Модель диска Пуанкаре

В геометрии модель диска Пуанкаре , также называемая моделью конформного диска , представляет собой модель двумерной гиперболической геометрии, в которой точки геометрии находятся внутри единичного диска , а прямые линии состоят из всех дуг окружностей, содержащихся в этом диске. которые ортогональны границе диска, плюс все диаметры диска.

Диск Пуанкаре с гиперболическими параллельными линиями

Модель диска Пуанкаре усеченного трехгептагонального разбиения .

Группа сохраняющих ориентацию изометрий модели диска задается специальной унитарной группой SU (1,1) .

Наряду с моделью Клейна и полупространства модели Пуанкаре , она была предложена Бельтрами , которые использовали эти модели , чтобы показать , что гиперболическая геометрия была equiconsistent с евклидовой геометрией . Он назван в честь Анри Пуанкаре , потому что его повторное открытие этого изображения четырнадцать лет спустя стало более известным, чем оригинальная работа Бельтрами. ^[1]

Модель шара Пуанкаре является аналогичной моделью для 3- или n- мерной гиперболической геометрии, в которой точки геометрии находятся в n- мерном единичном шаре .

Линии

Диск Пуанкаре с 3 ультрапараллельными (гиперболическими) прямыми

Гиперболические прямые состоят из всех дуг евклидовых окружностей, содержащихся в диске, которые ортогональны его границе, плюс все диаметры диска.

Конструкция компаса и линейки

Единственная гиперболическая линия, проходящая через две точки P и Q не на диаметре граничной окружности, может быть построена следующим образом:

• пусть P '- инверсия в граничной окружности точки P
• пусть Q '- инверсия в граничной окружности точки Q
• пусть M - середина отрезка PP '
• пусть N - середина отрезка QQ '
• Проведите линию m через M перпендикулярно отрезку PP '
• Проведите линию с n по N перпендикулярно отрезку QQ '
• пусть C будет там, где пересекаются прямая m и прямая n.
• Нарисуйте круг c с центром C и проходящий через P (и Q).
• Часть окружности c, которая находится внутри диска, является гиперболической линией.

Если P и Q находятся на диаметре граничной окружности, этот диаметр является гиперболической линией.

Другой способ:

• пусть M - середина отрезка PQ
• Проведите линию с m по M перпендикулярно отрезку PQ.
• пусть P '- инверсия в граничной окружности точки P
• пусть N - середина отрезка PP '
• Проведите линию с n по N перпендикулярно отрезку PP '
• пусть C будет там, где пересекаются прямая m и прямая n.
• Нарисуйте круг c с центром C и проходящий через P (и Q).
• Часть окружности c, которая находится внутри диска, является гиперболической линией.

Расстояние

Расстояния в этой модели являются метриками Кэли – Клейна . Для двух различных точек p и q внутри круга единственная гиперболическая линия, соединяющая их, пересекает границу в двух идеальных точках , a и b , пометьте их так, чтобы точки были в порядке a , p , q , b и | водный | > | ap | и | pb | > | qb | .

Гиперболическое расстояние между p и q тогда равно${\ displaystyle d (p, q) = \ ln {\ frac {\ left | aq \ right | \, \ left | pb \ right |} {\ left | ap \ right | \, \ left | qb \ right | }}}$.

Вертикальные полосы указывают евклидову длину отрезка, соединяющего точки между ними в модели (не вдоль дуги окружности), ln - натуральный логарифм .

Другой способ вычислить гиперболическое расстояние между двумя точками: ${\ displaystyle \ operatorname {arcosh} \ left (1 + {\ frac {2 | pq | ^ {2} | r | ^ {2}} {(| r | ^ {2} - | op | ^ {2}) ) (| г | ^ {2} - | ок | ^ {2})}} \ right)}$

где ${\ displaystyle | op |}$ а также ${\ displaystyle | oq |}$- расстояния p относительно q до центра диска,${\ displaystyle | pq |}$расстояние между p и q ,${\ displaystyle | r |}$ радиус граничной окружности диска и ${\ displaystyle \ operatorname {arcosh}}$является обратной гиперболической функцией от гиперболического косинуса .

Когда используемый диск является открытым единичным диском, и одна из точек является началом координат, а евклидово расстояние между точками равно r, тогда гиперболическое расстояние составляет:${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {1 + r} {1-r}} \ right) = 2 \ operatorname {arctanh} r}$ где ${\ displaystyle \ operatorname {arctanh}}$является обратной гиперболической функцией от гиперболического тангенса .

