей (поскольку векторное пространство бесконечномерно).${\displaystyle f,g\in V}$${\displaystyle \textstyle B(f,g)=\int _{0}^{1}f(t)g(t)dt}$

Матричное представление [ править ]

Пусть базис для V . Определим матрицу A размера n × n с помощью . Матрица A является симметричной матрицей именно из-за симметрии билинейной формы. Если матрица x размером n × 1 представляет вектор v относительно этого базиса, и аналогично, y представляет w , то определяется как:${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$${\displaystyle A_{ij}=B(e_{i},e_{j})}$${\displaystyle B(v,w)}$

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.}$

Пусть C» , является еще одним основанием для V , с: с S обратимого п × п матрицы. Теперь новое матричное представление для симметричной билинейной формы имеет вид${\displaystyle {\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$

${\displaystyle A'=S^{\mathsf {T}}AS.}$

Ортогональность и сингулярность [ править ]

Симметричная билинейная форма всегда рефлексивна . Два вектора v и w определяются как ортогональные относительно билинейной формы B, если B ( v , w ) = 0 , что в силу рефлексивности эквивалентно B ( w , v ) = 0 .

Радикалом билинейной формы B есть множество векторов , ортогональных с каждым вектором в V . То, что это подпространство V, следует из линейности B по каждому из его аргументов. При работе с матричным представлением A относительно некоторого базиса v , представленная x , находится в радикале тогда и только тогда, когда

${\displaystyle Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.}$

Матрица A сингулярна тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Если W является подмножеством V , то его ортогональное дополнение W ^⊥ - это множество всех векторов в V , которые ортогональны каждому вектору в W ; это подпространство V . Когда B невырожден, радикал B тривиален и размерность W ^⊥ равна dim ( W ^⊥ ) = dim ( V ) - dim ( W ) .

Ортогональный базис [ править ]

Базис ортогонален относительно B тогда и только тогда, когда:${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.}$

Когда характеристика поля не равна двум, V всегда имеет ортогональный базис. Это можно доказать по индукции .

Базис C ортогонален тогда и только тогда, когда матричное представление A является диагональной матрицей .

Подпись и закон инерции Сильвестра [ править ]

В более общей форме закон инерции Сильвестра гласит, что при работе с упорядоченным полем числа диагональных элементов в диагонализованной форме матрицы, которые являются положительными, отрицательными и нулевыми соответственно, не зависят от выбранного ортогонального базиса. Эти три числа образуют сигнатуру билинейной формы.

Реальный случай [ править ]

При работе с пространством над реалами можно пойти немного дальше. Позвольте быть ортогональным базисом.${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Определяем новую основу ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}}$

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей только с 0, 1 и −1 на диагонали. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Сложный случай [ править ]

Работая в пространстве над комплексными числами, можно пойти и дальше, и это даже проще. Позвольте быть ортогональным базисом.${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Определяем новую основу  :${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{cases}}}$

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей только с 0 и 1 на диагонали. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Ортогональные полярности [ править ]

Пусть B - симметричная билинейная форма с тривиальным радикалом на пространстве V над полем K с характеристикой не 2. Теперь можно определить отображение из D ( V ), множества всех подпространств в V , в себя:

${\displaystyle \alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }.}$

Это отображение является ортогональной полярностью на проективном пространстве PG ( W ). Наоборот, можно доказать, что все ортогональные полярности индуцированы таким образом, и что две симметричные билинейные формы с тривиальным радикалом индуцируют одну и ту же полярность тогда и только тогда, когда они равны с точностью до скалярного умножения.

Ссылки [ править ]

• Адкинс, Уильям А .; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992). Алгебра: подход через теорию модулей . Тексты для выпускников по математике . 136 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-97839-9. Zbl  0768.00003 .
• Милнор, Дж ; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016 .
• Вайсштейн, Эрик В. "Симметричная билинейная форма" . MathWorld .