Натуральный логарифм

График функции натурального логарифма. Функция медленно возрастает до положительной бесконечности , как х возрастает, и медленно идет к отрицательной бесконечности при й стремится к 0 ( «медленно» , по сравнению с любым степенным законом от й ); у Оу является асимптотой .

Часть цикла статей о
математическая константа e
Характеристики
Натуральный логарифм Экспоненциальная функция
Приложения
сложные проценты Тождество Эйлера Формула Эйлера период полураспада экспоненциальный рост и распад
Определение e
доказательство того, что е иррационально представления е Теорема Линдемана – Вейерштрасса
Люди
Джон Напье Леонард Эйлер
похожие темы
Гипотеза Шануэля
v т е

Натуральный логарифм ряда является его логарифмом к основанию в математических постоянная е , где е является иррациональным и трансцендентным числом , приблизительно равным2,718 281 828 459 . Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log _e x или иногда, если основание e неявно, просто log x . ^{[1] [2] [3]} Для ясности иногда добавляются круглые скобки , что дает ln ( x ) , log _e ( x ) или log ( x ) . Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы предотвратить двусмысленность.

Натуральный логарифм x - это степень, в которую нужно возвести e до x . Например, ln 7,5 равно 2,0149 ... , потому что e ^{2,0149 ...} = 7,5 . Натуральный логарифм самого e , ln e , равен 1 , потому что e ¹ = e , а натуральный логарифм 1 равен 0 , поскольку e ⁰ = 1 .

Натуральный логарифм может быть определен для любого положительного действительного числа a как площадь под кривой y = 1 / x от 1 до a ^[4] (с отрицательной площадью, когда 0 < a <1 ). Простота этого определения, которое соответствует многим другим формулам, включающим натуральный логарифм, приводит к термину «естественный». Затем определение натурального логарифма может быть расширено, чтобы дать значения логарифма для отрицательных чисел и для всех ненулевых комплексных чисел , хотя это приводит к многозначной функции : подробнее см. Комплексный логарифм .

Природная функция логарифма, если рассматривать в качестве действительной функции действительного переменного, является обратной функцией от экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {\ ln x} & = x \ qquad {\ text {if}} x> 0, \\\ ln e ^ {x} & = x. \ end {выравнивается} }}$

Как и все логарифмы, натуральный логарифм преобразует умножение положительных чисел в сложение:

${\ Displaystyle \ пер ху = \ пер х + \ пер у.}$^[5]

Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, кроме 1, а не только для e . Однако логарифмы в других основаниях отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены в терминах последнего. Например, логарифм с основанием 2 (также называемый двоичным логарифмом ) равен натуральному логарифму, деленному на ln 2 , натуральный логарифм 2 .

Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное появляется как показатель некоторой другой величины. Например, логарифмы используются для определения периода полураспада , постоянной распада или неизвестного времени в задачах экспоненциального распада . Они важны во многих областях математики и научных дисциплин и используются в финансах для решения задач, связанных со сложными процентами .

История [ править ]

Понятие натурального логарифма было разработано Gregoire де Сент-Винсент и Альфонс Антонио де Sarasa , прежде чем 1649. ^[6] Их работа участвует квадратурную из гиперболы с уравнением х = 1 , путем определением области гиперболических секторов . Их решение сгенерировало необходимую функцию «гиперболического логарифма» , свойства которой теперь связаны с натуральным логарифмом.

Раннее упоминание натурального логарифма был от Николая Меркатора в своей работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году, ^[7] , хотя учитель математики Джон Speidell уже составил таблицу , что на самом деле были эффективно натуральные логарифмы в 1619. ^[8] Он имеет Было сказано, что логарифмы Спейделла были с основанием e , но это не совсем верно из-за сложностей с выражением значений в виде целых чисел. ^{[8] : 152}

Условные обозначения [ править ]

Обозначения ln x и log _e x однозначно относятся к натуральному логарифму x , а log x без явного основания может также относиться к натуральному логарифму. ^[1] Это использование распространено в математике, а также в некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования . ^{[nb 1]} В некоторых других контекстах, таких как химия , однако, log x может использоваться для обозначения общего (с основанием 10) логарифма . Это также может относиться к двоичному логарифму (основание 2) в контексте информатики., особенно в контексте временной сложности .

Определения [ править ]

Натуральный логарифм можно определить несколькими эквивалентными способами. Натуральный логарифм положительного действительного числа a может быть определен как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1 / x между x = 1 и x = a . Это интеграл ^[4]

${\ displaystyle \ ln a = \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} \, dx.}$

Если a меньше 1 , то эта область считается отрицательной.

