В математике , в частности , теория трансцендентного числа , гипотеза Шенуэлы гипотеза сделано Стивен Шануэля в 1960 относительно степени трансцендентности некоторых расширений полех этих рациональных чисел .
Заявление
Гипотеза такова:
- Для любых n комплексных чисел z 1 , ..., z n , линейно независимых относительно рациональных чисел , расширение поля( z 1 , ..., z n , e z 1 , ..., e z n ) имеет степень трансцендентности не менее n над .
Гипотезу можно найти у Лэнга (1966). [1]
Последствия
Гипотеза, если она будет доказана, обобщит большинство известных результатов трансцендентной теории чисел . Частным случаем, когда все числа z 1 , ..., z n являются алгебраическими, является теорема Линдемана – Вейерштрасса . Если, с другой стороны, числа выбраны так, чтобы exp ( z 1 ), ..., exp ( z n ) были полностью алгебраическими, то можно было бы доказать, что линейно независимые логарифмы алгебраических чисел алгебраически независимы, что является усилением Теорема Бейкера .
Теорема Гельфонда – Шнайдера следует из этой усиленной версии теоремы Бейкера, как и недоказанная на данный момент гипотеза о четырех экспонентах .
Гипотеза Шануэля, если она будет доказана, также установит, являются ли такие числа, как e + π и e e , алгебраическими или трансцендентными, и докажет, что e и π алгебраически независимы, просто положив z 1 = 1 и z 2 = π i , и используя уравнение Эйлера. личность .
Тождество Эйлера утверждает, что e π i + 1 = 0. Если гипотеза Шенуэля верна, то это, в некотором точном смысле, связанное с экспоненциальными кольцами , единственное соотношение между e , π и i над комплексными числами. [2]
Хотя предположение является проблемой теории чисел, она имеет значение и для теории моделей . Ангус Макинтайр и Алекс Уилки , например, доказали, что теория реального поля с возведением в степеньexp , разрешима, если гипотеза Шануэля верна. [3] На самом деле им нужна была только реальная версия гипотезы, определенная ниже, чтобы доказать этот результат, который был бы положительным решением проблемы экспоненциальной функции Тарского .
Связанные предположения и результаты
Обратный Шануэль гипотеза [4] является следующим утверждением:
- Предположим, что F - счетное поле с характеристикой 0, а e : F → F - гомоморфизм аддитивной группы ( F , +) в мультипликативную группу ( F , ·), ядро которой циклическое . Предположим далее, что для любых n элементов x 1 , ..., x n из F , линейно независимых над , поле расширения ( x 1 , ..., x n , e ( x 1 ), ..., e ( x n )) имеет степень трансцендентности не менее n над . Тогда существует гомоморфизм поля h : F → таким образом, что ч ( е ( х )) = ехр ( ч ( х )) для всех х в F .
Версия гипотезы Шануэля для формальных степенных рядов , также разработанная Шануэлем, была доказана Джеймсом Эксом в 1971 г. [5]. В ней говорится:
- Для любых n формальных степенных рядов f 1 , ..., f n в t[[ t ]], которые линейно независимы над , то расширение поля ( t , f 1 , ..., f n , exp ( f 1 ), ..., exp ( f n )) имеет степень трансцендентности не менее n над ( т ).
Как указано выше, разрешимость exp следует из реальной версии гипотезы Шануэля, которая выглядит следующим образом: [6]
- Предположим, что x 1 , ..., x n - действительные числа и степень трансцендентности поля ( x 1 , ..., x n , exp ( x 1 ), ..., exp ( x n )) строго меньше n , то есть целые числа m 1 , ..., m n , не все равны нулю , такие что m 1 x 1 + ... + m n x n = 0.
