Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для реконструкции текста см. Гипотеза (критика текста) .
Действительная часть (красный цвет) и мнимая часть (синий цвет) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re ( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im ( s ) = ± 14,135, ± 21,022 и ± 25,011. Гипотеза Римана , известная гипотеза, утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат вдоль критической прямой.

В математике , гипотеза является заключение или предложение , которое предположительно верно в связи с предварительным подтверждающей, но для которых нет доказательств или опровержений пока не найдено. [1] [2] [3] [4] Некоторые гипотезы, такие как гипотеза Римана (все еще гипотеза) или Великая теорема Ферма (гипотеза, пока не была доказана Эндрю Уайлсом в 1995 году ), сформировали большую часть математической истории как новые области математики разработаны, чтобы доказать их. [5]

Важные примеры [ править ]

Последняя теорема Ферма [ править ]

Основная статья: Последняя теорема Ферма

В теории чисел , Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотеза Ферма , особенно в старых текстах) утверждает , что не три положительных целых чисел , и может удовлетворять уравнению для любого целого значения больше , чем два.

Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на полях экземпляра « Арифметики» , где он утверждал, что у него есть доказательство, которое слишком велико, чтобы поместиться на полях. [6] Первое успешное доказательство было выпущено в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году после 358 лет усилий математиков. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и доказательство теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых заметных теорем в истории математики , и до доказательства она была в Книге рекордов Гиннеса.для «сложнейших математических задач». [7]

Теорема четырех цветов [ править ]

Основная статья: Теорема четырех цветов
Четырехцветная карта штатов США (без учета озер).

В математике теорема о четырех цветах или теорема о четырехцветных картах гласит, что при любом разделении плоскости на смежные области, в результате чего получается фигура, называемая картой , для окраски областей карты требуется не более четырех цветов - так что что никакие две соседние области не имеют одинаковый цвет. Две области называются смежными, если они имеют общую границу, которая не является углом, где углы - это точки, общие для трех или более регионов. [8] Например, на карте Соединенных Штатов Америки Юта и Аризона являются соседними, но Юта и Нью-Мексико, которые имеют только общую точку, которая также принадлежит Аризоне и Колорадо, не являются соседними .

Мебиус упоминал об этой проблеме в своих лекциях еще в 1840 году. [9] Гипотеза была впервые высказана 23 октября 1852 года [10], когда Фрэнсис Гатри , пытаясь раскрасить карту стран Англии, заметил, что были только четыре разных цвета. нужный. Теорема пяти цветов , имеющая краткое элементарное доказательство, утверждает, что пяти цветов достаточно для раскраски карты, и была доказана в конце 19 века; [11], однако, доказать, что четырех цветов достаточно, оказалось значительно сложнее. Со времени первого утверждения теоремы о четырех цветах в 1852 году появилось множество ложных доказательств и ложных контрпримеров .

Теорема о четырех цветах была окончательно доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном . Это была первая крупная теорема будет доказана с помощью компьютера. Подход Аппеля и Хакена начался с демонстрации того, что существует конкретный набор из 1936 карт, каждая из которых не может быть частью контрпримера наименьшего размера к теореме о четырех цветах (т. Е. Если они действительно появились, можно было бы создать контрпример меньшего размера. ). Аппель и Хакен использовали специальную компьютерную программу, чтобы подтвердить, что каждая из этих карт обладает этим свойством. Кроме того, любая карта, которая потенциально может быть контрпримером, должна иметь часть, похожую на одну из этих 1936 карт. Показав это на сотнях страниц ручного анализа, Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует ни малейшего контрпримера, потому что любой должен содержать, но не содержать одну из этих 1936 карт. Это противоречие означает, что контрпримеров нет вообще, а значит, теорема верна. Первоначально,их доказательство вообще не было принято математиками, потому чтоКомпьютерное доказательство было невозможно проверить вручную. [12] Однако с тех пор доказательство получило более широкое признание, хотя сомнения все еще остаются. [13]

Hauptvermutung [ править ]

Основная статья: Hauptvermutung

Hauptvermutung (немецкий языка для основной гипотезы) о геометрической топологии является предположением , что любые две триангуляций из более триангулируемого пространства имеет общую утонченность, один триангуляцию , который является подразделением обоихов. Первоначально он был сформулирован в 1908 году Стейницем и Титце . [14]

Теперь известно, что эта гипотеза неверна. Версия о немногообразии была опровергнута Джоном Милнором [15] в 1961 г. с использованием кручения Рейдемейстера .

