Уравнение

Первое использование знака равенства, эквивалентного 14 x + 15 = 71 в современных обозначениях. От The Whetstone Витте по Роберту Рекорд Уэльских (1557). ^[1]

В математике , уравнение является утверждение , что утверждает равенство двух выражений , которые связаны знак равенства «=». ^{[2] [3] [4]} Слово уравнение и родственные ему слова в других языках могут иметь несколько иные значения; например, в французском уравнение определяются как содержащие один или несколько переменных , в то время как в английском языке , любое равенство является уравнением. ^[5]

Решение уравнения, содержащего переменные, состоит в определении того, какие значения переменных делают равенство истинным. Переменные, для которых необходимо решить уравнение, также называются неизвестными , а значения неизвестных, которые удовлетворяют равенству, называются решениями уравнения. Есть два вида уравнений: тождества и условные уравнения. Идентичность истинна для всех значений переменной. Условное уравнение верно только для определенных значений переменных. ^{[6] [7]}

Уравнение записывается в виде двух выражений , соединенных знаком равенства («=»). ^[3] Выражения по обе стороны от знака равенства называются «левой частью» и «правой частью» уравнения. Очень часто правая часть уравнения принимается равной нулю. Предполагая, что это не уменьшает общности, так как это может быть реализовано путем вычитания правой части из обеих частей.

Самый распространенный тип уравнения - это полиномиальное уравнение (обычно называемое также алгебраическим уравнением ), в котором две стороны являются полиномами . Стороны полиномиального уравнения содержат один или несколько членов . Например, уравнение

${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y=0}$

имеет левую часть , состоящую из четырех членов, и правую часть , состоящую только из одного члена. Имена переменных предполагают, что x и y неизвестны, а A , B и C являются параметрами , но обычно это фиксируется контекстом (в некоторых контекстах y может быть параметром или A , B и C могут быть обычными переменными).${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y}$${\displaystyle 0}$

Уравнение аналогично шкале, в которую помещены веса. Когда одинаковые веса чего-либо (например, зерна) помещаются в две чаши, эти два веса приводят к тому, что весы уравновешиваются и считаются равными. Если некоторое количество зерна удаляется из одной чаши весов, такое же количество зерна необходимо удалить из другой чаши, чтобы поддерживать весы в равновесии. В более общем смысле уравнение остается сбалансированным, если с обеих его сторон выполняется одна и та же операция.

В декартовой геометрии уравнения используются для описания геометрических фигур . Поскольку рассматриваемые уравнения, такие как неявные уравнения или параметрические уравнения , имеют бесконечно много решений, цель теперь иная: вместо того, чтобы давать решения явно или подсчитывать их, что невозможно, используются уравнения для изучения свойств фигур. Это исходная идея алгебраической геометрии , важной области математики.

Алгебра изучает два основных семейства уравнений: полиномиальные уравнения и, среди них, частный случай линейных уравнений . Когда есть только одна переменная, полиномиальные уравнения имеют вид P ( x ) = 0, где P - полином , а линейные уравнения имеют вид ax  +  b  = 0, где a и b - параметры . Для решения уравнений из любого семейства используются алгоритмические или геометрические методы, основанные на линейной алгебре или математическом анализе . Алгебра также изучаетДиофантовы уравнения, в которых коэффициенты и решения являются целыми числами . Используемые методы различны и основаны на теории чисел . Эти уравнения в целом сложны; часто ищут только наличие или отсутствие решения и, если они существуют, подсчитывают количество решений.

Дифференциальные уравнения - это уравнения, которые включают одну или несколько функций и их производные. Они решаются путем нахождения выражения для функции, не содержащего производных. Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, которые включают скорость изменения переменной, и используются в таких областях, как физика, химия, биология и экономика.

Символ « = », который встречается в каждом уравнении, был изобретен в 1557 году Робертом Рекордом , который считал, что ничто не может быть равнее параллельных прямых линий одинаковой длины. ^[1]

Введение [ править ]

Аналогичная иллюстрация [ править ]

Уравнение является аналогом весы , баланс, или качели .

