Переменная двигателя

В математике , функция переменного двигателя является функцией с аргументами и значениями в двойных числах плоскости, так же как функции от комплексного переменного включают обычные комплексные числа . Уильям Кингдон Клиффорд ввел термин мотор для кинематического оператора в своем «Предварительном наброске бикватернионов» (1873 г.). Он использовал расщепленные комплексные числа для скаляров в своих расщепленных бикватернионах . Здесь моторная переменная используется вместо комплексной переменной для благозвучия и традиции.

Например,

${\ Displaystyle е (Z) = U (Z) + J \ V (Z), \ Z = x + jy, \ x, y \ in R, \ quad j ^ {2} = + 1, \ quad u ( z), v (z) \ in R.}$

Функции моторной переменной предоставляют контекст для расширения реального анализа и обеспечивают компактное представление отображений плоскости. Однако эта теория далеко отстает от теории функций на обычной комплексной плоскости . Тем не менее, некоторые аспекты традиционного комплексного анализа интерпретируются с помощью моторных переменных и, в более общем смысле, в гиперкомплексном анализе .

Элементарные функции моторной переменной [ править ]

Пусть D = расщепленная комплексная плоскость. Следующие примерные функции f имеют домен и диапазон в D :${\ displaystyle \ {z = x + jy: x, y \ in R \}}$

Действие гиперболического версора сочетается с трансляцией, чтобы произвести аффинное преобразование.${\displaystyle u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a}$

${\displaystyle f(z)=uz+c\ }$. Когда c = 0, функция эквивалентна отображению сжатия .

Функция возведения в квадрат не имеет аналогов в обычной комплексной арифметике. Позволять

${\displaystyle f(z)=z^{2}\ }$ и обратите внимание, что ${\displaystyle f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

В результате четыре квадранта отображаются в один компонент идентичности :

${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}}$.

Обратите внимание, что образует единичную гиперболу . Таким образом, взаимность${\displaystyle zz^{*}=1\ }$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

включает гиперболу как опорную кривую в отличие от круга в C.

На расширенной комплексной плоскости имеется класс функций, называемых преобразованиями Мёбиуса :

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Используя понятие проективной прямой над кольцом , проективная прямая P ( D ) образует группу гомографий GL (2, D ) и действует на ней . В конструкции используются однородные координаты с компонентами разделенного комплексного числа.

На обычной комплексной плоскости преобразование Кэли переносит верхнюю полуплоскость на единичный круг , тем самым ограничивая его. Отображение компонента идентичности U ₁ в прямоугольник обеспечивает сопоставимое ограничивающее действие:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T}$

где T = { z = x + j y  : | y | < x <1 или | y | <2 - x, когда 1 ≤ x <2}.

Опыт, логарифм и квадратный корень [ править ]

Экспоненциальная функция несет всю плоскость D в U ₁ :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x}$.

Таким образом, когда x = b j, то e ^x - гиперболический версор. Для общей моторной переменной z = a + b j имеем

${\displaystyle e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\ }$.

В теории функций двигательной переменной особое внимание следует обратить на функции квадратного корня и логарифма. В частности, плоскость сплит-комплексные чисел состоит из четырех компонент связности и множества особых точек , которые не имеют обратный: диагонали г = х ± х J, х ∈ R . Компонент идентичности , а именно { z  : x > | y | } - это диапазон функции возведения в квадрат и экспоненты. Таким образом, это областьфункций квадратного корня и логарифма. Остальные три квадранта не принадлежат области, потому что квадратный корень и логарифм определены как взаимно однозначные обратные значения функции возведения в квадрат и экспоненциальной функции.

Графическое описание логарифма D дано Motter & Rosa в их статье «Гиперболическое исчисление» (1998). ^[1]

D-голоморфные функции [ править ]

В уравнении Кошей-Риман , характеризующие голоморфные функции на области в комплексной плоскости имеет аналог для функций переменного двигателя. Подход к D-голоморфным функциям с использованием производной Виртингера был предложен Motter & Rossa: ^[1] Функция f = u + j v называется D-голоморфной, когда

${\displaystyle 0\ =\ ({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y})(u+jv)}$

${\displaystyle =\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).}$

Рассматривая действительные и мнимые компоненты, D-голоморфная функция удовлетворяет

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.}$

Эти уравнения были опубликованы ^[2] в 1893 году Георгом Шефферсом , поэтому они были названы «условиями Шефферса». ^[3]

Подобный подход в теории гармонических функций можно увидеть в тексте Питера Дюрена. ^[4] Очевидно, что компоненты u и v D-голоморфной функции f удовлетворяют волновому уравнению , связанному с Даламбером , тогда как компоненты C-голоморфных функций удовлетворяют уравнению Лапласа .

Уроки Ла-Платы [ править ]

В 1935 году в Национальном университете Ла-Платы Дж. К. Винно, специалист по конвергенции бесконечных рядов , опубликовал четыре статьи о двигательной переменной для ежегодного университетского журнала. ^[5] Он является единственным автором вводной, а по остальным консультировался с руководителем своего отдела А. Дураньона и Ведия. В "Sobre las series de numeros complejos hiperbolicos" он говорит (стр. 123):

Эта система гиперболических комплексных чисел [моторных переменных] представляет собой прямую сумму двух полей, изоморфных полю действительных чисел; это свойство позволяет объяснить теорию рядов и функций гиперболического комплексного переменного посредством использования свойств поля действительных чисел.