Когда используемый диск является открытым единичным диском и указывает${\ Displaystyle х '= (г', \ тета)}$ лежит между началом и точкой ${\ Displaystyle х = (г, \ тета)}$ (т.е. две точки находятся на одном радиусе, имеют одинаковый полярный угол и ${\ displaystyle 1> r> r '> 0}$), их гиперболическое расстояние равно ${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {1 + r} {1-r}} \ cdot {\ frac {1-r '} {1 + r'}} \ right) = 2 (\ operatorname {arctanh } r- \ operatorname {arctanh} r ')}$. Это сводится к предыдущей формуле, если${\ displaystyle r '= 0}$.

Круги

Круг (совокупность всех точек в плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от заданной точки, ее центр) представляет собой круг полностью внутри диска , не касаясь или пересекающей ее граница. Гиперболический центр окружности в модели, как правило, не соответствует евклидову центру окружности, но они находятся на том же радиусе граничной окружности.

Гиперциклы

Гиперцикл (множество всех точек плоскости , которые находятся на одной стороне и на заданном расстоянии от данной линии, ее оси) является евклидовым дуга окружности или хорда граничной окружности , которая пересекает границу круг при не- права угол . Его ось - это гиперболическая линия, которая разделяет те же две идеальные точки . Это также известно как эквидистантная кривая.

Ороциклы

Орицикл (кривой, нормальный или перпендикулярные геодезические все асимптотически сходятся в том же направлении), представляет собой окружность внутри диска , что касается границы круга диска. Точка касания граничного круга не является частью орицикла. Это идеальная точка и гиперболический центр орицикла.

Евклидов синопсис

Евклидов круг:

• полностью внутри диска - это гиперболический круг .

(Когда центр диска не находится внутри круга, евклидов центр всегда ближе к центру диска, чем гиперболический центр, т. Е. ${\ displaystyle t_ {e}$ держит.)

• находящийся внутри диска и касающийся границы - орицикл ;
• которая ортогонально пересекает границу, является гиперболической линией ; а также
• неортогонально пересекающий границу, является гиперциклом .

Евклидова хорда граничного круга:

• проходит через центр - гиперболическая линия; а также
• то, что не проходит через центр, является гиперциклом.

Вид " шаровой " модели Пуанкаре на гиперболические правильные икосаэдрические соты , {3,5,3}

Если u и v - два вектора в вещественном n -мерном векторном пространстве R ⁿ с обычной евклидовой нормой, оба из которых имеют норму меньше 1, то мы можем определить изометрический инвариант следующим образом:

${\ displaystyle \ delta (u, v) = 2 {\ frac {\ lVert uv \ rVert ^ {2}} {(1- \ lVert u \ rVert ^ {2}) (1- \ lVert v \ rVert ^ { 2})}} \ ,,}$

где ${\ displaystyle \ lVert \ cdot \ rVert}$обозначает обычную евклидову норму. Тогда функция расстояния равна

${\ displaystyle {\ begin {align} d (u, v) & = \ operatorname {arcosh} (1+ \ delta (u, v)) \\ & = 2 \ operatorname {arsinh} {\ sqrt {\ frac { \ delta (u, v)} {2}}} \\\, & = 2 \ ln {\ frac {\ lVert uv \ rVert + {\ sqrt {\ lVert u \ rVert ^ {2} \ lVert v \ rVert ^ {2} -2u \ cdot v + 1}}} {\ sqrt {(1- \ lVert u \ rVert ^ {2}) (1- \ lVert v \ rVert ^ {2})}}}. \ End {выровнено}}}$

Такая функция расстояния определена для любых двух векторов с нормой меньше единицы и превращает набор таких векторов в метрическое пространство, которое является моделью гиперболического пространства постоянной кривизны -1. Модель имеет конформное свойство, заключающееся в том, что угол между двумя пересекающимися кривыми в гиперболическом пространстве такой же, как угол в модели.

Соответствующий метрический тензор модели диска Пуанкаре дается формулой ^[2]

${\ displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ { 2}}} = {\ frac {4 \ lVert d \ mathbf {x} \ rVert ^ {2}} {{\ bigl (} 1- \ lVert \ mathbf {x} \ rVert ^ {2} {\ bigr) } ^ {2}}}}$

где x _i - декартовы координаты окружающего евклидова пространства. В геодезических моделях диска представляет собой окружность перпендикулярна к граничной сфере S ^{п -1} .

