Арифметика

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: "Arithmetica" - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )


Обложка 1621 издания, в переводе на латинский с греческого на Баше де Мезириак .
Автор	Диофант

Арифметика ( греч . Ἀριθμητικά ) - это древнегреческий текст по математике, написанный математиком Диофантом ( ок. 200/214 г. н . Э. - ок. 284/298 г. н . Э. ) В 3 веке нашей эры. ^[1] Это набор из 130 алгебраических задач, дающих численные решения детерминированных уравнений (имеющих единственное решение) и неопределенных уравнений .

Резюме [ править ]

Уравнения в книге в настоящее время называются диофантовыми уравнениями . Метод решения этих уравнений известен как диофантов анализ . Большинство задач арифметики приводят к квадратным уравнениям .

В Книге 3 Диофант решает задачи поиска значений, которые одновременно превращают два линейных выражения в квадраты или кубы. В книге 4 он находит рациональные силы между заданными числами. Он также заметил, что числа в форме не могут быть суммой двух квадратов. Диофант также, кажется, знает, что каждое число можно записать как сумму четырех квадратов. Если бы он действительно знал этот результат (в том смысле, что он доказал его, а не просто предположил), то его поступок был бы поистине замечательным: даже Ферма, который сформулировал результат, не смог предоставить его доказательства, и он не был решен. пока Жозеф Луи Лагранж не доказал это, используя результаты Леонарда Эйлера . ${\ displaystyle 4n + 3}$

Первоначально арифметика была написана в тринадцати книгах, но греческие рукописи, сохранившиеся до наших дней, содержат не более шести книг. ^[2] В 1968 году Фуат Сезгин нашел четыре ранее неизвестных книги Арифметики в святыне Имама Реза в священном исламском городе Мешхед на северо-востоке Ирана. ^[3] Считается, что эти четыре книги были переведены с греческого на арабский Куста ибн Лука (820–912). ^[2] Норберт Шаппахер писал:

[Четыре отсутствующие книги] вновь обнаружились примерно в 1971 году в библиотеке Астан Кудс в Мешеде (Иран) в копии, датированной 1198 годом нашей эры. Он не был внесен в каталог под именем Диофант (но под именем Кусты ибн Луки ), потому что библиотекарь, по-видимому, не мог прочитать главную строку титульной страницы, где имя Диофанта встречается в геометрической каллиграфии куфи . ^[4]

Арифметика стала известна математикам исламского мира в десятом веке ^[5], когда Абу-л-Вефа перевел ее на арабский язык. ^[6]

Синкопированная алгебра [ править ]

Диофант был эллинистическим математиком, жившим примерно в 250 году нашей эры, но неопределенность этой даты настолько велика, что она может отличаться более чем на столетие. Он известен тем, что написал арифметику , трактат, который первоначально состоял из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть. ^[7] Арифметика имеет очень мало общего с традиционной греческой математикой, поскольку она отделена от геометрических методов, и отличается от вавилонской математики тем, что Диофант занимается в первую очередь точными решениями, как определенными, так и неопределенными, а не простыми приближениями. ^[8]

В Арифметике Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также аббревиатуры для степеней чисел, отношений и операций; ^[8] таким образом он использовал то, что теперь известно как синкопированная алгебра. Основное различие между диофантовой синкопированной алгеброй и современной алгебраической нотацией состоит в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент. ^[9] Так, например, что мы могли бы написать как

{\ displaystyle x ^ {3} -2x ^ {2} + 10x-1 = 5}

Диофант написал бы как

Κ ^υ ᾱ̄ ζ ί̄ ⫛ Δ ^υ β̄ Μ ᾱ̄ ἴσ Μ ε̄

где символы означают следующее: ^[10]^[11]

Символ	Представление
ᾱ̄	представляет 1
β̄	представляет 2
ε̄	представляет 5
ί̄	представляет 10
ζ	представляет неизвестную величину
ἴσ	(сокращение от ἴσος ) означает «равных»
⫛	представляет собой вычитание всего, что следует за ним до ἴσ
Μ	представляет собой нулевую степень (т.е. постоянный член)
Δ ^υ	представляет вторую власть от греческого δύναμις , что означает сила или мощь.
Κ ^υ	представляет третью степень, от греческого κύβος , что означает куб
Δ ^υ Δ	представляет четвертую степень
ΔΚ ^υ	представляет пятую степень
Κ ^υ Κ	представляет шестую степень

Обратите внимание, что коэффициенты идут после переменных, а сложение представлено сопоставлением терминов. Буквальный символьный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символьное уравнение будет следующим: ^[10]

