Трансцендентное число

Pi ( π ) - известное трансцендентное число

В математике , трансцендентное число это число , которое не является алгебраическим , то есть, не корень из ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами . Наиболее известные трансцендентные числа - это π и e . ^{[1] [2]}

Хотя известно лишь несколько классов трансцендентных чисел, отчасти из-за того, что чрезвычайно трудно показать, что данное число трансцендентно, трансцендентные числа не редкость. Действительно, почти все действительные и комплексные числа трансцендентным, так как алгебраические числа составляют счетное множество , а множество из действительных чисел и множество комплексных чисел являются несчетные множества , и , следовательно , больше , чем любого счетного множества. Все действительные трансцендентные числа являются иррациональными числами , поскольку все рациональные числа алгебраичны. Обратное неверно: не все иррациональные числа трансцендентные. Например,квадратный корень из 2 является иррациональным числом, но это не трансцендентное число, поскольку это корень полиномиального уравнения x ² - 2 = 0 . Золотое сечение (обозначается или ) является еще одним иррациональным числом , которое не трансцендентно, так как она является корнем многочлена уравнения х ² - х - 1 = 0 .${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ phi}$

История [ править ]

Название «трансцендентальный» происходит от латинского transcendĕre «перелезать через или за пределы, преодолевать» ^[3] и впервые было использовано для математической концепции в работе Лейбница 1682 года, в которой он доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . ^{[4] [5]} Эйлер в 18 веке, вероятно, был первым человеком, определившим трансцендентные числа в современном смысле этого слова. ^[6]

Иоганн Генрих Ламберт предположил , что е и π был оба числа трансцендентных в своем 1768 бумаге доказав число π является иррациональным , и предложил предварительный набросок доказательства π «s трансцендентности. ^[7]

Джозеф Лиувилль впервые доказал существование трансцендентных чисел в 1844 г. ^[8], а в 1851 г. привел первые десятичные примеры, такие как постоянная Лиувилля.

${\ displaystyle {\ begin {align} L_ {b} & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- n!} \\ & = 10 ^ {- 1} +10 ^ {- 2} +10 ^ {- 6} +10 ^ {- 24} +10 ^ {- 120} +10 ^ {- 720} +10 ^ {- 5040} +10 ^ {- 40320} + \ ldots \\ & = 0. {\ Textbf {1}} {\ textbf {1}} 000 {\ textbf {1}} 00000000000000000 {\ textbf {1}} 0000000000000000000000000000000000000000000000000 \ ldots \\\ конец {выровнено}}}$

в котором n- я цифра после десятичной точки равна 1, если n равно k ! ( k факториал ) для некоторого k и 0 в противном случае. ^[9] Другими словами, n- я цифра этого числа равна 1, только если n - одно из чисел 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и т. Д. Лиувилль показал, что это число принадлежит классу трансцендентных чисел, которые можно более точно аппроксимировать рациональными числами, чем любое иррациональное алгебраическое число, и этот класс чисел называется числами Лиувилля., названный в его честь. Лиувилль показал, что все числа Лиувилля трансцендентны. ^[10]

Первое число , которое будет доказано , трансцендентным , не будучи специально построены с целью доказать существование чисел трансцендентных были е , по Эрмит в 1873 году.

В 1874 году Георг Кантор доказал, что алгебраические числа счетны, а действительные числа несчетны. Он также дал новый метод построения трансцендентных чисел. ^{[11] [12]} Хотя это уже подразумевалось в его доказательстве счетности алгебраических чисел, Кантор также опубликовал конструкцию, которая доказывает, что существует столько же трансцендентных чисел, сколько существует действительных чисел. ^[13] Работа Кантора установила повсеместное распространение трансцендентных чисел.

В 1882 году Фердинанд фон Линдеманн опубликовал первое полное доказательство трансцендентности π . Он впервые доказал, что e ^a трансцендентно, когда a - любое ненулевое алгебраическое число. Тогда, поскольку e ^{i π} = −1 является алгебраическим (см . Тождество Эйлера ), i π должно быть трансцендентным. Но поскольку i алгебраическое, значит , π должно быть трансцендентным. Этот подход был обобщен Карлом Вейерштрассом до того, что теперь известно как теорема Линдеманна – Вейерштрасса . Трансцендентность πпозволил доказать невозможность нескольких древних геометрических построений с использованием циркуля и линейки , в том числе самого известного - квадрата круга .

