Комплексный логарифм

Единственная ветвь комплексного логарифма. Оттенок цвета используется , чтобы показать ARG (полярный угол координат) комплексного логарифма. Насыщенность и значение (интенсивность и яркость) цвета используются для отображения модуля комплексного логарифма.

В отрасли математика известной как комплексный анализ , комплексный логарифм является аналогом для ненулевых комплексных чисел в логарифме положительного действительного числа . Термин относится к одному из следующих:

• комплексный логарифм ненулевого комплексного числа z , определяемого как любое комплексное число w, для которого e ^w = z . ^{[1] [2]} Такое число w обозначается log z . ^[1] Если z задано в полярной форме как z = re ^iθ , где r и θ - действительные числа с r > 0 , то ln ( r ) + iθ - один логарифм z., а все комплексные логарифмы z - это в точности числа вида ln ( r ) + i ( θ + 2 π k ) для целых k . ^{[1] [2]} Эти логарифмы расположены через равные промежутки по вертикальной линии в комплексной плоскости.
• комплекснозначная функция , определенная на некотором подмножестве , удовлетворяющая всем . Такая функция аналогична функции действительного логарифма , которая является обратной по отношению к действительной экспоненциальной функции и, следовательно, удовлетворяет условию e ^{ln x} = x для всех положительных действительных чисел x .${\ displaystyle \ log \ двоеточие U \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {C} ^ {\ times}: = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle e ^ {\ log z} = z}$${\ displaystyle z \ in U}$ ${\ Displaystyle \ ln \ двоеточие \ mathbb {R} _ {> 0} \ to \ mathbb {R}}$

Не существует функции непрерывного комплексного логарифма, определенной для всех . Способы решения этой проблемы включают ветви , связанную риманову поверхность и частичные обратные значения комплексной экспоненциальной функции . Главное значение определяет конкретную функцию комплексного логарифма, которая является непрерывной, за исключением отрицательной действительной оси.${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$${\ displaystyle \ operatorname {Log} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {\ times} \ to \ mathbb {C}}$

Проблемы с обращением комплексной экспоненциальной функции [ править ]

Чтобы функция имела инверсию, она должна отображать разные значения в разные значения ; то есть он должен быть инъективным . Но комплексная экспоненциальная функция не инъективна, потому что е ^{ш +- kπi} = е ^ш для любого ш , так как добавление iθ к ш имеет эффект вращающихся е ^ж против часовой стрелки thetas ; радиана . Итак, точки

${\ Displaystyle \ ldots, \; вес-4 \ пи я, \; вес-2 \ пи я, \; ш, \; вес + 2 \ пи я, \; вес + 4 \ пи я, \; \ ldots ,}$

на равном расстоянии вдоль вертикальной линии, все они отображаются в одно и то же число с помощью экспоненциальной функции. Это означает, что экспоненциальная функция не имеет обратной функции в стандартном смысле. ^{[3] [4]} Есть два решения этой проблемы.

Одним из них является , чтобы ограничить область экспоненциальной функции в области , которая не содержит какое - либо два числа , отличающегося на целом кратное 2πi : это естественно приводит к определению ветвей из журнала г , которые являются определенными функциями , которые выделяют один логарифм каждый номер в своих доменах. Это аналогично определению arcsin x на [−1, 1] как инверсии ограничения sin θ на интервал [- π / 2, π / 2] : существует бесконечно много действительных чисел θ с sin θ = Икс, но выбирается произвольно из числа [- π / 2, π / 2] .

Другой способ разрешить неопределенность - рассматривать логарифм как функцию, область определения которой не является областью на комплексной плоскости , а является римановой поверхностью, которая покрывает проколотую комплексную плоскость с точностью до 1.

Преимущество ветвей состоит в том, что их можно вычислять комплексными числами. С другой стороны, функция на римановой поверхности элегантна тем, что объединяет все ветви логарифма и не требует произвольного выбора как части своего определения.