{\ displaystyle {x ^ {3}} 1 {x} 10- {x ^ {2}} 2 {x ^ {0}} 1 = {x ^ {0}} 5}

и, чтобы уточнить, если используются современные круглые скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать как: ^[10]

{\ displaystyle ({x ^ {3}} 1+ {x} 10) - ({x ^ {2}} 2+ {x ^ {0}} 1) = {x ^ {0}} 5}

Арифметика представляет собой набор из примерно 150 решенных задач с конкретными числами, и здесь нет никаких постулатов и явного объяснения общего метода, хотя, возможно, предполагалась универсальность метода и не было попытки найти все решения уравнений. ^[8] Арифметика действительно содержит решенные задачи, включающие несколько неизвестных величин, которые решаются, если возможно, выражением неизвестных величин через только одну из них. ^[8] Арифметика также использует тождества: ^[12]

${\ displaystyle (а ^ {2} + Ь ^ {2}) (с ^ {2} + d ^ {2})}$	${\ displaystyle = (ac + db) ^ {2} + (bc-ad) ^ {2}}$
	${\ displaystyle = (ad + bc) ^ {2} + (ac-bd) ^ {2}}$

См. Также [ править ]

Диофант II.VIII
Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми

Цитаты [ править ]

^ «Диофант Александрийский (греческий математик)» . Encyclopdia Britannica . Проверено 11 апреля 2013 года .
^ a b Мэджилл, Фрэнк Н., изд. (1998). Словарь мировой биографии . 1 . Салем Пресс. п. 362. ISBN. 9781135457396.
^ Hogendijk, Ян П. (1985). «Рецензия на Дж. Сезиано, книги с IV по VII« Арифметики Диофанта »» . Проверено 6 июля 2014 года . Только шесть из тринадцати книг « Арифметики Диофанта» (около 250 г. н.э.) сохранились на греческом языке. Остальные книги считались утерянными до недавнего открытия средневекового арабского перевода четырех оставшихся книг в рукописи в Библиотеке Святыни в Мешеде в Иране (см. Каталог [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, С. 235-236]. Рукопись была обнаружена в 1968 г. Ф. Сезгиным).
^ Шаппахер, Норберт (апрель 2005 г.). «Диофант Александрийский: текст и его история» (PDF) . п. 18 . Дата обращения 9 октября 2015 .
^ ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 234 ) «Обратите внимание на упущение Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, сначала не были известны в Аравии, хотя Диофантова арифметика стала известна еще до конца десятого века. . "
^ ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 239 ) «Абу'л-Вефа был способным алгебраистом, а также тригонометром. Он прокомментировал Алгебру аль-Хорезмии перевел с греческого одну из последних великих классиков. , Арифметика Диофанта ».
^ ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 178) «Неопределенность в отношении жизни Диофанта настолько велика, что мы не знаем точно, в каком веке он жил. Обычно предполагается, что он процветал около 250 г. н.э. но иногда предполагаются даты на столетие или более раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет. [...] Главная известная нам диофантова работа - это Арифметика , трактат, первоначально состоящий из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть ".
^ a b c d ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180–182) «В этом отношении его можно сравнить с великими классиками раннего александрийского периода; однако он практически не имеет ничего общего с ними. или, фактически, с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой, по сути, новую ветвь и использует другой подход. Будучи оторванной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но в то время как вавилонские математики в основном интересовались приближенными решений детерминированных уравнений до третьей степени, Арифметика Диофанта (такая, какая есть у нас) почти полностью посвященаточное решение уравнений, как определенных, так и неопределенных . [...] В шести сохранившихся книгах АрифметикиСуществует систематическое использование сокращений для степеней чисел, отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву ζ (возможно, последнюю букву арифмоса). [...] Вместо этого это сборник примерно из 150 задач, все решенных на конкретных численных примерах, хотя, возможно, предполагалась общая методика. Постулирования не развиваются, и не предпринимаются попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями дается только больший, а отрицательные корни не распознаются. Нет четкого различия между определенными и неопределенными проблемами, и даже для последних, для которых количество решений обычно неограниченно, дается только один ответ.Диофант решил задачи, связанные с несколькими неизвестными числами, умело выражая все неизвестные величины, где это возможно, в терминах только одного из них ".
^ ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 178) «Основное различие между диофантовым синкопированием и современной алгебраической нотацией - отсутствие специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».
^ a b c ( Дербишир 2006 , «Отец алгебры» стр. 35-36)
^ ( Кук 1997 , "Математика в Римской империи" стр. 167-168)
^ ( Boyer 1991 , «Европа в средние века», стр. 257) «В книге часто используются личности [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».