В 1900 году Дэвид Гильберт задал важный вопрос о трансцендентных числах, седьмую проблему Гильберта : если a - алгебраическое число, отличное от нуля или единицы, а b - иррациональное алгебраическое число , обязательно ли ^b трансцендентно? Утвердительный ответ был дан в 1934 г. теоремой Гельфонда – Шнайдера . Эта работа была расширена Аланом Бейкером в 1960-х годах в его работе по нижним оценкам линейных форм от любого числа логарифмов (алгебраических чисел). ^[14]

Свойства [ править ]

Множество трансцендентных чисел бесконечно . Поскольку многочлены с рациональными коэффициентами счетны и поскольку каждый такой многочлен имеет конечное число нулей , алгебраические числа также должны быть счетными. Однако диагональный аргумент Кантора доказывает, что действительные числа (а, следовательно, и комплексные числа) неисчислимы. Поскольку действительные числа представляют собой объединение алгебраических и трансцендентных чисел, они не могут быть счетными. Это делает трансцендентные числа неисчислимыми.

Никакое рациональное число не является трансцендентным, а все настоящие трансцендентные числа иррациональны. В иррациональных числах содержат все действительные числа трансцендентных и подмножество алгебраических чисел, включая квадратичные иррациональности и другие формы алгебраических иррациональные.

Любая непостоянная алгебраическая функция одной переменной дает трансцендентное значение при применении к трансцендентному аргументу. Например, зная, что π трансцендентно, можно сразу вывести, что числа, такие как 5 π ,π -3/√ 2, ( √ π - √ 3 ) ⁸ и ⁴ √ π ⁵ +7 также трансцендентны.

Однако алгебраическая функция нескольких переменных может дать алгебраическое число при применении к трансцендентным числам, если эти числа не являются алгебраически независимыми . Например, π и (1 - π ) оба трансцендентны, но π + (1 - π ) = 1 , очевидно, нет. Неизвестно , например, является ли e + π трансцендентным, хотя по крайней мере одно из e + π и eπ должно быть трансцендентным. В более общем смысле, для любых двух трансцендентных чисел a и b по крайней мере одно из a +b и ab должны быть трансцендентными. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим многочлен ( x - a ) ( x - b ) = x ² - ( a + b ) x + ab . Если бы ( a + b ) и ab были алгебраическими, то это был бы многочлен с алгебраическими коэффициентами. Поскольку алгебраические числа образуют алгебраически замкнутое поле , это означало бы, что корни многочлена a и b, должно быть алгебраическим. Но это противоречие, и поэтому должно быть так, что по крайней мере один из коэффициентов трансцендентен.

В невычислимых числах представляют собой строгое подмножество чисел трансцендентных.

Все числа Лиувилля трансцендентны, но не наоборот. Любое число Лиувилля должно иметь неограниченные частные частные в разложении в непрерывную дробь . Используя счетный аргумент, можно показать, что существуют трансцендентные числа, которые имеют ограниченные частные отношения и, следовательно, не являются числами Лиувилля.

Используя явное разложение числа e в непрерывную дробь , можно показать, что e не является числом Лиувилля (хотя частные частные в его разложении в непрерывную дробь неограниченны). Курт Малер показал в 1953 году, что π также не является числом Лиувилля. Предполагается, что все бесконечные цепные дроби с ограниченными членами, которые не являются в конечном итоге периодическими, являются трансцендентными (в конечном итоге периодические цепные дроби соответствуют квадратичным иррациональным числам). ^[15]

Доказано, что числа трансцендентны [ править ]

Числа оказались трансцендентными:

• е еслиявляетсяалгебраическими отличнануля (потеореме Линдемана-Вейерштрасса).
• π (по теореме Линдемана – Вейерштрасса ).
• e ^π , постоянная Гельфонда , а также e ^{- π / 2} = i ⁱ (по теореме Гельфонда – Шнайдера ).
• a ^b, где a алгебраическое, но не 0 или 1, а b иррационально алгебраическое (по теореме Гельфонда – Шнайдера), в частности:

2 ^{√ 2} , постоянная Гельфонда – Шнайдера (или число Гильберта)