Каждая сторона уравнения соответствует одной стороне баланса. Различные величины могут быть размещены на каждой стороне: если веса по обе стороны равны, то масштаб остатков, и по аналогии, равенство , которое представляет баланс также сбалансировано (если нет, то отсутствие баланса соответствует неравенству представлены по неравенству ).

На иллюстрации x , y и z - все разные величины (в данном случае действительные числа ), представленные в виде круговых весов, и каждый из x , y и z имеет разный вес. Сложение соответствует добавлению веса, а вычитание - удалению веса из того, что уже есть. При равенстве общий вес с каждой стороны одинаков.

Параметры и неизвестные [ править ]

Уравнения часто содержат другие члены, кроме неизвестных. Эти другие члены, которые считаются известными , обычно называются константами , коэффициентами или параметрами .

Пример уравнения, в котором x и y являются неизвестными, а параметр R равен

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Когда R выбрано равным 2 ( R = 2), это уравнение будет распознаваться в декартовых координатах как уравнение для круга с радиусом 2 вокруг начала координат. Следовательно, уравнение с неуказанным R является общим уравнением для окружности.

Обычно неизвестные обозначаются буквами в конце алфавита, x , y , z , w , ..., ^[2], а коэффициенты (параметры) обозначаются буквами в начале, a , b , c , d , .... Например, общее квадратное уравнение обычно записывается как ax ²  +  bx  +  c  = 0.

Процесс поиска решений или, в случае параметров, выражения неизвестных через параметры, называется решением уравнения . Такие выражения решений через параметры также называются решениями .

Система уравнений представляет собой совокупность одновременных уравнений , как правило , в нескольких неизвестных , для которых ищутся общие решения. Таким образом, решение системы - это набор значений для каждой из неизвестных, которые вместе образуют решение каждого уравнения в системе. Например, система

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

имеет единственное решение x  = −1, y  = 1.

Личности [ править ]

Идентичность является уравнением , что верно для всех возможных значений переменной (ы) , которые он содержит. Многие тождества известны в алгебре и математике. В процессе решения уравнения тождество часто используется для упрощения уравнения, что упрощает его решение.

В алгебре примером тождества является разность двух квадратов :

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

что верно для всех x и y .

Тригонометрия - это область, в которой существует множество идентичностей; они полезны при манипулировании или решении тригонометрических уравнений . Двумя из многих функций синуса и косинуса являются:

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

а также

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

которые справедливы для всех значений θ .

Например, чтобы найти значение θ, которое удовлетворяет уравнению:

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

где θ ограничен диапазоном от 0 до 45 градусов, можно использовать приведенную выше идентификацию для продукта, чтобы получить:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

давая следующее решение для θ:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

Поскольку синус-функция является периодической функцией , существует бесконечно много решений, если нет ограничений на θ . В этом примере ограничение θ между 0 и 45 градусами ограничило бы решение только одним числом.

Свойства [ править ]

Два уравнения или две системы уравнений эквивалентны , если имеют один и тот же набор решений. Следующие операции преобразуют уравнение или систему уравнений в эквивалентную - при условии, что операции имеют смысл для выражений, к которым они применяются:

• Добавление или вычитание одной и той же величины к обеим частям уравнения. Это показывает, что каждое уравнение эквивалентно уравнению, в котором правая часть равна нулю.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевую величину.
• Применение идентичности для преобразования одной стороны уравнения. Например, расширение продукта или факторинг суммы.
• Для системы: добавление к обеим сторонам уравнения соответствующей части другого уравнения, умноженной на ту же величину.

Если некоторая функция применяется к обеим сторонам уравнения, результирующее уравнение будет содержать решения исходного уравнения среди своих решений, но может иметь дополнительные решения, называемые сторонними решениями . Например, уравнение имеет решение Поднятия обе стороны экспоненты 2 (что означает , применяя функцию к обеим сторонам уравнения) изменяет уравнение к , который не только имеет предыдущее решение , но также вводит постороннее решение, Кроме того, если функция не определена при некоторых значениях (например, 1 / x , который не определен для x${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=1.}$${\displaystyle f(s)=s^{2}}$${\displaystyle x^{2}=1}$${\displaystyle x=-1.}$= 0), решения, существующие при этих значениях, могут быть потеряны. Таким образом, следует соблюдать осторожность при применении такого преобразования к уравнению.