Эта функция является логарифмом, поскольку она удовлетворяет фундаментальному мультипликативному свойству логарифма: ^[5]

${\ Displaystyle \ пер (ab) = \ пер а + \ пер б.}$

Это можно продемонстрировать, разделив интеграл, определяющий ln ab, на две части, а затем сделав замену переменной x = at (поэтому dx = a dt ) во второй части, как показано ниже:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$

Проще говоря, это просто масштабирование на 1 / a в горизонтальном направлении и на a в вертикальном направлении. Площадь при этом преобразовании не изменяется, но изменяется конфигурация области между a и ab . Поскольку функция a / ( ax ) равна функции 1 / x , результирующая площадь в точности равна ln b .

Тогда число e может быть определено как уникальное действительное число a такое, что ln a = 1 . В качестве альтернативы, если экспоненциальная функция , обозначенная e ^x или exp x , была определена первой, скажем, с использованием бесконечного ряда , тогда натуральный логарифм может быть определен как обратная ей функция . Другими словами, ln - это такая функция, что ln (exp x ) = x. Поскольку диапазон экспоненциальной функции - это все положительные действительные числа, и поскольку экспоненциальная функция строго возрастает, это хорошо определено для всех положительных  x .

Свойства [ править ]

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

Производная [ править ]

Производная натурального логарифма в качестве вещественной функции на положительных чисел задается ^[4]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$

Как установить эту производную натурального логарифма, зависит от того, как она определяется из первых рук. Если натуральный логарифм определяется как интеграл

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$

тогда производная немедленно следует из первой части основной теоремы исчисления .

С другой стороны, если натуральный логарифм определяется как обратная к (натуральной) экспоненциальной функции, то производная (для x > 0) может быть найдена с использованием свойств логарифма и определения экспоненциальной функции. Из определения числа экспоненциальная функция может быть определена как , где Производная затем может быть найдена из первых принципов.${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}}$${\displaystyle u=hx,h=u/x.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$

Серия [ править ]

Если тогда ^[9]${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$

Это ряд Тейлора для ln  x около 1. Замена переменных дает ряд Меркатора :

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$

действительно для | х | ≤ 1 и x  ≠ −1.

Леонард Эйлер , ^[10] не обращая внимания , тем не менее , применил этот ряд с й  = -1, для того , чтобы показать , что гармонический ряд равен (натуральный) логарифм 1 / (1 - 1), то есть логарифм бесконечности. В настоящее время, более формально, можно доказать, что гармонический ряд, усеченный в N , близок к логарифму N , когда N велико, а разность сходится к постоянной Эйлера – Маскерони .${\displaystyle x\neq -1}$

Справа - изображение ln (1 +  x ) и некоторых его многочленов Тейлора около 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 <  x  ≤ 1; вне этой области полиномы Тейлора более высокой степени развиваются в худшие приближения для функции.

Полезный частный случай взятия положительных целых чисел n :${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$

Если тогда${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$

Теперь, взяв за натуральные числа n , получим:${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$

Если тогда${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$

${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$

С

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$

мы приходим к

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$

Снова используя замену для положительных целых чисел n , получаем: ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$

Это, безусловно, самая быстрая сходимость из описанного здесь ряда.

Натуральный логарифм при интегрировании [ править ]

Натуральный логарифм обеспечивает простую интеграцию функций вида г ( х ) = ф  «( х ) / е ( х ): в первообразном из г ( х ) задается Ln (| F ( х ) |). Это происходит из-за цепного правила и следующего факта:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}}.}$

Другими словами,

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$

и

${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$

Вот пример в случае g ( x ) = tan ( x ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\[6pt]&\int \tan x\,dx=\int {\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx.\end{aligned}}}$

Положив f ( x ) = cos ( x ):

${\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C}$

${\displaystyle \int \tan x\,dx=\ln \left|\sec x\right|+C}$

где C - произвольная постоянная интегрирования .

Натуральный логарифм можно интегрировать с помощью интегрирования по частям :

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$

Позволять:

${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$

${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$

тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$

Числовое значение [ править ]

Для ln ( x ), где x  > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Идентичности, связанные с логарифмом, могут быть использованы для использования этого:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$

Такие методы использовались до калькуляторов, обращаясь к числовым таблицам и выполняя манипуляции, подобные описанным выше.

Натуральный логарифм 10 [ править ]

Натуральный логарифм 10, который имеет десятичное разложение 2,30258509 ..., ^[11], играет роль, например, при вычислении натуральных логарифмов чисел, представленных в научной записи , в виде мантиссы, умноженной на степень 10:

${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$

Это означает, что можно эффективно вычислять логарифмы чисел с очень большой или очень малой величиной, используя логарифмы относительно небольшого набора десятичных знаков в диапазоне [1, 10) .

Высокая точность [ править ]

Для вычисления натурального логарифма с точностью до многих цифр подход рядов Тейлора неэффективен, так как сходимость медленная. Особенно, если x близко к 1, хорошей альтернативой является использование метода Галлея или метода Ньютона для инвертирования экспоненциальной функции, поскольку ряд экспоненциальной функции сходится быстрее. Для нахождения значения y для получения exp ( y ) - x = 0 с использованием метода Галлея или, что эквивалентно, для получения exp ( y / 2) - x exp (- y / 2) = 0 с использованием метода Ньютона, итерация упрощается до

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$

который имеет кубическую сходимость к ln ( x ) .