• sin a , cos a , tan a , csc a , sec a и cot a и их гиперболические аналоги для любого ненулевого алгебраического числа a , выраженного в радианах (по теореме Линдемана – Вейерштрасса).
• Фиксированная точка функции косинуса (также именуемой Dottie номером г ) - единственное реальное решение уравнения соз х = х , где х находится в радианах (по теореме Линдемана-Вейерштрасса). ^[16]
• ln a, если a алгебраическое и не равно 0 или 1, для любой ветви логарифмической функции (по теореме Линдемана – Вейерштрасса).
• log _b a, если a и b - натуральные числа, а не обе степени одного и того же целого числа (по теореме Гельфонда – Шнайдера).
• W ()еслиалгебраичен инуля, для любой ветви функции Ламберта W (по теореме Линдемана-Вейерштрасса), в частности:Ωомега постоянная
• √ x _s , квадратный суперкорень любого натурального числа может быть целым или трансцендентным (по теореме Гельфонда-Шнайдера)
• Γ (1/3) , ^[17] Γ (1/4) , ^[18] и Γ (1/6) . ^[18]
• 0,64341054629 ..., постоянная Кагена . ^[19]
• Константы Чамперноуна , иррациональные числа, образованные конкатенацией представлений всех положительных целых чисел. ^{[20] [21]}
• Ω , постоянная Чейтина (так как это невычислимое число). ^[22]
• Так называемые константы Фредгольма, такие как ^{[8] [23] [24]}

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000{\textbf {1}}\ldots }$

которое также выполняется при замене 10 любым алгебраическим b > 1 . ^[25]

• Постоянная Гаусса .
• Две константы лемнискаты L ₁ (иногда обозначаются как ϖ ) и L ₂ .
• Вышеупомянутая константа Лиувилля для любого алгебраического b ∈ (0, 1) .
• Постоянная Пруэ – Туэ – Морса . ^{[26] [27]}
• Постоянная Коморника-Лорети.
• Любое число, для которого цифры относительно некоторого фиксированного основания образуют слово Штурма . ^[28]
• Для β > 1

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };}$

где - функция пола .${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$

• 3,300330000000000330033 ... и обратное ему 0,30300000303 ..., два числа только с двумя разными десятичными цифрами, ненулевые позиции которых задаются последовательностью Мозера – де Брюйна и ее двойником. ^[29]
• Номер π/2Д ₀ (2)/J ₀ (2)- γ , где Y _α ( x ) и J _α ( x ) - функции Бесселя, а γ - постоянная Эйлера-Машерони . ^{[30] [31]}

Возможные трансцендентные числа [ править ]

Числа, трансцендентные или алгебраические числа которых еще предстоит доказать:

• Большинство сумм, произведений, степеней и т.д. числа π и числа e , например eπ , e + π , π - e , π / e , π ^π , e ^e , π ^e , π ^{√ 2} , e ^{π 2,} являются не известно, что они рациональны, алгебраичны, иррациональны или трансцендентны. Заметным исключением является e ^{π √ n} (для любого положительного целого n ), трансцендентность которого была доказана.^[32]
• Константа Эйлера – Маскерони γ : в 2010 г. М. Рам Мурти и Н. Сарадха рассмотрели бесконечный список чисел, также содержащийγ/4и показал, что все, кроме одного, должны быть трансцендентными. ^{[33] [34]} В 2012 году было показано, что по крайней мере одно из γ и постоянной Эйлера-Гомперца δ является трансцендентным. ^[35]
• Каталонская постоянная , даже не доказанная иррациональная.
• Постоянная Хинчина также не доказала свою иррациональность.
• Постоянная Апери ζ (3) (которая, как доказал Апери, иррациональна).
• Дзета - функция Римана на других нечетных чисел, ζ (5) , ζ (7) , ... (не доказано , что нерационально).
• Константы Фейгенбаума δ и α также не доказали свою иррациональность.
• Постоянная Миллса также не доказала свою иррациональность.
• Константа Коупленда – Эрдеша , образованная объединением десятичных представлений простых чисел.

Предположения:

• Гипотеза Шануэля ,
• Гипотеза четырех экспонент .

Набросок доказательства того, что е трансцендентно [ править ]

Первое доказательство того, что основание натурального логарифма e является трансцендентным, датируется 1873 годом. Теперь мы будем следовать стратегии Дэвида Гильберта (1862–1943), который дал упрощение первоначального доказательства Чарльза Эрмита . Идея такая:

Предположим, чтобы найти противоречие, что e алгебраическое. Тогда существует конечный набор целочисленных коэффициентов c ₀ , c ₁ , ..., c _n, удовлетворяющих уравнению:

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}$

Теперь для положительного целого числа k определим следующий многочлен:

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$

и умножьте обе части приведенного выше уравнения на

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}$

чтобы прийти к уравнению:

${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}$

Разбив соответствующие области интегрирования, это уравнение можно записать в виде

${\displaystyle P+Q=0}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)\end{aligned}}}$

Лемма 1. При соответствующем выборе к , является ненулевым числом.${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$

Доказательство. Каждый член в P представляет собой целое число, умноженное на сумму факториалов, которая получается из отношения

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}$

что справедливо для любого положительного целого числа j (рассмотрим гамма-функцию ).

