Преобразование Кэли

В математике , то преобразование Кэли , названный в честь Артура Кэли , любая из кластера связанных вещей. Как первоначально описал Кэли (1846) , преобразование Кэли представляет собой отображение между кососимметричными матрицами и специальными ортогональными матрицами . Преобразование представляет собой гомографию, используемую в реальном анализе , комплексном анализе и кватернионном анализе . В теории гильбертовых пространств преобразование Кэли - это отображение линейных операторов ( Никольский, 2001 ).

Настоящая гомография [ править ]

Преобразование Кэли - это автоморфизм вещественной проективной прямой, который последовательно переставляет элементы {1, 0, −1, ∞}. Например, он отображает положительные действительные числа в интервал [-1, 1]. Таким образом, преобразование Кэли используется для адаптации полиномов Лежандра для использования с функциями от положительных действительных чисел с рациональными функциями Лежандра .

Как настоящая гомография , точки описываются проективными координатами , и отображение

${\displaystyle [y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$

Сложная гомография [ править ]

Преобразование Кэли верхней комплексной полуплоскости в единичный круг

В комплексной проективной плоскости преобразование Кэли: ^{[1] [2]}

${\displaystyle f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

Поскольку {∞, 1, –1} отображается в {1, –i, i}, а преобразования Мёбиуса переставляют обобщенные окружности в комплексной плоскости , f отображает действительную прямую в единичную окружность . Кроме того, поскольку е является непрерывной и я берется в 0 е , верхняя полуплоскость отображается на единичный круг .

С точки зрения модели в гиперболической геометрии , преобразование этого Кэли связывает полуплоскость модель Пуанкаре на диске модели Пуанкаре . В электротехнике преобразование Кэли использовалось для сопоставления полуплоскости реактивного сопротивления с диаграммой Смита, используемой для согласования импеданса линий передачи.

Гомография кватерниона [ править ]

В четырехмерном пространстве от кватернионов д = + б I + с J + д К, versors

${\displaystyle u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta }$образуют единичную 3-сферу .

Поскольку кватернионы некоммутативны, элементы его проективной прямой имеют однородные координаты, записанные U ( a, b ), чтобы указать, что однородный фактор умножается слева. Кватернионное преобразование

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].}$

Описанные выше действительные и комплексные омографии являются экземплярами кватернионных омографий, где θ равно нулю или π / 2, соответственно. Очевидно, преобразование переводит u → 0 → –1 и принимает - u → ∞ → 1.

Вычисление этой гомографии при q = 1 отображает версор u на его ось:

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.}$

Но ${\displaystyle |1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

Таким образом ${\displaystyle f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.}$

В этой форме преобразование Кэли было описано как рациональная параметризация вращения: Пусть t = tan φ / 2 в тождестве комплексных чисел ^[3]

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$

где правая часть представляет собой преобразование t i, а левая часть представляет собой поворот плоскости на отрицательные φ радиан.

Обратный [ править ]

Пусть С${\displaystyle u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$

где эквивалентность находится в проективной линейной группе над кватернионами, обратным к f ( u , 1) является

${\displaystyle U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].}$

Поскольку омографии являются биекциями , отображает векторные кватернионы в 3-сферу версоров. Поскольку версоры представляют вращения в 3-м пространстве, гомография f ⁻¹ производит вращения шара в ℝ ³ .${\displaystyle f^{-1}(u,1)}$

Матричная карта [ править ]

Среди квадратных матриц размера n × n над вещественными числами , где I - единичная матрица, пусть A будет любой кососимметричной матрицей (так что A ^T  = - A ). Тогда я  +  является обратимым , и преобразование Кэли

${\displaystyle Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!}$

производит ортогональную матрицу , Q (так , что Q ^T Q  = I ). Умножение матриц в приведенном выше определении Q является коммутативным, поэтому Q можно также определить как . Фактически, Q должен иметь определитель +1, поэтому он является специальным ортогональным. Наоборот, пусть Q - любая ортогональная матрица, у которой нет −1 в качестве собственного значения ; тогда${\displaystyle Q=(I+A)^{-1}(I-A)}$

${\displaystyle A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!}$

является кососимметричной матрицей. Условие на Q автоматически исключает матрицы с определителем −1, но также исключает некоторые специальные ортогональные матрицы.

