Гипотеза четырех экспонент

В математике , особенно в области трансцендентной теории чисел , гипотеза о четырех экспонентах является гипотезой, которая при правильных условиях на показатели степени гарантирует превосходство по крайней мере одной из четырех экспонент. Гипотеза, наряду с двумя связанными, более сильными гипотезами, находится на вершине иерархии гипотез и теорем, касающихся арифметической природы определенного числа значений экспоненциальной функции .

Заявление [ править ]

Если x ₁ , x ₂ и y ₁ , y ₂ - две пары комплексных чисел , каждая из которых линейно независима от рациональных чисел , то по крайней мере одно из следующих четырех чисел является трансцендентным :

${\ displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1}}, e ^ {x_ {1} y_ {2}}, e ^ {x_ {2} y_ {1}}, e ^ {x_ {2} y_ {2}}.}$

Альтернативный способ сформулировать гипотезу в терминах логарифмов следующий. Для 1 ≤  i , j  ≤ 2 пусть λ _ij - такие комплексные числа, что все exp (λ _ij ) являются алгебраическими . Предположим, что λ ₁₁ и λ ₁₂ линейно независимы по рациональным числам, а λ ₁₁ и λ ₂₁ также линейно независимы по рациональным числам, тогда

${\ displaystyle \ lambda _ {11} \ lambda _ {22} \ neq \ lambda _ {12} \ lambda _ {21}. \,}$

Эквивалентная формулировка в терминах линейной алгебры следующая. Пусть M - матрица 2 × 2

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}\\\lambda _{21}&\lambda _{22}\end{pmatrix}},}$

где exp (λ _ij ) является алгебраическим для 1 ≤  i , j  ≤ 2. Предположим, что две строки матрицы M линейно независимы относительно рациональных чисел, а два столбца матрицы M линейно независимы относительно рациональных чисел. Тогда ранг из М 2.

Хотя матрица 2 × 2, имеющая линейно независимые строки и столбцы, обычно означает, что она имеет ранг 2, в этом случае нам требуется линейная независимость по меньшему полю, поэтому ранг не обязательно должен быть равен 2. Например, матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\pi \\\pi &\pi ^{2}\end{pmatrix}}}$

есть строки и столбцы, которые линейно независимы над рациональными числами, так как π является иррациональным . Но ранг матрицы равен 1. Таким образом, в этом случае гипотеза будет означать, что по крайней мере одно из e , e ^π и e ^{π  ²} является трансцендентным (что в данном случае уже известно, поскольку e трансцендентно).

История [ править ]

Гипотеза была рассмотрена еще в начале 1940-х годов Атле Сельбергом, который никогда официально не высказывал ее. ^[1] Частный случай гипотезы упоминается в статье Леонидаса Алаоглу и Пола Эрдеша 1944 года, которые предполагают, что она была рассмотрена Карлом Людвигом Зигелем . ^[2] Эквивалентное утверждение было впервые упомянуто в печати Теодором Шнайдером, который назвал его первой из восьми важных открытых проблем трансцендентной теории чисел в 1957 г. ^[3]

Соответствующие шесть экспонента теорема была впервые явно упомянутая в 1960 - х годах Serge Lang ^[4] и Kanakanahalli Рамачандр , ^[5] и оба также явно предположить предыдущий результат. ^[6] Действительно, после доказательства теоремы о шести экспонентах Лэнг упоминает о трудности снижения числа показателей с шести до четырех - доказательство, используемое для шести экспонент, «просто не срабатывает», когда его пытаются применить к четырем.

Следствия [ править ]

Используя тождество Эйлера, эта гипотеза подразумевает трансцендентность многих чисел, содержащих e и π . Например, принимая x ₁  = 1, x ₂  =  √ 2 , y ₁  =  iπ и y ₂  =  iπ √ 2 , гипотеза - если она верна - означает, что одно из следующих четырех чисел трансцендентно:

${\displaystyle e^{i\pi },e^{i\pi {\sqrt {2}}},e^{i\pi {\sqrt {2}}},e^{2i\pi }.}$

Первое из них равно −1, а четвертое - 1, поэтому из гипотезы следует, что e ^{iπ √ 2} трансцендентно (что уже известно, как следствие теоремы Гельфонда – Шнайдера ).

Открытая проблема в теории чисел, решаемая с помощью этой гипотезы, - это вопрос о том, существует ли нецелое действительное число t такое, что и 2 ^t, и 3 ^t являются целыми числами, или такое, что a ^t и b ^t оба являются целыми числами для некоторой пары целых чисел a и b , которые мультипликативно независимы от целых чисел. Значения t такие, что 2 ^t является целым числом, имеют вид t  = log ₂ m для некоторого целого числа m , а для 3 ^tчтобы быть целым числом, t должно иметь вид t  = log ₃ n для некоторого целого числа n . Полагая x ₁  = 1, x ₂  =  t , y ₁  = log 2 и y ₂  = log 3, гипотеза четырех экспонент подразумевает, что если t иррационально, то одно из следующих четырех чисел трансцендентно:

${\displaystyle 2,3,2^{t},3^{t}.\,}$

Итак, если 2 ^t и 3 ^t являются целыми числами, то из гипотезы следует, что t должно быть рациональным числом. Поскольку единственными рациональными числами t, для которых 2 ^t также рационально, являются целые числа, это означает, что не существует нецелых действительных чисел t таких, что и 2 ^t, и 3 ^t являются целыми числами. Именно это следствие для любых двух простых чисел, а не только 2 и 3, и желали Алаоглу и Эрдеш в своей статье, поскольку это означало бы гипотезу о том, что частное двух последовательных колоссально обильных чисел является простым, расширяя результаты Рамануджана о частных последовательных последовательных числах.высшее очень составное число . ^[7]

Гипотеза точных четырех экспонент [ править ]

Гипотеза о четырех экспонентах сокращает пару и тройку комплексных чисел в условиях теоремы о шести экспонентах до двух пар. Предполагается, что это также возможно с помощью точной теоремы о шести экспонентах, и это - точная гипотеза о четырех экспонентах . ^{[8] В} частности, эта гипотеза утверждает, что если x ₁ , x ₂ и y ₁ , y ₂ - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима от рациональных чисел, и если β _ij - четыре алгебраических числа для 1 ≤  i , j  ≤ 2, такие что следующие четыре числа являются алгебраическими:

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},}$

тогда x _i  y _j  = β _ij для 1 ≤  i , j  ≤ 2. Таким образом, все четыре экспоненты на самом деле равны 1.

Эта гипотеза подразумевает как точную теорему о шести экспонентах, которая требует третьего значения x , так и пока не доказанную гипотезу о точных пяти экспонентах, которая требует, чтобы дополнительная экспонента была алгебраической в ​​своих гипотезах.

Сильная гипотеза четырех экспонент [ править ]

Самый сильный результат, который был выдвинут в этом круге проблем, - это сильная гипотеза четырех экспонент . ^[9] Этот результат будет подразумевать как вышеупомянутые гипотезы относительно четырех экспонент, так и все гипотезы и теоремы о пяти и шести экспонентах, как показано справа, и все три гипотезы об экспонентах, подробно описанные ниже. Формулировка этой гипотезы имеет дело с векторным пространством над алгебраическими числами, порожденными единицей и всеми логарифмами ненулевых алгебраических чисел, обозначаемых здесь как L ^∗ . Итак, L ^∗ - это множество всех комплексных чисел вида

${\displaystyle \beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\log \alpha _{i},}$

для некоторого n  ≥ 0, где все β _i и α _i алгебраические и рассматривается каждая ветвь логарифма . В этом случае сильная гипотеза четырех экспонент формулируется следующим образом. Пусть x ₁ , x ₂ и y ₁ , y ₂ - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима от алгебраических чисел, тогда хотя бы одно из четырех чисел x _i  y _j для 1 ≤  i , j  ≤ 2 не принадлежит L ^∗ .

Гипотеза трех экспонент [ править ]

Гипотеза четырех экспонент исключает частный случай нетривиальных однородных квадратичных соотношений между логарифмами алгебраических чисел. Но из гипотетического расширения теоремы Бейкера следует, что не должно быть никаких нетривиальных алгебраических соотношений между логарифмами алгебраических чисел, однородными или нет. Один случай неоднородных квадратичных соотношений покрывается все еще открытой гипотезой о трех экспонентах . ^[10] В логарифмической форме это следующая гипотеза. Пусть λ ₁ , λ ₂ и λ ₃ - любые три логарифма алгебраических чисел, а γ - ненулевое алгебраическое число, и пусть λ ₁ λ ₂ = γλ ₃ . Тогда λ ₁ λ ₂  = γλ ₃  = 0.

Экспоненциальная форма этой гипотезы следующая. Пусть x ₁ , x ₂ и y - ненулевые комплексные числа, а γ - ненулевое алгебраическое число. Тогда по крайней мере одно из следующих трех чисел трансцендентно:

${\displaystyle e^{x_{1}y},e^{x_{2}y},e^{\gamma x_{1}/x_{2}}.}$

Существует также точная гипотеза трех экспонент, которая утверждает, что если x ₁ , x ₂ и y ненулевые комплексные числа, а α, β ₁ , β ₂ и γ - алгебраические числа, такие, что следующие три числа являются алгебраическими

${\displaystyle e^{x_{1}y-\beta _{1}},e^{x_{2}y-\beta _{2}},e^{(\gamma x_{1}/x_{2})-\alpha },}$

тогда либо x ₂ y  = β _2, либо γ x ₁  = α  x ₂ .

В сильных три экспонента предположить , тем временем утверждает , что если х ₁ , х ₂ , и у не равен нуль комплексных числа с й ₁ у , х ₂ у и х ₁ / х ₂ всех трансцендентное, то по крайней мере один из трех чисел х ₁ y , x ₂ y , x ₁ / x ₂ не принадлежит L ^∗ .