Он не равен нулю, потому что для любого a, удовлетворяющего 0 < a ≤ n , подынтегральное выражение в

${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}$

это адрес электронной ^-X раза в терминах суммы которых низкая мощность х является к +1 после подстановки х для й + с в интеграле. Тогда это становится суммой интегралов вида

${\displaystyle A_{j-k}\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}$Где A _j-k - целое число.

с k +1 ≤ j , и поэтому это целое число, делимое на ( k +1) !. После деления на k! , получаем ноль по модулю ( k +1). Однако мы можем написать:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left(\left[(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}.}$

Так что при делении каждого интеграла в P на k! , начальный не делится на k +1, но все остальные делятся, пока k +1 простое и больше n и | c ₀ |, Отсюда следует, что само по себе не делится на простое число k +1 и, следовательно, не может быть нулем.${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$

Лемма 2. для достаточно больших .${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$${\displaystyle k}$

Доказательство. Обратите внимание, что

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$

где и являются непрерывными функциями для всех , поэтому ограничены на интервале . То есть есть такие константы , что${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [0,n]}$${\displaystyle G,H>0}$

${\displaystyle \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n.}$

Таким образом, каждый из этих интегралов ограничен, в худшем случае${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\,dx\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\,dx=nG^{k}H.}$

Теперь также можно связать сумму :${\displaystyle Q}$

${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M,}$

где - постоянная, не зависящая от . Следует, что${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty ,}$

завершая доказательство этой леммы.

Выбор значения, удовлетворяющего обеим леммам, приводит к ненулевому целому числу ( ), добавленному к исчезающе малой величине ( ), равной нулю, является невозможным. Отсюда следует, что исходное предположение, что e может удовлетворять полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, также невозможно; то есть е трансцендентно.${\displaystyle k}$${\displaystyle P/k!}$${\displaystyle Q/k!}$

Превосходство числа π [ править ]

Похожая стратегия, отличная от первоначального подхода Линдеманна , может использоваться, чтобы показать, что число π трансцендентно. Помимо гамма-функции и некоторых оценок, как в доказательстве для e , важную роль в доказательстве играют факты о симметричных многочленах .

Для получения подробной информации о доказательствах трансцендентности π и e см. Ссылки и внешние ссылки.

См. Также [ править ]