Затем он переходит, например, к обобщению теорем Коши, Абеля, Мертенса и Харди на область определения двигательной переменной.

В первой статье, цитируемой ниже, он рассматривает D-голоморфные функции и выполнение уравнения Даламбера их компонентами. Он называет прямоугольник со сторонами, параллельными диагоналям y = x и y = - x , изотропным прямоугольником, поскольку его стороны лежат на изотропных линиях . Он завершает свое резюме следующими словами:

Изотропные прямоугольники играют фундаментальную роль в этой теории, поскольку они образуют области существования голоморфных функций, области сходимости степенных рядов и области сходимости функциональных рядов.

Винно завершил свою серию шестистраничной заметкой о приближении D-голоморфных функций в единичном изотропном прямоугольнике полиномами Бернштейна . Хотя в этой серии есть несколько типографских ошибок, а также пара технических недостатков, Винно удалось изложить основные направления теории, лежащие между реальным и обычным комплексным анализом. Текст особенно впечатляет как поучительный документ для студентов и преподавателей благодаря образцовой проработке элементов. Более того, вся экскурсия основана на «ее отношении к геометрии Эмиля Бореля », чтобы подтвердить ее мотивацию.

Биреальная переменная [ править ]

В 1892 году Коррадо Сегре вспомнил о тессариновой алгебре как о бикомплексных числах . ^[6] Естественно возникла подалгебра реальных тессаринов, которую стали называть двумерными числами .

В 1946 году У. Бенчивенга опубликовал эссе ^[7] о двойственных числах и расщепленных комплексных числах, в котором он использовал термин двумерное число. Он также описал некоторые аспекты теории функций двумерной переменной. Эссе изучали в Университете Британской Колумбии в 1949 году, когда Джеффри Фокс написал магистерскую диссертацию «Теория элементарных функций гиперкомплексной переменной и теория конформных отображений в гиперболической плоскости». На странице 46 Фокс сообщает: «Бенчивенга показал, что функция двумерной переменной отображает гиперболическую плоскость в себя таким образом, что в тех точках, для которых производная функции существует и не обращается в нуль, гиперболические углы сохраняются в отображение ».

Г. Фокс переходит к полярному разложению двумерной переменной и обсуждает гиперболическую ортогональность . Исходя из другого определения, он доказывает на странице 57.

Теорема 3.42: два вектора взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда их единичные векторы являются взаимно отражениями друг друга в той или иной диагональной прямой, проходящей через 0.

Фокс фокусируется на «билинейных преобразованиях» , где есть двумерные константы. Чтобы справиться с сингулярностью, он увеличивает плоскость единственной точкой на бесконечности (стр. 73).${\displaystyle w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$

Среди его новых вкладов в теорию функций - концепция взаимосвязанной системы . Фокс показывает, что для двунаправленного k удовлетворяет

( а - б ) ² <| k | <( a + b ) ²

гиперболы

| z | = a ² и | z - k | = b ²

не пересекаются (образуют замкнутую систему). Затем он показывает, что это свойство сохраняется при билинейных преобразованиях двумерной переменной.

Компактификация [ править ]

Мультипликативная обратная функция настолько важна , что крайние меры , чтобы включить его в отображениях дифференциальной геометрии . Например, комплексная плоскость сворачивается в сферу Римана для обычной комплексной арифметики. Для расщепленной комплексной арифметики вместо сферы используется гиперболоид : как и в случае со сферой Римана, метод представляет собой стереографическую проекцию от P = (0, 0, 1) через t = ( x , y , 0) на гиперболоид. Линия L = Pt параметризуется s в${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}.}$${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}}$так что он проходит P, когда s равно нулю, и t, когда s равно единице.

Из H ∩ L следует, что

${\displaystyle (1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{ so that}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.}$

Если t находится на нулевом конусе , то s = 2 и (2 x , ± 2 x , - 1) находится на H , противоположные точки (2 x , ± 2 x , 1) составляют световой конус на бесконечности, который равен изображение нулевого конуса при инверсии.

Обратите внимание, что для t с s отрицательно. Подразумевается, что задние лучи через P , чтобы т обеспечивают точку на H . Эти точки t находятся выше и ниже гиперболы, сопряженной с единичной гиперболой.${\displaystyle y^{2}>1+x^{2},}$

Компактификация должна быть завершена в P ³ R с однородными координатами ( w, x, y, z ), где w = 1 определяет аффинное пространство ( x, y, z ), используемое до сих пор. Гиперболоид H впитывается в проективную конику, являющуюся компактным пространством .${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},}$

Вальтер Бенц выполнил компактификацию с помощью картографии Ганса Бека. Исаак Яглом проиллюстрировал двухступенчатую компактификацию, как указано выше, но с комплексной плоскостью, касательной к гиперболоиду. ^[8] В 2015 году Emanuello & Nolder выполнили компактификацию, сначала встраивая моторную плоскость в тор , а затем сделав ее проективной, определив точки противоположные . ^[9]

Ссылки [ править ]

• Франческо Катони, Дино Боккалетти и Роберто Канната (2008) Математика пространства-времени Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. Глава 7: Функции гиперболической переменной.