The above transformations are the basis of most elementary methods for equation solving, as well as some less elementary one, like Gaussian elimination.

Algebra[edit]

Polynomial equations[edit]

In general, an algebraic equation or polynomial equation is an equation of the form

${\displaystyle P=0}$, or

${\displaystyle P=Q}$ ^[a]

where P and Q are polynomials with coefficients in some field (e.g., rational numbers, real numbers, complex numbers). An algebraic equation is univariate if it involves only one variable. On the other hand, a polynomial equation may involve several variables, in which case it is called multivariate (multiple variables, x, y, z, etc.). The term polynomial equation is usually preferred to algebraic equation.

For example,

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

is a univariate algebraic (polynomial) equation with integer coefficients and

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

is a multivariate polynomial equation over the rational numbers.

Some (but not all) polynomial equations with rational coefficients have a solution that is an algebraic expression, with a finite number of operations involving just those coefficients (i.e., it can be solved algebraically). This can be done for all such equations of degree one, two, three, or four; but for equations of degree five or more, it can be solved for some equations but, as the Abel–Ruffini theorem demonstrates, not for all.

A large amount of research has been devoted to compute efficiently accurate approximations of the real or complex solutions of a univariate algebraic equation (see Root finding of polynomials) and of the common solutions of several multivariate polynomial equations (see System of polynomial equations).

Systems of linear equations[edit]

A system of linear equations (or linear system) is a collection of linear equations involving the same set of variables.^[b] For example,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

is a system of three equations in the three variables x, y, z. A solution to a linear system is an assignment of numbers to the variables such that all the equations are simultaneously satisfied. A solution to the system above is given by

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

since it makes all three equations valid. The word "system" indicates that the equations are to be considered collectively, rather than individually.

In mathematics, the theory of linear systems is the basis and a fundamental part of linear algebra, a subject which is used in most parts of modern mathematics. Computational algorithms for finding the solutions are an important part of numerical linear algebra, and play a prominent role in physics, engineering, chemistry, computer science, and economics. A system of non-linear equations can often be approximated by a linear system (see linearization), a helpful technique when making a mathematical model or computer simulation of a relatively complex system.

Geometry[edit]

Analytic geometry[edit]

In Euclidean geometry, it is possible to associate a set of coordinates to each point in space, for example by an orthogonal grid. This method allows one to characterize geometric figures by equations. A plane in three-dimensional space can be expressed as the solution set of an equation of the form ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, where ${\displaystyle a,b,c}$ and ${\displaystyle d}$ are real numbers and ${\displaystyle x,y,z}$ are the unknowns that correspond to the coordinates of a point in the system given by the orthogonal grid. The values ${\displaystyle a,b,c}$ are the coordinates of a vector perpendicular to the plane defined by the equation. A line is expressed as the intersection of two planes, that is as the solution set of a single linear equation with values in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ or as the solution set of two linear equations with values in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

A conic section is the intersection of a cone with equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ and a plane. In other words, in space, all conics are defined as the solution set of an equation of a plane and of the equation of a cone just given. This formalism allows one to determine the positions and the properties of the focuses of a conic.

The use of equations allows one to call on a large area of mathematics to solve geometric questions. The Cartesian coordinate system transforms a geometric problem into an analysis problem, once the figures are transformed into equations; thus the name analytic geometry. This point of view, outlined by Descartes, enriches and modifies the type of geometry conceived of by the ancient Greek mathematicians.

Currently, analytic geometry designates an active branch of mathematics. Although it still uses equations to characterize figures, it also uses other sophisticated techniques such as functional analysis and linear algebra.