• Теория трансцендентных чисел , изучение вопросов, связанных с трансцендентными числами
• Теорема Гельфонда-Шнайдера
• Диофантово приближение
• Периоды , набор чисел (включая как трансцендентные, так и алгебраические числа), которые могут быть определены с помощью интегральных уравнений.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2005). «О сложности алгебраических чисел, II. Непрерывные дроби». Acta Mathematica . 195 (1): 1–20. arXiv : математика / 0511677 . Bibcode : 2005math ..... 11677A . DOI : 10.1007 / BF02588048 . S2CID  15521751 .
• Аллуш, Жан-Поль ; Шаллит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015 .
• Бейкер, Алан (1990). Трансцендентальная теория чисел (изд. В мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-20461-3. Zbl  0297.10013 .
• Бланшар, Андре; Мендес Франция, Мишель (1982). «Симетрия и превосходство». Bulletin des Sciences Mathématiques . 106 (3): 325–335. Руководство по ремонту  0680277 .
• Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Springer.
• Бюжо, Ян (2012). Распределение по модулю один и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. 193 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl  1260.11001 .
• Бургер, Эдвард Б.; Таббс, Роберт (2004). Сделать трансцендентность прозрачной. Интуитивный подход к классической теории трансцендентных чисел . Springer . ISBN 978-0-387-21444-3. Zbl  1092.11031 .
• Калуд, Кристиан С. (2002). Информация и случайность: алгоритмическая перспектива . Тексты по теоретической информатике (2-е изд. И доп. Ред.). Springer . ISBN 978-3-540-43466-5. Zbl  1055.68058 .
• Кантор, Георг (1874). "Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reelen algebraischen Zahlen" . J. Reine Angew. Математика. 77 : 258–262.
• Кантор, Георг (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre" . J. Reine Angew. Математика. 84 : 242–258.
• Чудновский, Г.В. (1984). Вклад в теорию трансцендентных чисел . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-1500-7.
• Дэвисон, Дж. Лес; Шаллит, Джеффри О. (1991). «Непрерывные дроби для некоторых переменных серий». Monatshefte für Mathematik . 111 (2): 119–126. DOI : 10.1007 / BF01332350 . S2CID  120003890 .
• Эрдеш, Пол ; Дадли, Андервуд (1983). «Некоторые замечания и проблемы теории чисел, связанные с работами Эйлера» (PDF) . Математический журнал . 56 (5): 292–298. CiteSeerX  10.1.1.210.6272 . DOI : 10.2307 / 2690369 . JSTOR  2690369 .
• Гельфонд, Александр (1960) [1956]. Трансцендентные и алгебраические числа . Дувр.
• Грей, Роберт (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» . Амер. Математика. Ежемесячно . 101 (9): 819–832. DOI : 10.2307 / 2975129 . JSTOR  2975129 . Zbl  0827.01004 .
• Хиггинс, Питер М. (2008). Номерная история . Книги Коперника. ISBN 978-1-84800-001-8.
• Гильберт, Дэвид (1893). "Über die Transcendenz der Zahlen e und " π {\displaystyle \pi } . Mathematische Annalen . 43 : 216–219. DOI : 10.1007 / BF01443645 . S2CID  179177945 .
• Кемпнер, Обри Дж. (1916). «О трансцендентных числах» . Труды Американского математического общества . 17 (4): 476–482. DOI : 10.2307 / 1988833 . JSTOR  1988833 .
• Ламберт, Иоганн Генрих (1768). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des Quantités transcendantes, circaires et logarithmiques". Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin : 265–322.
• Лейбниц, Готфрид Вильгельм; Герхард, Карл Иммануэль; Перц, Георг Генрих (1858). Leibnizens Mathematische Schriften . 5 . A. Asher & Co., стр. 97–98.
• Ле Лионне, Франсуа (1979). Les nombres remarquables . Германн. ISBN 2-7056-1407-9.
• Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Разделы теории чисел, тома I и II . Дувр. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Лиувилль, Жозеф (1851). "Sur des classes très étendues de Quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même reductible à des irrationnelles algébriques" (PDF) . J. Math. Pures Appl . 16 : 133–142.
• Локстон, Дж. Х (1988). «13. Автоматы и трансцендентность». В Baker, A. (ed.). Новые достижения в теории трансцендентности . Издательство Кембриджского университета . С. 215–228. ISBN 978-0-521-33545-4. Zbl  0656.10032 .
• Малер, Курт (1929). "Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen". Математика. Аннален . 101 : 342–366. DOI : 10.1007 / bf01454845 . JFM  55.0115.01 . S2CID  120549929 .
• Малер, Курт (1937). "Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen". Proc. Конин. Недер. Акад. Смачивать. Сер. А. (40): 421–428.
• Малер, Курт (1976). Лекции о трансцендентных числах . Конспект лекций по математике. 546 . Springer . ISBN 978-3-540-07986-6. Zbl  0332.10019 .
• Натараджан, Сарадха ; Тангадурай, Равиндранатан (2020). Столпы теории трансцендентных чисел . Springer Verlag . ISBN 978-981-15-4154-4.
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Сигель, А. (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. 1794 . Springer . ISBN 978-3-540-44141-0. Zbl  1014.11015 .
• Шаллит, Джеффри (1999). «Теория чисел и формальные языки». In Hejhal, Dennis A .; Фридман, Джоэл; Гуцвиллер, Мартин К .; Одлызко, Эндрю М. (ред.). Новые приложения теории чисел. На основе трудов летней программы IMA, Миннеаполис, штат Миннесота, США, июль 15-26, 1996 . Объемы IMA по математике и ее приложениям. 109 . Springer . С. 547–570. ISBN 978-0-387-98824-5.

Внешние ссылки [ править ]

В Wikisource есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Über die Transzendenz der Zahlen e und π. (на немецком)

• Трансцендентное число (математика) в Британской энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лиувилля» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Лиувилля» . MathWorld .
• (на английском языке) Доказательство того, что е трансцендентно
• (на английском языке) Доказательство трансцендентности константы Лиувилля
• (на немецком языке) Доказательство трансцендентности e (PDF)
• (на немецком языке) Доказательство трансцендентности π (PDF)