Основное значение [ править ]

Определение [ править ]

Для каждого ненулевого комплексного числа г , то главное значение входа  г представляет собой логарифм которого мнимая часть лежит в интервале (- π , π .] ^[2] Выражение входа 0 остается неопределенным , так как не существует комплексное число ш , удовлетворяющих е ^ш  = 0. ^[1]

Когда нотация log z появляется без указания какого-либо конкретного логарифма, обычно лучше предположить, что задано главное значение. В частности, это дает значение, соответствующее действительному значению ln z, когда z - положительное действительное число. Некоторые авторы ^[2] используют заглавные буквы в обозначении Log, чтобы отличать главное значение от других логарифмов z .

Расчет основной стоимости [ править ]

Для z = x + yi выберите выражение в полярной форме z = re ^iθ , где r - положительное действительное число, а θ - действительное число, следующим образом:

• Пусть .${\ displaystyle r = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$
• Пусть θ будет таким углом в радианах, что вращение положительной вещественной оси против часовой стрелки на θ приводит к лучу в направлении z . Это θ не совсем уникально из-за возможности добавления целого числа, кратного 2 π, к θ , но его можно сделать уникальным, потребовав, чтобы θ лежала в интервале (- π , π ]; это θ называется главным значением. аргумента, и иногда записывается как Arg z или (особенно в компьютерных языках) atan2 ( y , x ), что согласуется с arctan ( y / x ), когда x > 0, но дает правильное значение для любого ( x , y ) ≠ (0, 0).

потом

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

Например, Log (−3 i ) = ln 3 - πi / 2, а Log (−3) = ln 3 + πi .

Главное значение как обратная функция [ править ]

Другой способ описать Log  z - это обратный ограничению комплексной экспоненциальной функции, как в предыдущем разделе. Горизонтальная полоса S, состоящая из комплексных чисел w  =  x + yi таких, что - π  <  y  ≤  π, является примером области, не содержащей никаких двух чисел, различающихся на целое число, кратное 2 πi , поэтому ограничение экспоненциальной функции на S имеет обратное. Фактически, экспоненциальная функция биективно отображает S на проколотую комплексную плоскость , и обратное этому ограничению имеет вид${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{\times }\to S}$. Раздел конформного отображения ниже объясняет геометрические свойства этой карты более подробно.

Свойства [ править ]

Не все тождества, которым удовлетворяет ln, распространяются на комплексные числа. Это верно , что е ^{Лог  г}  =  г для всех г  ≠ 0 (это то , что это означает для входа  г быть логарифмом г ), но личность вход  х ^г = г не выполняется для г вне полосы S . По этой причине не всегда можно применить Log к обеим сторонам тождества e ^z  =  e ^w, чтобы вывести z  =  w . Кроме того, тождество Log ( z ₁ z ₂ ) = Log  z₁  + Log  z ₂ может потерпеть неудачу: две стороны могут отличаться на целое число, кратное 2 πi ; ^[1] например,

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

но

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

Функция Log  z является разрывной для каждого отрицательного действительного числа, но непрерывной везде в . Чтобы объяснить разрыв, рассмотрим, что происходит с Arg  z, когда z приближается к отрицательному действительному числу a . Если z приближается к a сверху, тогда Arg  z приближается к π , что также является значением самого Arg  a . Но если z приближается к a снизу, то Arg  z приближается к - π . Таким образом, Arg  z "прыгает" на 2 π при z${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$пересекает отрицательную действительную ось, и аналогично Log  z перескакивает на 2 πi .

