В математике , особенно в теории трансцендентных чисел , теорема о шести экспонентах является результатом, который при правильных условиях на показатели гарантирует трансцендентность по крайней мере одного из набора экспонент.
Заявление
Если x 1 , x 2 , ..., x d - d комплексных чисел , линейно независимых относительно рациональных чисел , а y 1 , y 2 , ..., y l - l комплексных чисел, которые также линейно независимы относительно рациональных чисел. рациональные числа, и если dl > d + l , то по крайней мере одно из следующих dl чисел трансцендентно :
Самый интересный случай - это когда d = 3 и l = 2, и в этом случае есть шесть экспонент, отсюда и название результата. Теорема слабее связанной, но пока не доказанной гипотезы о четырех экспонентах , в которой строгое неравенство dl > d + l заменяется на dl ≥ d + l , что позволяет d = l = 2.
Теорема может быть сформулирована в терминах логарифмов, если ввести множество L логарифмов алгебраических чисел :
Теорема говорит, что если λ ij элементы L для i = 1, 2 и j = 1, 2, 3, такие, что λ 11 , λ 12 и λ 13 линейно независимы относительно рациональных чисел, а λ 11 и λ 21 также линейно независимы по рациональным числам, то матрица
имеет ранг 2.
История
Частный случай результата, когда x 1 , x 2 и x 3 - логарифмы положительных целых чисел , y 1 = 1, а y 2 является действительным , был впервые упомянут в статье Леонидаса Алаоглу и Пола Эрдеша от 1944 года, в которой они попытайтесь доказать, что соотношение последовательных колоссально обильных чисел всегда простое . Они утверждали, что Карл Людвиг Зигель знал о доказательствах этого особого случая, но они не зарегистрированы. [1] Используя частный случай, им удается доказать, что отношение последовательных колоссально обильных чисел всегда либо простое, либо полупростое .
Теорема была впервые явно сформулирована и доказана в полной форме независимо Сержем Лангом [2] и Канаканахалли Рамачандрой [3] в 1960-х годах.
Теорема о пяти экспонентах
Более сильный, связанный с результатом является теоремой пять экспонента , [4] , который состоит в следующий. Пусть x 1 , x 2 и y 1 , y 2 - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима относительно рациональных чисел, и пусть γ - ненулевое алгебраическое число. Тогда по крайней мере одно из следующих пяти чисел трансцендентно:
Эта теорема подразумевает теорему о шести экспонентах и, в свою очередь, вытекает из еще не доказанной гипотезы о четырех экспонентах, которая гласит, что на самом деле одно из первых четырех чисел в этом списке должно быть трансцендентным.
Точная теорема о шести экспонентах
Другой связанный результат, который влечет как теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, - это точная теорема о шести экспонентах . [5] Эта теорема сводится к следующему. Пусть x 1 , x 2 и x 3 - комплексные числа, которые линейно независимы по рациональным числам, и пусть y 1 и y 2 - пара комплексных чисел, которые линейно независимы по рациональным числам, и предположим, что β ij равны шесть алгебраических чисел для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2 таких, что следующие шесть чисел являются алгебраическими:
Тогда x i y j = β ij для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2. Затем следует теорема о шести экспонентах, полагая β ij = 0 для любых i и j , а теорема о пяти экспонентах следует, полагая x 3 = γ / x 1 и используя теорему Бейкера, чтобы гарантировать, что x i линейно независимы.
Существует также точная версия теоремы о пяти экспонентах, хотя она еще не доказана, поэтому известна как гипотеза точных пяти экспонент . [6] Эта гипотеза влечет как точную теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, и формулируется следующим образом. Пусть x 1 , x 2 и y 1 , y 2 - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима от рациональных чисел, и пусть α, β 11 , β 12 , β 21 , β 22 и γ равны шести. алгебраические числа с γ ≠ 0 такие, что следующие пять чисел являются алгебраическими:
Тогда x i y j = β ij для 1 ≤ i , j ≤ 2 и γ x 2 = α x 1 .
Следствием этой гипотезы, которая в настоящее время не известна, будет выход за пределы e π² , если x 1 = y 1 = β 11 = 1, x 2 = y 2 = i π, а все другие значения в утверждении равны быть нулевым.
Сильная теорема о шести экспонентах
Дальнейшим усилением теорем и гипотез в этой области являются сильные версии. В сильном шесть экспоненте теорема является следствием доказана Дэмиена Роем, подразумевающим резкой теорема шесть экспонента. [7] Этот результат касается векторного пространства над алгебраическими числами, порожденного единицей и всеми логарифмами алгебраических чисел, обозначаемых здесь как L ∗ . Итак, L ∗ - это множество всех комплексных чисел вида
для некоторого n ≥ 0, где все β i и α i алгебраические и рассматривается каждая ветвь логарифма . Тогда сильная теорема о шести экспонентах гласит, что если x 1 , x 2 и x 3 - комплексные числа, линейно независимые относительно алгебраических чисел, и если y 1 и y 2 - пара комплексных чисел, которые также линейно независимы относительно алгебраических чисел. алгебраические числа, то хотя бы одно из шести чисел x i y j для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2 не принадлежит L ∗ . Это сильнее стандартной теоремы о шести экспонентах, которая гласит, что одно из этих шести чисел не является просто логарифмом алгебраического числа.