Родственная гипотеза, называемая однородной действительной гипотезой Шануэля, по сути, говорит то же самое, но ограничивает целые числа m i . Единообразная реальная версия гипотезы эквивалентна стандартной реальной версии. [6] Макинтайр и Уилки показали, что следствие гипотезы Шануэля, которую они назвали гипотезой Слабого Шануэля, эквивалентно разрешимостиExp . Эта гипотеза утверждает, что существует вычислимая верхняя оценка нормы неособых решений систем экспоненциальных многочленов ; это, не очевидно, следствие гипотезы Шануэля для действительных чисел. [3]
Также известно, что гипотеза Шануэля была бы следствием гипотез в теории мотивов . В этом случае гипотеза Гротендика о периодах для абелевого многообразия A утверждает, что степень трансцендентности его матрицы периодов такая же, как и размерность ассоциированной группы Мамфорда – Тейта , и что из работ Пьера Делиня известно , что размерность является верхней. граница для степени трансцендентности. Бертолин показал, как обобщенная гипотеза периода включает в себя гипотезу Шануэля. [7]
Псевдо-возведение в степень Зильбера
Хотя до доказательства гипотезы Шануэля еще далеко, [8] связи с теорией моделей вызвали волну исследований этой гипотезы.
В 2004 году Борис Зильбер систематически построил экспоненциальные поля K exp, которые являются алгебраически замкнутыми и имеют нулевую характеристику и такие, что одно из этих полей существует для каждой несчетной мощности . [9] Он аксиоматизировал эти поля и, используя конструкцию Хрушовского и методы, вдохновленные работами Шелаха о категоричности в бесконечной логике , доказал, что эта теория «псевдо-возведения в степень» имеет уникальную модель в каждом несчетном кардинале. Гипотеза Шануэля является частью этой аксиоматизации, и поэтому естественная гипотеза о том, что уникальная модель континуума мощности на самом деле изоморфна комплексному экспоненциальному полю, влечет за собой гипотезу Шануэля. Фактически, Зильбер показал, что эта гипотеза верна тогда и только тогда, когда выполняются как гипотеза Шенуэля, так и другое недоказанное условие на комплексное поле возведения в степень, которое Зильбер называет экспоненциально-алгебраической замкнутостью. [10] Поскольку эта конструкция может также давать модели с контрпримерами гипотезы Шануэля, этот метод не может доказать гипотезу Шануэля. [11]
Рекомендации
- ^ Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Аддисон-Уэсли. С. 30–31.
- ^ Терцо, Джузеппина (2008). «Некоторые следствия гипотезы Шануэля в экспоненциальных кольцах». Связь в алгебре . 36 (3): 1171–1189. DOI : 10.1080 / 00927870701410694 .
- ^ а б Макинтайр, А. и Уилки, А.Дж. (1996). «О разрешимости действительного экспоненциального поля». В Odifreddi, Piergiorgio (ред.). Крайзелиана: Около Георга Крайзеля и вокруг него . Уэллсли: Питерс. С. 441–467. ISBN 978-1-56881-061-4.
- ^ Скотт В. Уильямс, Проблемы на миллион баксов
- ^ Топор, Джеймс (1971). «О догадках Шануэля». Анналы математики . 93 (2): 252–268. DOI : 10.2307 / 1970774 . JSTOR 1970774 .
- ^ а б Кирби, Джонатан и Зильбер, Борис (2006). «Единая гипотеза Шануэля над действительными числами». Бык. Лондонская математика. Soc . 38 (4): 568–570. CiteSeerX 10.1.1.407.5667 . DOI : 10.1112 / S0024609306018510 .
- ^ Бертолин, Кристиана (2002). "Периоды 1-мотивов и превосходство" . Журнал теории чисел . 97 (2): 204–221. DOI : 10.1016 / S0022-314X (02) 00002-1 .
- ^ Вальдшмидт, Мишель (2000). Диофантовы приближения на линейных алгебраических группах . Берлин: Springer . ISBN 978-3-662-11569-5.
- ^ Зильбер, Борис (2004). «Псевдо-возведение в степень на алгебраически замкнутых полях нулевой характеристики» . Летопись чистой и прикладной логики . 132 (1): 67–95. DOI : 10.1016 / j.apal.2004.07.001 .
- ^ Зильбер, Борис (2002). «Уравнения с экспоненциальными суммами и гипотеза Шенуэла». J. London Math. Soc . 65 (2): 27–44. DOI : 10.1112 / S0024610701002861 .
- ^ Бэйс, Мартин; Кирби, Джонатан (2018). «Псевдоэкспоненциальные отображения, варианты и квазиминимальности». Теория алгебры чисел . arXiv : 1512.04262 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Шануэля" . MathWorld .