Ветви комплексного логарифма [ править ]

Есть другой способ выбрать логарифм каждого ненулевого комплексного числа так, чтобы функция L ( г ), непрерывная на все из ? Ответ - нет. Чтобы понять, почему, представьте себе отслеживание такой логарифмической функции по единичной окружности , оценивая L ( e ^iθ ) при увеличении θ от 0 до 2 π . Если L ( z ) непрерывен, то также и L ( e ^iθ ) -  iθ , но последний представляет собой разность двух логарифмов e ^iθ , поэтому принимает значения в дискретном наборе${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$, так что это постоянно. В частности, L ( e ^{2 πi} ) - 2 πi  =  L ( e ⁰ ) - 0, что противоречит L ( e ^{2 πi} ) =  L (1) =  L ( e ⁰ ).

Чтобы получить непрерывный логарифм, определенный на комплексных числах, необходимо ограничить область определения меньшим подмножеством U комплексной плоскости. Поскольку одна из целей состоит в том, чтобы иметь возможность дифференцировать функцию, разумно предположить, что функция определена в окрестности каждой точки своей области; другими словами, U должно быть открытым множеством . Кроме того , разумно предположить , что U является связано , так как в противном случае значения функции на различных компонентах U могут быть связаны друг с другом. Все это мотивирует следующее определение:

Ветвь лога  - г является непрерывной функцией Ь ( г ) , определенные на связной открытом подмножестве U комплексной плоскости таким образом, что Ь ( г ) представляет собой логарифм г для каждого г в U . ^[2]

Например, главное значение определяет ветвь на открытом множестве, где она является непрерывной, которая является множеством, полученным путем удаления 0 и всех отрицательных действительных чисел из комплексной плоскости.${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$

Другой пример: серия Меркатора.

${\displaystyle \ln(1+u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}u^{n}=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\cdots }$

сходится локально равномерно при | u | <1, поэтому установка z  = 1+ u определяет ветвь log  z на открытом диске радиуса 1 с центром в 1. (Фактически, это всего лишь ограничение Log  z , как можно показать, дифференцируя разницу и сравнивая значения в 1.)

После того, как ветвь зафиксирована, ее можно обозначить как «log  z », если это не приведет к путанице. Однако разные ветви могут давать разные значения логарифма конкретного комплексного числа, поэтому ветвь должна быть зафиксирована заранее (иначе необходимо понимать главную ветвь), чтобы «log  z » имел точное однозначное значение.

Отрезки веток [ править ]

Вышеприведенный аргумент, связанный с единичной окружностью, обобщает, чтобы показать, что на открытом множестве U, содержащем замкнутую кривую , огибающую 0 , не существует ветви log  z. Чтобы опровергнуть этот аргумент, U обычно выбирается как дополнение луча или кривой в комплексная плоскость, идущая от 0 (включительно) до бесконечности в каком-то направлении. В этом случае кривая называется разветвлением . Например, основная ветвь имеет ветвь, разрезанную по отрицательной действительной оси.

Если функцию L ( z ) продолжить до определения в точке разреза ветви, она обязательно будет там разрывной; в лучшем случае он будет непрерывным «с одной стороны», как Log  z с отрицательным действительным числом.

Производная комплексного логарифма [ править ]

Каждая ветвь Ь ( г ) из журнала г на открытом множестве U является обратным к ограничению экспоненциальной функции, а именно ограничение на изображение L ( U ) . Поскольку экспонента голоморфна (то есть комплексно дифференцируема) с ненулевой производной, применяется комплексный аналог теоремы об обратной функции . Это показывает, что L ( z ) голоморфна на U и L ′ ( z ) = 1 / z для каждого z из U. ^[2] Другой способ доказать это - проверить уравнения Коши – Римана в полярных координатах . ^[2]

Создание веток через интеграцию [ править ]

Функцию для вещественных чисел можно построить по формуле${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$

Если диапазон интегрирования начинается с положительного числа a, отличного от 1, формула должна быть

${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$

вместо.