Ссылки [ править ]

Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). ISBN компании John Wiley & Sons, Inc. 0-471-54397-7.
Дербишир, Джон (2006). Неизвестное количество: реальная и мнимая история алгебры . Джозеф Генри Пресс. ISBN 0-309-09657-X.
Кук, Роджер (1997). История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.

Внешние ссылки [ править ]

Диофант Александринус, Пьер де Ферма, Клод Гаспар Баше де Мезириак, Диофант Александринский Arithmeticorum libri 6, et De numeris multangulis liberun . Кончить комм. C (laude) G (aspar) Bacheti et monitoringibus P (ierre) de Fermat. Соотв. doctrinae analyticae Inventum novum, колл. exariis eiu. Tolosae 1670, DOI : 10,3931 / е-Рар-9423 .

[1] «Диофант Александрийский (греческий математик)» . Encyclopdia Britannica . Проверено 11 апреля 2013 года .

[magill-2] Мэджилл, Фрэнк Н., изд. (1998). Словарь мировой биографии . 1 . Салем Пресс. п. 362. ISBN. 9781135457396.

[3] Hogendijk, Ян П. (1985). «Рецензия на Дж. Сезиано, книги с IV по VII« Арифметики Диофанта »» . Проверено 6 июля 2014 года . Только шесть из тринадцати книг « Арифметики Диофанта» (около 250 г. н.э.) сохранились на греческом языке. Остальные книги считались утерянными до недавнего открытия средневекового арабского перевода четырех оставшихся книг в рукописи в Библиотеке Святыни в Мешеде в Иране (см. Каталог [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, С. 235-236]. Рукопись была обнаружена в 1968 г. Ф. Сезгиным).

[4] Шаппахер, Норберт (апрель 2005 г.). «Диофант Александрийский: текст и его история» (PDF) . п. 18 . Дата обращения 9 октября 2015 .

[5] ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 234 ) «Обратите внимание на упущение Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, сначала не были известны в Аравии, хотя Диофантова арифметика стала известна еще до конца десятого века. . "

[6] ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 239 ) «Абу'л-Вефа был способным алгебраистом, а также тригонометром. Он прокомментировал Алгебру аль-Хорезмии перевел с греческого одну из последних великих классиков. , Арифметика Диофанта ».

[Boyer_Diophantus-7] ( Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 178) «Неопределенность в отношении жизни Диофанта настолько велика, что мы не знаем точно, в каком веке он жил. Обычно предполагается, что он процветал около 250 г. н.э. но иногда предполагаются даты на столетие или более раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет. [...] Главная известная нам диофантова работа - это Арифметика , трактат, первоначально состоящий из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть ".

[Boyer_Arithmetica-8] ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180–182) «В этом отношении его можно сравнить с великими классиками раннего александрийского периода; однако он практически не имеет ничего общего с ними. или, фактически, с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой, по сути, новую ветвь и использует другой подход. Будучи оторванной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но в то время как вавилонские математики в основном интересовались приближенными решений детерминированных уравнений до третьей степени, Арифметика Диофанта (такая, какая есть у нас) почти полностью посвященаточное решение уравнений, как определенных, так и неопределенных . [...] В шести сохранившихся книгах АрифметикиСуществует систематическое использование сокращений для степеней чисел, отношений и операций. Неизвестное число представлено символом, напоминающим греческую букву ζ (возможно, последнюю букву арифмоса). [...] Вместо этого это сборник примерно из 150 задач, все решенных на конкретных численных примерах, хотя, возможно, предполагалась общая методика. Постулирования не развиваются, и не предпринимаются попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями дается только больший, а отрицательные корни не распознаются. Нет четкого различия между определенными и неопределенными проблемами, и даже для последних, для которых количество решений обычно неограниченно, дается только один ответ.Диофант решил задачи, связанные с несколькими неизвестными числами, умело выражая все неизвестные величины, где это возможно, в терминах только одного из них ".

[Boyer-9] ( Boyer 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики» стр. 178) «Основное различие между диофантовым синкопированием и современной алгебраической нотацией - отсутствие специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».

[Diophantus_Syncopation-10] ( Дербишир 2006 , «Отец алгебры» стр. 35-36)

[11] ( Кук 1997 , "Математика в Римской империи" стр. 167-168)

[12] ( Boyer 1991 , «Европа в средние века», стр. 257) «В книге часто используются личности [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».

[1]