Версия с коллектором верна для размеров m ≤ 3 . Случаи m = 2 и 3 были доказаны Тибором Радо и Эдвином Моисе [16] в 1920-х и 1950-х годах соответственно.

Гипотезы Вейля [ править ]

Основная статья: гипотезы Вейля

В математике , эти гипотезы Weil были некоторые весьма влиятельные предложения по Вейль  ( 1949 ) на производящих функций (известные как местные дзета-функции ) , полученные из подсчета количества точек на алгебраических многообразий над конечными полями .

Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек , а также точек над каждым конечным полем с q k элементами, содержащими это поле. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N k точек над (по существу уникальным) полем с q k элементами.

Вейль предположил, что такие дзета-функции должны быть рациональными функциями , должны удовлетворять форме функционального уравнения и иметь нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на дзета - функции Римана и гипотезы Римана . Рациональность была доказана Дворком (1960) , функциональное уравнение - Гротендиком (1965) , а аналог гипотезы Римана - Делинем (1974).

Гипотеза Пуанкаре [ править ]

Основная статья: гипотеза Пуанкаре

В математике , то гипотеза Пуанкаре является теорема о характеристике из 3-сферы , которая является гиперсфера, ограничивающая единичный шар в четырехмерном пространстве. Гипотеза гласит, что:

Каждый односвязной , закрыт 3- многообразие является гомеоморфно к 3-сфере.

Эквивалентная форма гипотезы включает более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм, называемую гомотопической эквивалентностью : если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3-сфере, то оно обязательно гомеоморфно ей.

Первоначально предположенная Анри Пуанкаре , теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связно, имеет конечный размер и не имеет границ ( замкнутое 3-многообразие ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать в точку, то это обязательно трехмерная сфера. Аналогичный результат был известен в более высоких измерениях в течение некоторого времени.

Спустя почти столетие усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv . Доказательство последовало за программой Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для попытки решения проблемы. Позднее Гамильтон ввел модификацию стандартного потока Риччи, названного потоком Риччи, с операцией по систематическому иссечению особых областей по мере их развития контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях. [17] Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.

Гипотеза Пуанкаре до того, как была доказана, была одним из самых важных открытых вопросов в топологии .

Гипотеза Римана [ править ]

Основная статья: гипотеза Римана

В математике гипотеза Римана , предложенная Бернхард Риман  ( 1859 г. ), является гипотеза о том , что нетривиальные нули по дзета - функции Римана все имеют действительную часть 1/2. Это имя также используется для некоторых близких аналогов, таких как гипотеза Римана для кривых над конечными полями .

Гипотеза Римана подразумевает результаты о распределении простых чисел . Наряду с подходящими обобщениями некоторые математики считают это наиболее важной нерешенной проблемой чистой математики . [18] гипотеза Римана, наряду с Гольдбаха гипотезой , является частью восьмой проблемы Гильберта в Дэвиде Гильберта списка «s из 23 нерешенных проблем ; это также одна из задач, присуждаемых Институтом математики Клэя « Миллениум» .

Проблема P против NP [ править ]

Основная статья: проблема P против NP

Проблема P и NP - основная нерешенная проблема в информатике . Неформально он спрашивает, может ли каждая проблема, решение которой может быть быстро проверено компьютером, быть быстро решена компьютером; широко распространено мнение, что ответ отрицательный. Это была по существу впервые упоминается в 1956 письме , написанном Курта Гёделя на Джона фон Неймана . Гёдель спросил, может ли определенная NP-полная задача быть решена за квадратное или линейное время. [19] Точная постановка проблемы P = NP была введена в 1971 году Стивеном Куком в его основополагающей статье «Сложность процедур доказательства теорем» [20]и многие считают ее самой важной открытой проблемой в данной области. [21] Это одна из семи задач, отобранных Институтом математики Клэя для присуждения премии в размере 1 000 000 долларов США за первое правильное решение.

Другие предположения [ править ]

  • Гипотеза Гольдбаха
  • Гипотеза о простых близнецах
  • Гипотеза Коллатца
  • Гипотеза Манина
  • Гипотеза Малдасены
  • Гипотеза Эйлера , предложенная Эйлером в 18 веке, но для которой контрпримеры для ряда показателей (начиная с n = 4) были найдены начиная с середины 20 века.
  • Эти гипотезы Харди-Литлвуд представляют собой пару догадок о распределении простых чисел, первое из которых расширяет вышеупомянутые двойной прайм гипотезы. Ни один не был либо доказана или опровергнута, но это уже было доказано , что оба не могут одновременно быть истинным (т.е., по меньшей мере , один должен быть ложным). Не было доказано, какая из них ложна, но широко распространено мнение, что первая гипотеза верна, а вторая ложна. [22]
  • Программа Langlands [23] представляет собой далеко идущую Паутину этих идей « объединяющие домыслы » , которые связывают различный подполь математики (например , между теорией чисел и теорией представлений о группах Ли ). Некоторые из этих гипотез с тех пор были доказаны.