Как и в случае с другими результатами в этом семействе, сильная гипотеза трех экспонент влечет за собой точную гипотезу трех экспонент, которая влечет гипотезу трех экспонент. Однако сильные и точные гипотезы о трех экспонентах подразумеваются их аналогами с четырьмя экспонентами, что противоречит обычной тенденции. И гипотеза трех экспонент не подразумевается и не подразумевает гипотезу четырех экспонент.

Гипотеза трех экспонент, как и гипотеза точных пяти экспонент, подразумевала бы трансцендентность e ^{π ²} , позволяя (в логарифмической версии) λ ₁  =  i π, λ ₂  = - i π и γ = 1.

Гипотеза Бертрана [ править ]

Многие теоремы и результаты трансцендентной теории чисел, касающиеся экспоненциальной функции, имеют аналоги, связанные с модулярной функцией j . Записав q  =  e ^{2π i τ} для нома и j ( τ ) =  J ( q ), Даниэль Бертран предположил, что если q ₁ и q ₂ - ненулевые алгебраические числа в комплексном единичном диске , которые мультипликативно независимы, то J ( q ₁ ) и J ( q ₂) алгебраически независимы над рациональными числами. ^[11] Хотя гипотеза Бертрана явно не связана с гипотезой о четырех экспонентах, на самом деле она подразумевает особый случай, известный как гипотеза слабых четырех экспонент . ^[12] Эта гипотеза утверждает, что если x ₁ и x ₂ - два положительных вещественных алгебраических числа, ни одно из которых не равно 1, то π² и произведение (log  x ₁ ) (log  x ₂ ) линейно независимы относительно рациональных чисел. Это соответствует частному случаю гипотезы четырех экспонент, когда y ₁  =  iπ, y ₂  = - i π, а x ₁ и x ₂ действительны. Возможно, что удивительно, но это также следствие гипотезы Бертрана, предполагающее, что может быть подход к гипотезе о полных четырех экспонентах через модулярную функцию j .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Алаоглу, Леонид ; Эрдеш, Пол (1944). «О сильно составных и подобных цифрах». Пер. Амер. Математика. Soc. 56 (3): 448–469. DOI : 10.2307 / 1990319 . JSTOR  1990319 . Руководство по ремонту  0011087 .
• Бертран, Даниэль (1997). «Тета-функции и трансцендентность». Журнал Рамануджана . 1 (4): 339–350. DOI : 10,1023 / A: 1009749608672 . Руководство по ремонту  1608721 .
• Диас, Гай (2001). «Гипотеза Малера и другие результаты трансцендентности». В Нестеренко, Юрий В .; Филиппон, Патрис (ред.). Введение в алгебраическую теорию независимости . Конспект лекций по математике. 1752 . Springer. С. 13–26. ISBN 3-540-41496-7. MR  1837824 {{несогласованные цитаты}}.
• Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Co. MR  0214547 .
• Рамачандра, Канаканахалли (1967–1968). «Вклад в теорию трансцендентных чисел. I, II» . Acta Arith. 14 : 65–72, 73–88. DOI : 10,4064 / аа-14-1-65-72 . Руководство по ремонту  0224566 .
• Рамануджан, Шриниваса (1915). «Сильно составные числа» . Proc. Лондонская математика. Soc . 14 (2): 347–407. DOI : 10,1112 / ПНИЛИ / s2_14.1.347 . Руководство по ремонту  2280858 .
• Шнайдер, Теодор (1957). Einführung in die transzendenten Zahlen (на немецком языке). Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer. Руководство по ремонту  0086842 .
• Вальдшмидт, Мишель (2000). Диофантовы приближения на линейных алгебраических группах . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 326 . Берлин: Springer. ISBN 3-540-66785-7. Руководство по ремонту  1756786 .
• Вальдшмидт, Мишель (2005). «Алгебры Хопфа и трансцендентные числа». В Аоки Такаши; Канемицу, Сигеру; Накахара, Микио; и другие. (ред.). Дзета - функция, топология, и квантовая физика: доклады от симпозиума , проведенного в Университете Кинки, Осака, 3-6 марта 2003 года . Развитие математики. 14 . Springer. С. 197–219. CiteSeerX  10.1.1.170.5648 . Руководство по ремонту  2179279 .
• Вальдшмидт, Мишель (2005). «Вариации теоремы о шести экспонентах». В Тандоне, Раджат (ред.). Алгебра и теория чисел . Дели: Книжное агентство Индостана. С. 338–355. MR  2193363 {{несогласованные цитаты}}.
• Вальдшмидт, Мишель (2006). «О вкладе Рамачандры в трансцендентную теорию чисел». В Balasubramanian, B .; Шринивас, К. (ред.). Дзета-функция Римана и связанные темы: документы в честь профессора К. Рамачандры . Ramanujan Math. Soc. Лект. Примечания Сер. 2 . Майсур: Ramanujan Math. Soc. С. 155–179. MR  2335194 {{противоречивые цитаты}}.

Внешние ссылки [ править ]

• «Гипотеза четырех экспонент» . PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза четырех экспонент" . MathWorld .