Также видна немного другая форма ^{[4] [5],} требующая разных отображений в каждом направлении:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&{}=(I-A)^{-1}(I+A)\\A&{}=(Q-I)(Q+I)^{-1}\end{aligned}}}$

Отображения также могут быть записаны с обратным порядком факторов; ^{[6] [7]} однако A всегда коммутирует с (μ I  ±  A ) ⁻¹ , поэтому переупорядочение не влияет на определение.

Примеры [ править ]

В случае 2 × 2 имеем

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Матрица поворота на 180 °, - I , исключается, хотя это предел, поскольку tan  ^θ ⁄ ₂ стремится к бесконечности.

В случае 3 × 3 имеем

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},}$

где K  =  w ²  +  x ²  +  y ²  +  z ² , и где w  = 1. Это мы распознаем как матрицу вращения, соответствующую кватерниону

${\displaystyle w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!}$

(по формуле, которую Кэли опубликовал годом ранее), за исключением масштабирования так, чтобы w  = 1 вместо обычного масштабирования, так что w ²  +  x ²  +  y ²  +  z ²  = 1. Таким образом, вектор ( x , y , z ) равен единичная ось вращения масштабируется на tan  ^θ ⁄ ₂ . Опять исключены 180 ° вращения, которые в этом случае являются все Q , которые являются симметричными (так что Q ^Т  = Q ).

Другие матрицы [ править ]

Мы можем расширить отображение до комплексных матриц, заменив « унитарный » на «ортогональный» и « кососимметричный » на «кососимметричный», с той разницей, что транспонирование (· ^T ) заменяется сопряженным транспонированием (· ^H ) . Это соответствует замене стандартного реального внутреннего продукта на стандартный сложный внутренний продукт. Фактически, мы можем расширить определение дальше, выбрав сопряженный вариант, отличный от транспонирования или сопряженного транспонирования.

Формально определение требует только некоторой обратимости, поэтому мы можем заменить Q любую матрицу M , собственные значения которой не включают −1. Например, у нас есть

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Отметим, что A кососимметрична (соответственно косоэрмитова) тогда и только тогда, когда Q ортогонален (соответственно унитарен) и не имеет собственного значения −1.

Карта оператора [ править ]

Бесконечномерная версия внутреннего продукта пространства - это гильбертово пространство , и мы больше не можем говорить о матрицах . Однако матрицы - это просто представления линейных операторов , и они у нас все еще есть. Итак, обобщая как матричное отображение, так и отображение комплексной плоскости, мы можем определить преобразование Кэли операторов.

${\displaystyle {\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}}$

Здесь область U , дом  U , представляет собой ( + я я ) дом  . Подробнее см. Самосопряженный оператор .

См. Также [ править ]

• Билинейное преобразование
• Расширения симметричных операторов

Ссылки [ править ]

• Стерлинг К. Бербериан (1974) Лекции по функциональному анализу и теории операторов , Тексты для выпускников по математике # 15, страницы 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0 
• Кэли, Артур (1846), «Sur quelques propriétés des determinants gauches» , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 119–123, DOI : 10.1515 / crll.1846.32.119 , ISSN  0075-4102; перепечатано как статья 52 (стр. 332–336) в Cayley, Arthur (1889), «Сборник математических статей Артура Кэли , I» (1841–1853), Cambridge University Press , стр. 332–336
• Локенат Дебнат и Петр Микусинский (1990) Введение в гильбертовы пространства с приложениями , стр. 213, Academic Press ISBN 0-12-208435-7 

• Гилберт Хельмберг (1969) Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве , стр. 288, § 38: Преобразование Кэли, Прикладная математика и механика # 6, Северная Голландия
• Генри Рикардо (2010) Современное введение в линейную алгебру , стр. 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Параметризация ортогональных матриц Кэли в PlanetMath .

• Никольский, Н.К. (2001), "Преобразование Кэли" , Энциклопедия математики , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-0609-8; перевод с русского Виноградов И.М. , изд. (1977), Математическая энциклопедия , М .: Советская энциклопедия.