Разрешение домыслов [ править ]

Доказательство [ править ]

Формальная математика основана на доказуемой истине. В математике любого числа случаев, подтверждающих гипотезу, независимо от того, насколько велико их количество, недостаточно для подтверждения ее истинности, поскольку один контрпример может сразу же опровергнуть ее. Математические журналы иногда публикуют второстепенные результаты исследовательских групп, которые расширили поиск контрпримера дальше, чем это делалось ранее. Так , например, гипотеза Коллатца , которая касается ли или нет некоторые последовательности из целых чисел прекращается, была испытана для всех целых чисел до 1,2 × 10 12(более триллиона). Однако неспособность найти контрпример после обширных поисков не является доказательством того, что контрпример не существует или что гипотеза верна - потому что гипотеза может быть ложной, но с очень большим минимальным контрпримером.

Вместо этого предположение считается доказанным только тогда, когда было показано, что его ложность логически невозможна. Для этого существуют различные методы; подробнее см. методы математического доказательства .

Один метод доказательства, применимый, когда существует только конечное число случаев, которые могут привести к контрпримерам, известен как « грубая сила »: в этом подходе рассматриваются все возможные случаи, и показано, что они не дают контрпримеров. В некоторых случаях количество случаев довольно велико, и в этом случае для доказательства методом грубой силы может потребоваться на практике использование компьютерного алгоритма для проверки всех случаев. Например, срок действия 1976 и 1997 грубой силы доказательств теоремы четыре цвета с помощью компьютера был изначально сомневался, но в конце концов подтвердил в 2005 году теорема-доказав программного обеспечения.

Когда гипотеза доказана , это уже не гипотеза, а теорема . Многие важные теоремы когда-то были гипотезами, такие как теорема геометризации (которая разрешила гипотезу Пуанкаре ), Великую теорему Ферма и другие.

Опровержение [ править ]

Гипотезы опровергнуты через контрпример, иногда называют ложные предположения (сравните гипотезу PolyA и Гипотезы Эйлера ). В случае последнего первый контрпример, найденный для случая n = 4, включал числа в миллионы, хотя впоследствии было обнаружено, что минимальный контрпример на самом деле меньше.

Независимые домыслы [ править ]

Не каждая гипотеза оказывается верной или ложной. Гипотеза континуума , которая пытается установить относительную мощность некоторых бесконечных множеств , в конечном итоге оказалась независимой от общепринятого набора аксиом Цермело – Френкеля теории множеств. Таким образом , можно принять это заявление, или его отрицание, как новая аксиома в последовательном порядке (сколько Евклид «s параллельно постулат может быть принят либо как истинная или ложной в аксиоматической системе для геометрии).

В этом случае, если доказательство использует это утверждение, исследователи часто будут искать новое доказательство, которое не требует гипотезы (точно так же, как желательно, чтобы утверждения евклидовой геометрии были доказаны с использованием только аксиом нейтральной геометрии, т.е. без постулата параллельности). На практике единственным серьезным исключением из этого правила является аксиома выбора , так как большинство исследователей обычно не беспокоятся о том, требует ли результат результат - если только они не изучают эту аксиому в частности.

Условные доказательства [ править ]

Иногда гипотезу называют гипотезой, если она часто и неоднократно используется в качестве предположения при доказательстве других результатов. [1] Например, гипотеза Римана - это гипотеза теории чисел, которая, помимо прочего, делает предсказания о распределении простых чисел . Мало кто из теоретиков чисел сомневается в истинности гипотезы Римана. Фактически, в ожидании его окончательного доказательства, некоторые даже приступили к разработке дальнейших доказательств, которые зависят от истинности этой гипотезы. Это называется условным доказательством : предполагаемые гипотезы пока фигурируют в предположениях теоремы.

Однако эти «доказательства» развалятся, если окажется, что гипотеза ложна, поэтому существует значительный интерес к проверке истинности или ложности гипотез этого типа.

В других науках [ править ]

Карл Поппер был пионером в использовании термина «предположение» в научной философии . [24] Гипотеза связана с гипотезой , которая в науке относится к проверяемой гипотезе.