Cartesian equations[edit]

A Cartesian coordinate system is a coordinate system that specifies each point uniquely in a plane by a pair of numerical coordinates, which are the signed distances from the point to two fixed perpendicular directed lines, that are marked using the same unit of length.

One can use the same principle to specify the position of any point in three-dimensional space by the use of three Cartesian coordinates, which are the signed distances to three mutually perpendicular planes (or, equivalently, by its perpendicular projection onto three mutually perpendicular lines).

The invention of Cartesian coordinates in the 17th century by René Descartes (Latinized name: Cartesius) revolutionized mathematics by providing the first systematic link between Euclidean geometry and algebra. Using the Cartesian coordinate system, geometric shapes (such as curves) can be described by Cartesian equations: algebraic equations involving the coordinates of the points lying on the shape. For example, a circle of radius 2 in a plane, centered on a particular point called the origin, may be described as the set of all points whose coordinates x and y satisfy the equation x² + y² = 4.

Parametric equations[edit]

A parametric equation for a curve expresses the coordinates of the points of the curve as functions of a variable, called a parameter.^[8][9] For example,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

are parametric equations for the unit circle, where t is the parameter. Together, these equations are called a parametric representation of the curve.

The notion of parametric equation has been generalized to surfaces, manifolds and algebraic varieties of higher dimension, with the number of parameters being equal to the dimension of the manifold or variety, and the number of equations being equal to the dimension of the space in which the manifold or variety is considered (for curves the dimension is one and one parameter is used, for surfaces dimension two and two parameters, etc.).

Number theory[edit]

Diophantine equations[edit]

A Diophantine equation is a polynomial equation in two or more unknowns for which only the integer solutions are sought (an integer solution is a solution such that all the unknowns take integer values). A linear Diophantine equation is an equation between two sums of monomials of degree zero or one. An example of linear Diophantine equation is ax + by = c where a, b, and c are constants. An exponential Diophantine equation is one for which exponents of the terms of the equation can be unknowns.

Diophantine problems have fewer equations than unknown variables and involve finding integers that work correctly for all equations. In more technical language, they define an algebraic curve, algebraic surface, or more general object, and ask about the lattice points on it.

The word Diophantine refers to the Hellenistic mathematician of the 3rd century, Diophantus of Alexandria, who made a study of such equations and was one of the first mathematicians to introduce symbolism into algebra. The mathematical study of Diophantine problems that Diophantus initiated is now called Diophantine analysis.

Algebraic and transcendental numbers[edit]

An algebraic number is a number that is a solution of a non-zero polynomial equation in one variable with rational coefficients (or equivalently — by clearing denominators — with integer coefficients). Numbers such as π that are not algebraic are said to be transcendental. Almost all real and complex numbers are transcendental.

Algebraic geometry[edit]

Algebraic geometry is a branch of mathematics, classically studying solutions of polynomial equations. Modern algebraic geometry is based on more abstract techniques of abstract algebra, especially commutative algebra, with the language and the problems of geometry.

The fundamental objects of study in algebraic geometry are algebraic varieties, which are geometric manifestations of solutions of systems of polynomial equations. Examples of the most studied classes of algebraic varieties are: plane algebraic curves, which include lines, circles, parabolas, ellipses, hyperbolas, cubic curves like elliptic curves and quartic curves like lemniscates, and Cassini ovals. A point of the plane belongs to an algebraic curve if its coordinates satisfy a given polynomial equation. Basic questions involve the study of the points of special interest like the singular points, the inflection points and the points at infinity. More advanced questions involve the topology of the curve and relations between the curves given by different equations.

Differential equations[edit]

A differential equation is a mathematical equation that relates some function with its derivatives. In applications, the functions usually represent physical quantities, the derivatives represent their rates of change, and the equation defines a relationship between the two. Because such relations are extremely common, differential equations play a prominent role in many disciplines including physics, engineering, economics, and biology.

In pure mathematics, differential equations are studied from several different perspectives, mostly concerned with their solutions — the set of functions that satisfy the equation. Only the simplest differential equations are solvable by explicit formulas; however, some properties of solutions of a given differential equation may be determined without finding their exact form.