Ортонормированный репер относительно этой римановой метрики задается формулой

${\ displaystyle e_ {i} = {\ frac {1} {2}} (1- | \ mathbf {x} | ^ {2}) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} ,}$

с двойным каркасом 1-форм

${\ displaystyle \ theta ^ {i} = {\ frac {2} {1- | \ mathbf {x} | ^ {2}}} \, dx ^ {i}.}$

В двух измерениях

В двух измерениях, относительно этих фреймов и связи Леви-Чивиты, формы связи задаются единственной кососимметричной матрицей 1-форм ${\ displaystyle \ omega}$ без кручения, т. е. удовлетворяющего матричному уравнению ${\ Displaystyle 0 = д \ тета + \ омега \ клин \ тета}$. Решая это уравнение для${\ displaystyle \ omega}$ дает

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 (y \, dx-x \, dy)} {1- | \ mathbf {x} | ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}},}$

где матрица кривизны

${\ displaystyle \ Omega = d \ omega + \ omega \ wedge \ omega = d \ omega +0 = {\ frac {-4 \, dx \ wedge dy} {(1- | \ mathbf {x} | ^ {2 }) ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Следовательно, кривизна гиперболического диска равна

${\ displaystyle K = \ Omega _ {2} ^ {1} (e_ {1}, e_ {2}) = - 1.}$

модель диска Пуанкаре (линия P ) и их отношения с другими моделями

Отношение к модели диска Клейна

Модель диска Клейна (также известная как модель Бельтрами – Клейна) и модель диска Пуанкаре - это модели, которые проецируют всю гиперболическую плоскость на диск . Эти две модели связаны через проекцию на модель полушария или из нее . Модель диска Клейна - это ортогональная проекция модели полусферы, а модель диска Пуанкаре - стереографическая проекция .

Преимущество модели диска Клейна состоит в том, что линии в этой модели представляют собой евклидовы прямые хорды . Недостатком является то, что модель диска Клейна не является конформной (искажаются круги и углы).

При проецировании одних и тех же линий в обеих моделях на один диск обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки . (идеальные точки остаются на том же месте) также полюс хорды в модели диска Клейна является центром окружности, содержащей дугу в модели диска Пуанкаре.

Точка ( x , y ) в модели диска Пуанкаре отображается в${\ displaystyle \ left ({\ frac {2x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} \, \ {\ frac {2y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2) }}}\верно)}$ в модели Клейна.

Точка ( x , y ) в модели Клейна отображается в${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}}}} \, \ \ {\ frac {y} {1+ { \ sqrt {1-x ^ {2} -y ^ {2}}}}} \ right)}$ в модели диска Пуанкаре.

Для идеальных точек ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ и формулы становятся ${\ Displaystyle х = х \, \ у = у}$ так что точки зафиксированы.

Если ${\ displaystyle u}$ - вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели диска Клейна определяется выражением:

${\ displaystyle s = {\ frac {2u} {1 + u \ cdot u}}.}$

И наоборот, из вектора ${\ displaystyle s}$ с нормой меньше единицы, представляющей точку модели Бельтрами – Клейна, соответствующая точка модели диска Пуанкаре определяется как:

${\ displaystyle u = {\ frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s \ cdot s}}}} = {\ frac {\ left (1 - {\ sqrt {1-s \ cdot s}}) \ right) s} {s \ cdot s}}.}$

Связь с моделью полуплоскости Пуанкаре

Модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре названы в честь Анри Пуанкаре .

Если ${\ displaystyle u}$ - вектор нормы меньше единицы, представляющий точку модели диска Пуанкаре, то соответствующая точка модели полуплоскости определяется выражением:

${\ displaystyle s = {\ frac {u + i} {iu + 1}}.}$

Точка (x, y) в модели диска отображается на${\ displaystyle \ left ({\ frac {2x} {x ^ {2} + (1-y) ^ {2}}} \, \ {\ frac {1-x ^ {2} -y ^ {2}) } {x ^ {2} + (1-y) ^ {2}}} \ right) \,}$в модели полуплоскости. ^[3]

Точка (x, y) в модели полуплоскости отображается на${\ displaystyle \ left ({\ frac {2x} {x ^ {2} + (1 + y) ^ {2}}} \, \ {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2} -1) } {x ^ {2} + (1 + y) ^ {2}}} \ right) \,}$ в модели диска.

Связь с моделью гиперболоида

Модель гиперболоида можно представить в виде уравнения t ² = x ₁ ² + x ₂ ^{2 2} +1, t> 1. Его можно использовать для построения модели диска Пуанкаре в виде проекции (t = -1, x ₁ = 0, x ₂ = 0), проецирующей верхнюю половину гиперболоида на единичный диск в момент t = 0. Красная геодезическая в модели диска Пуанкаре проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.