Существует также сильная гипотеза пяти экспонент, сформулированная Мишелем Вальдшмидтом . [8] Это будет означать как сильную теорему о шести экспонентах, так и гипотезу о точных пяти экспонентах. Эта гипотеза утверждает, что если x 1 , x 2 и y 1 , y 2 - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима от алгебраических чисел, то по крайней мере одно из следующих пяти чисел не входит в L ∗ :
Все приведенные выше гипотезы и теоремы являются следствием недоказанного расширения теоремы Бейкера о том , что логарифмы алгебраических чисел, которые линейно независимы над рациональными числами, также автоматически алгебраически независимы. На диаграмме справа показаны логические следствия всех этих результатов.
Обобщение на коммутативные групповые многообразия
Экспоненциальная функция e z униформизирует экспоненциальное отображение мультипликативной группы G m . Следовательно, мы можем более абстрактно переформулировать теорему о шести экспонентах следующим образом:
- Пусть G = G m × G m и u : C → G ( C ) ненулевой комплексно-аналитический групповой гомоморфизм . Определим L , чтобы множество комплексных чисел л , для которого у ( л ) является алгебраической точкой G . Если минимальное порождающее множество L над Q имеет более двух элементов, то образ u ( C ) является алгебраической подгруппой G ( C ) .
(Чтобы вывести классическое утверждение, положим u ( z ) = (e y 1 z ; e y 2 z ) и заметим, что Q x 1 + Q x 2 + Q x 3 является подмножеством L ).
Таким образом, утверждение теоремы о шести экспонентах может быть обобщено на произвольное коммутативное групповое многообразие G над полем алгебраических чисел. Однако эта обобщенная шести экспоненциальная гипотеза , кажется, выходит за рамки нынешнего состояния трансцендентной теории чисел .
Для частных, но интересных случаев G = G m × E и G = E × E ′ , где E , E ′ - эллиптические кривые над полем алгебраических чисел, результаты в отношении обобщенной шести экспоненциальной гипотезы были доказаны Александром Момотом. [9] Эти результаты включают экспоненциальную функцию e z и функцию Вейерштрасса.соотв. две функции Вейерштрасса с алгебраическими инвариантами , вместо двух экспоненциальных функций в классической постановке.
Пусть G = G m × E и предположим, что E не изогенна кривой над вещественным полем и что u ( C ) не является алгебраической подгруппой в G ( C ) . Тогда L генерируется над Q либо двумя элементами x 1 , x 2 , либо тремя элементами x 1 , x 2 , x 3, которые не все содержатся в вещественной прямой R c , где c - ненулевое комплексное число. Аналогичный результат показан для G = E × E ′ . [10]
Заметки
- ^ Алаоглу и Эрдеш, (1944), стр.455: «Профессор Зигель сообщил нам результат, согласно которому q x , r x и s x не могут быть одновременно рациональными, кроме случаев, когда x является целым числом».
- ^ Ланг, (1966), глава 2, раздел 1.
- ↑ Рамачандра, (1967/68).
- ^ Вальдшмидт, (1988), следствие 2.2.
- ^ Вальдшмидт, (2005), теорема 1.4.
- ^ Waldschmidt, (2005), гипотеза 1.5
- ^ Рой, (1992), раздел 4, следствие 2.
- ^ Waldschmidt, (1988).
- ^ Момот, гл. 7
- ^ Момот, гл. 7
Рекомендации
- Алаоглу, Леонид ; Эрдеш, Пол (1944). «О сильно составных и подобных цифрах». Пер. Амер. Математика. Soc. 56 (3): 448–469. DOI : 10.2307 / 1990319 . JSTOR 1990319 . Руководство по ремонту 0011087 .
- Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547 .
- Момот, Александр (2011). «Плотность рациональных точек на коммутативных групповых многообразиях и малая степень трансцендентности». arXiv : 1011.3368 [ math.NT ].
- Рамачандра, Канаканахалли (1967–1968). «Вклад в теорию трансцендентных чисел. I, II» . Acta Arith. 14 : 65–72, 73–88. DOI : 10,4064 / аа-14-1-65-72 . Руководство по ремонту 0224566 .
- Рой, Дэмиен (1992). «Матрицы, коэффициенты которых являются линейными логарифмами» . J. Теория чисел . 41 (1): 22–47. DOI : 10.1016 / 0022-314x (92) 90081-у . Руководство по ремонту 1161143 .
- Вальдшмидт, Мишель (1988). «О методах трансцендентности Гельфонда и Шнайдера многих переменных». В Бейкер, Алан (ред.). Новые достижения в теории трансцендентности . Издательство Кембриджского университета . С. 375–398. MR 0972013 .
- Вальдшмидт, Мишель (2005). «Алгебры Хопфа и трансцендентные числа». В Аоки Такаши; Канемицу, Сигеру; Накахара, Микио; и другие. (ред.). Дзета - функция, топология, и квантовая физика: доклады от симпозиума , проведенного в Университете Кинки, Осака, 3-6 марта 2003 года . Развитие математики. 14 . Springer. С. 197–219. Руководство по ремонту 2179279 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о шести экспонентах" . MathWorld .
- «Теорема о шести экспонентах» . PlanetMath .