If a self-contained formula for the solution is not available, the solution may be numerically approximated using computers. The theory of dynamical systems puts emphasis on qualitative analysis of systems described by differential equations, while many numerical methods have been developed to determine solutions with a given degree of accuracy.

Ordinary differential equations[edit]

An ordinary differential equation or ODE is an equation containing a function of one independent variable and its derivatives. The term "ordinary" is used in contrast with the term partial differential equation, which may be with respect to more than one independent variable.

Linear differential equations, which have solutions that can be added and multiplied by coefficients, are well-defined and understood, and exact closed-form solutions are obtained. By contrast, ODEs that lack additive solutions are nonlinear, and solving them is far more intricate, as one can rarely represent them by elementary functions in closed form: Instead, exact and analytic solutions of ODEs are in series or integral form. Graphical and numerical methods, applied by hand or by computer, may approximate solutions of ODEs and perhaps yield useful information, often sufficing in the absence of exact, analytic solutions.

Partial differential equations[edit]

A partial differential equation (PDE) is a differential equation that contains unknown multivariable functions and their partial derivatives. (This is in contrast to ordinary differential equations, which deal with functions of a single variable and their derivatives.) PDEs are used to formulate problems involving functions of several variables, and are either solved by hand, or used to create a relevant computer model.

PDEs can be used to describe a wide variety of phenomena such as sound, heat, electrostatics, electrodynamics, fluid flow, elasticity, or quantum mechanics. These seemingly distinct physical phenomena can be formalised similarly in terms of PDEs. Just as ordinary differential equations often model one-dimensional dynamical systems, partial differential equations often model multidimensional systems. PDEs find their generalisation in stochastic partial differential equations.

Types of equations[edit]

Equations can be classified according to the types of operations and quantities involved. Important types include:

• An algebraic equation or polynomial equation is an equation in which both sides are polynomials (see also system of polynomial equations). These are further classified by degree:
  • linear equation for degree one
  • quadratic equation for degree two
  • cubic equation for degree three
  • quartic equation for degree four
  • quintic equation for degree five
  • sextic equation for degree six
  • septic equation for degree seven
  • octic equation for degree eight
• A Diophantine equation is an equation where the unknowns are required to be integers
• A transcendental equation is an equation involving a transcendental function of its unknowns
• A parametric equation is an equation in which the solutions for the variables are expressed as functions of some other variables, called parameters appearing in the equations
• A functional equation is an equation in which the unknowns are functions rather than simple quantities
• Equations involving derivatives, integrals and finite differences:
  • A differential equation is a functional equation involving derivatives of the unknown functions, where the function and its derivatives are evaluated at the same point, such as ${\displaystyle f'(x)=x^{2}}$. Differential equations are subdivided into ordinary differential equations for functions of a single variable and partial differential equations for functions of multiple variables
  • An integral equation is a functional equation involving the antiderivatives of the unknown functions. For functions of one variable, such an equation differs from a differential equation primarily through a change of variable substituting the function by its derivative, however this is not the case when the integral is taken over an open surface
  • An integro-differential equation is a functional equation involving both the derivatives and the antiderivatives of the unknown functions. For functions of one variable, such an equation differs from integral and differential equations through a similar change of variable.
  • A functional differential equation of delay differential equation is a function equation involving derivatives of the unknown functions, evaluated at multiple points, such as ${\displaystyle f'(x)=f(x-2)}$
  • A difference equation is an equation where the unknown is a function f that occurs in the equation through f(x), f(x−1), ..., f(x−k), for some whole integer k called the order of the equation. If x is restricted to be an integer, a difference equation is the same as a recurrence relation
  • A stochastic differential equation is a differential equation in which one or more of the terms is a stochastic process

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

• Winplot: General Purpose plotter that can draw and animate 2D and 3D mathematical equations.
• Equation plotter: A web page for producing and downloading pdf or postscript plots of the solution sets to equations and inequations in two variables (x and y).