Другой альтернативой для расчета с очень высокой точностью является формула ^{[12] [13]}

${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$

где M обозначает среднее арифметико-геометрическое значение 1 и 4 / с , а

${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$

с m, выбранным таким образом, чтобы достигается p бит точности. (Для большинства целей достаточно 8 для m.) Фактически, если используется этот метод, обратное обращение натурального логарифма Ньютона может быть использовано для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и π могут быть предварительно вычислены с желаемой точностью, используя любой из нескольких известных быстро сходящихся рядов.)

Основано на предложении Уильяма Кахана и впервые реализовано в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C в 1979 году (обозначается только под «LN1» на дисплее), некоторых калькуляторах, операционных системах (например, Berkeley UNIX 4.3BSD ^[14] ), системы компьютерной алгебры и языки программирования (например, C99 ^[15] ) предоставляют специальную функцию натурального логарифма плюс 1 , альтернативно называемую LNP1 , ^{[16] [17]} или log1p ^[15], чтобы дать более точные результаты для логарифмов, близких к нулю. передавая аргументы x, также близкое к нулю, с функцией log1p ( x ), которая возвращает значение ln (1+ x ), вместо того, чтобы передавать значение y, близкое к 1, функции, возвращающей ln ( y ). ^{[15] [16] [17]} Функция log1p предотвращает в арифметике с плавающей запятой почти сокращение абсолютного члена 1 вторым членом из разложения Тейлора ln, тем самым обеспечивая высокую точность как аргумента, так и результат близок к нулю. ^{[16] [17]}

В дополнении к базовым е в IEEE 754-2008 стандарта определяет аналогичные логарифмические функции около 1 для двоичных и десятичных логарифмов : войти ₂ (1 + х ) и войти ₁₀ (1 + х ) .

Аналогичные обратные функции с именами « expm1 », ^[15] «expm» ^{[16] [17]} или «exp1m» также существуют, все со значением expm1 ( x ) = exp ( x ) - 1 . ^{[nb 2]}

Тождество в терминах обратного гиперболического тангенса ,

${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$

дает значение высокой точности для малых значений x в системах, которые не реализуют log1p ( x ) .

Вычислительная сложность [ править ]

Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма ( с помощью арифметико-геометрическое среднее) представляет собой О ( М ( п ) пер п ). Здесь n - количество цифр точности, с которой должен быть вычислен натуральный логарифм, а M ( n ) - вычислительная сложность умножения двух n- значных чисел.

Непрерывные дроби [ править ]

Хотя простых непрерывных дробей нет, есть несколько обобщенных непрерывных дробей , в том числе:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Эти непрерывные дроби - особенно последние - быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел могут быть легко вычислены путем многократного сложения логарифмов меньших чисел с такой же быстрой сходимостью.

Например, поскольку 2 = 1,25 ³ × 1,024, натуральный логарифм 2 может быть вычислен как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, поскольку 10 = 1,25 ¹⁰ × 1,024 ³ , даже натуральный логарифм 10 может быть вычислен аналогично:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$

Комплексные логарифмы [ править ]

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая дает комплексное число как e ^x для любого произвольного комплексного числа x ; просто используйте бесконечный ряд с комплексным x . Эту экспоненциальную функцию можно инвертировать, чтобы сформировать комплексный логарифм, который демонстрирует большинство свойств обычного логарифма. Здесь возникают две трудности: ни у одного x нет e ^x = 0 ; и оказывается, что e ^{2 iπ} = 1 = e ⁰ . Поскольку мультипликативное свойство по-прежнему работает для комплексной экспоненциальной функции, e ^z = e ^{z+2 kiπ} для всех комплексных z и целых  k .

Таким образом, логарифм не может быть определен для всей комплексной плоскости , и даже тогда он является многозначным - любой комплексный логарифм можно преобразовать в «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2 iπ . Комплексный логарифм может быть однозначным только на разрезе . Например, ln i =я/2 или же 5 я/2или -3 iπ/2, так далее.; и хотя i ⁴ = 1, 4 ln i может быть определено как 2 iπ , или 10 iπ, или -6 iπ , и так далее.

• Графики функции натурального логарифма на комплексной плоскости ( главная ветвь )
• г = Re (ln ( x + yi ))

• z = | (Im (ln ( x + yi ))) |

• z = | (ln ( x + yi )) |

• Суперпозиция трех предыдущих графиков

См. Также [ править ]

• Аппроксимация натуральных показателей (логарифм е)
• Итерированный логарифм
• Логарифм Напьера
• Список логарифмических тождеств
• Логарифм матрицы
• Логарифмическое дифференцирование
• Логарифмическая интегральная функция
• Николас Меркатор - первый, кто использовал термин натуральный логарифм
• Полилогарифм
• Функция фон Мангольдта

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]