См. Также [ править ]

  • Смелая гипотеза
  • Гипотетические
  • Список домыслов

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - гипотеза" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 12 ноября 2019 .
  2. ^ «Определение гипотезы» . www.merriam-webster.com . Проверено 12 ноября 2019 .
  3. ^ Оксфордский словарь английского языка (изд. 2010 г.).
  4. Перейти ↑ Schwartz, JL (1995). Перемещение между частным и общим: размышления о роли предположений и гипотез в генерации знаний в науке и математике . п. 93. ISBN 9780195115772.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Последняя теорема Ферма" . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 ноября 2019 .
  6. ^ Ore, Oystein (1988) [1948], теория чисел и его история , Dover, стр.  203-204 , ISBN 978-0-486-65620-5
  7. ^ «Наука и техника». Книга рекордов Гиннеса . Guinness Publishing Ltd. 1995.
  8. ^ Georges Гонтье (декабрь 2008). «Формальное доказательство - теорема о четырех цветах». Уведомления AMS . 55 (11): 1382–1393.Из этой статьи: Определения: Планарное отображение - это набор попарно непересекающихся подмножеств плоскости, называемых регионами. Простая карта - это карта, регионы которой связаны между собой открытыми множествами. Две области карты являются смежными, если их соответствующие замыкания имеют общую точку, которая не является углом карты. Точка является углом карты тогда и только тогда, когда она принадлежит замыканиям как минимум трех регионов. Теорема: области любой простой планарной карты можно раскрасить только четырьмя цветами, так что любые две соседние области будут иметь разные цвета.
  9. ↑ WW Rouse Ball (1960) Теорема о четырех цветах , в Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, New York, pp 222-232.
  10. ^ Дональд Маккензи, Механизация доказательства: вычисления, риски и доверие (MIT Press, 2004) p103
  11. ^ В работе Хивуда, PJ (1890). «Теоремы о цвете карты». Ежеквартальный математический журнал . Оксфорд. 24 : 332–338.
  12. Перейти ↑ Swart, ER (1980). «Философские последствия проблемы четырех цветов». Американский математический ежемесячник . 87 (9): 697–702. DOI : 10.2307 / 2321855 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2321855 .  
  13. ^ Уилсон, Робин (2014). Достаточно четырех цветов: как была решена проблема с картой (Пересмотренный цветовой ред.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 216–222. ISBN 9780691158228. OCLC  847985591 .
  14. ^ "Триангуляция и Hauptvermutung" . www.maths.ed.ac.uk . Проверено 12 ноября 2019 .
  15. ^ Милнор, Джон В. (1961). «Два комплекса, которые гомеоморфны, но комбинаторно различны». Анналы математики . 74 (2): 575–590. DOI : 10.2307 / 1970299 . JSTOR 1970299 . Руководство по ремонту 0133127 .  
  16. Перейти ↑ Moise, Edwin E. (1977). Геометрическая топология в измерениях 2 и 3 . Нью-Йорк: Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90220-3.
  17. ^ Гамильтон, Ричард С. (1997). «Четырехмерные многообразия положительной изотропной кривизны» . Коммуникации в анализе и геометрии . 5 (1): 1–92. DOI : 10,4310 / CAG.1997.v5.n1.a1 . Руководство по ремонту 1456308 . Zbl 0892.53018 .  
  18. ^ Бомбьери, Энрико (2000). «Гипотеза Римана - официальное описание проблемы» (PDF) . Институт математики Клэя . Проверено 12 ноября 2019 .
  19. ^ Юрис Хартманис 1989, Гедель, фон Нейман и проблема P = NP , Бюллетень Европейской ассоциации теоретической информатики, т. 38, стр. 101–107.
  20. ^ Кук, Стивен (1971). «Сложность процедур доказательства теорем» . Материалы третьего ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . С. 151–158.
  21. ^ Лэнс Фортноу , Статус проблемы P по сравнению с NP , Сообщения ACM 52 (2009), нет. 9. С. 78–86. DOI : 10,1145 / 1562164,1562186
  22. ^ Ричардс, Ян (1974). «О несовместимости двух гипотез о простых числах» . Бык. Амер. Математика. Soc . 80 : 419–438. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1974-13434-8 .
  23. ↑ Langlands, Роберт (1967), письмо профессору Вейлю
  24. ^ Поппер, Карл (2004). Домыслы и опровержения: рост научных знаний . Лондон: Рутледж. ISBN 0-415-28594-1.

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с домыслами, на Викискладе?
  • Открытый Проблемный Сад
  • Веб-сайт нерешенных проблем