При разработке аналога комплексного логарифма возникает дополнительная сложность: определение комплексного интеграла требует выбора пути. К счастью, если подынтегральное выражение голоморфно, то значение интеграла не изменяется из-за деформации пути (при фиксированных конечных точках), а в односвязной области U (области без «дырок») любой путь от a до z внутри U можно непрерывно деформировать внутри U в любое другое. Все это приводит к следующему:

Если U - односвязное открытое подмножество, не содержащее 0, то ветвь журнала  z, определенная на U, может быть построена путем выбора начальной точки a в U , выбора логарифма b числа a и определения${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$

для каждого г в U . ^[5]

Комплексный логарифм как конформное отображение [ править ]

Любое голоморфное отображение , удовлетворяющее для все является конформным отображением , что означает , что если две кривые , проходящих через точку а из U образует угол & alpha ; (в том смысле , что касательные к кривым в виде образует угол & alpha ; ), то изображения две кривые образуют один и тот же угол α в точке f ( a ). Поскольку ветвь log  z голоморфна, а ее производная 1 / z никогда не равна 0, она определяет конформное отображение.${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f'(z)\neq 0}$${\displaystyle z\in U}$

Например, главная ветвь w = Log  z , рассматриваемая как отображение из горизонтальной полосы, определяемой | Im  z | <  π , имеет следующие свойства, которые являются прямым следствием формулы в терминах полярной формы:${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$

• Окружности ^[6] на плоскости z с центром в 0 отображаются в вертикальные сегменты на плоскости w, соединяющей a  -  πi с a  +  πi , где a - действительный логарифм радиуса окружности.
• Лучи, исходящие из 0 на плоскости z , отображаются на горизонтальные линии на плоскости w .

Каждый круг и луч в плоскости z, как указано выше, встречаются под прямым углом. Их изображения в разделе Log представляют собой вертикальный сегмент и горизонтальную линию (соответственно) на w- плоскости, и они также пересекаются под прямым углом. Это иллюстрация конформного свойства Log.

Соответствующая риманова поверхность [ править ]

Строительство [ править ]

Различные ветви log z не могут быть склеены для получения единой непрерывной функции, потому что две ветви могут давать разные значения в точке, где обе определены. Сравните, например, главную ветвь Log ( z ) on с мнимой частью θ в (- π , π ) и ветвь L ( z ), на которой мнимая часть θ лежит в (0,2 π ) . Они совпадают в верхней полуплоскости , но не в нижней полуплоскости. Так что есть смысл приклеить домены этих веток${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$только по копиям верхней полуплоскости . Получившаяся склеенная область связная, но имеет две копии нижней полуплоскости. Эти две копии можно визуализировать как два уровня гаража, и можно перейти от уровня логарифма нижней полуплоскости до уровня L нижней полуплоскости, повернувшись на 360 ° против часовой стрелки вокруг 0 , сначала пересекая положительное вещественное число. ось ( уровня Log ) в общую копию верхней полуплоскости, а затем пересекает отрицательную действительную ось ( уровня L ) в уровень L нижней полуплоскости.

Можно продолжить, склеивая ветви с мнимой частью θ в ( π , 3 π ) , в (2 π , 4 π ) и т. Д., А в другом направлении - ветви с мнимой частью θ в (−2 π , 0) , в (−3 π , - π ) и т. д. Конечным результатом является соединенная поверхность, которую можно рассматривать как спиралевидный гараж с бесконечным количеством уровней, простирающихся как вверх, так и вниз. Это риманова поверхность R, ассоциированная с log z . ^[7]

Точку на R можно представить как пару ( z , θ ), где θ - возможное значение аргумента z . Таким образом, R может быть встроен в .${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$

Функция логарифма на римановой поверхности [ править ]

Поскольку области ветвей были склеены только вдоль открытых наборов, где их значения совпадали, ветви склеиваются, давая единую четко определенную функцию . ^[8] Он отображает каждую точку ( z , θ ) на R в ln | z | +  iθ . Этот процесс расширения исходной ветви Log путем склейки совместимых голоморфных функций известен как аналитическое продолжение .${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$

Существует «карта проекции» от R вниз до того, что «сглаживает» спираль, отправляя ( z , θ ) в z . Для любого , если взять все точки ( z , θ ) R, лежащие «непосредственно над» z, и вычислить log _R во всех этих точках, получатся все логарифмы z .${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}$

Склеивание всех ветвей журнала  z [ править ]

Вместо того , чтобы склеивание только ветви , выбранные выше, можно начать с все ветвями журнала  г , и одновременно приклеить каждую пару ветвей и вдоль наибольшего открытого подмножества , на котором L ₁ и L ₂ согласен. Это дает ту же риманову поверхность R и функцию log _R, что и раньше. Этот подход, хотя и немного сложнее для визуализации, более естественен, поскольку не требует выделения каких-либо конкретных ветвей.${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$

Если U 'представляет собой открытое подмножество R проецирование взаимно однозначно ее образ U в , то ограничение журнала _R к ¯u ' соответствует ветви логарифма  г , определенной на U . Таким образом возникает каждая ветвь журнала  z .${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

Риманова поверхность как универсальное покрытие [ править ]

Проекция реализует R как охватывающее пространство от . Фактически, это покрытие Галуа с группой преобразований колоды, изоморфной группе , порожденной гомеоморфизмом, переводящим ( z , θ ) в ( z , θ +2 π ).${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В качестве комплексного многообразия , R является биголоморфен с помощью протокола _R . (Обратное отображение сопоставляет г в ( е ^г , Im  г ).) Это показывает , что R односвязна, поэтому R является универсальной покрышкой из .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

Приложения [ править ]

• Комплексный логарифм необходим для определения возведения в степень, в котором основание является комплексным числом. А именно, если a и b - комплексные числа с a ≠ 0 , можно использовать главное значение для определения a ^b = e ^{b Log a} . Можно также заменить Log a другими логарифмами a, чтобы получить другие значения a ^b , отличающиеся множителями вида e ^{2π inb} . ^{[1] [9]} Выражение a ^b имеет единственное значение тогда и только тогда, когдаb - целое число. ^[1]
• Поскольку отображение w = Log z преобразует круги с центром в 0 в вертикальные отрезки прямых линий, это полезно в инженерных приложениях, связанных с кольцевым пространством . ^{[ необходима цитата ]}

Обобщения [ править ]

Логарифмы с другими основаниями [ править ]

Как и для действительных чисел, для комплексных чисел b и x можно определить

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

с единственной оговоркой, что его значение зависит от выбора ветви журнала, определенной в b и x (с log  b ≠ 0). Например, использование главного значения дает

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

Логарифмы голоморфных функций [ править ]

Если F является голоморфной функцией на связное открытое подмножество U в , а затем ветвь журнала  F на U является непрерывной функцией г на U таким образом, что е ^{г ( г )}  =  е ( г ) для всех г в U . Такая функция г обязательно голоморфен г ' ( г ) =  е' ( г ) / е ( г ) для всех г в U .${\displaystyle \mathbb {C} }$

Если U - односвязное открытое подмножество , а f - голоморфная функция, нигде не исчезающая на U , то ветвь log  f, определенная на U, может быть построена путем выбора начальной точки a в U , выбора логарифма b функции f ( а ) и определяя${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

для каждого г в U . ^[2]

См. Также [ править ]

• Арг (математика)
• Возведение в степень
• Обратные тригонометрические функции
• Логарифм
• Натуральный логарифм

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Альфорс, Ларс В. (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). Макгроу-Хилл.
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной (2-е изд.). Springer.
• Крейсциг, Эрвин (2011). Высшая инженерная математика (10-е изд.). Берлин: Wiley . ISBN 9780470458365.
• Ланг, Серж (1993). Комплексный анализ (3-е изд.). Springer-Verlag.
• Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной . Прентис-Холл.
• Сарасон, Дональд (2007). Теория сложных функций (2-е изд.). Американское математическое общество.
• Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета.