Отображение периодов

В математике , в области алгебраической геометрии , отображение периодов связывает семейства кэлеровых многообразий с семействами структур Ходжа .

Теорема Эресмана [ править ]

Пусть f  : X → B - голоморфный субмерсивный морфизм. Для точки b на B обозначим слой f над b через X _b . Закрепить точку 0 в B . Теорема Эресмана гарантирует, что существует небольшая открытая окрестность U около 0, в которой f становится расслоением . То есть, F ^-1 ( U ) диффеоморфно X ₀ × U . В частности, составная карта

${\ displaystyle X_ {b} \ hookrightarrow f ^ {- 1} (U) \ cong X_ {0} \ times U \ twoheadrightarrow X_ {0}}$

является диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм не уникален, потому что он зависит от выбора тривиализации. Тривиализация строится из гладких путей в U , и можно показать, что гомотопический класс диффеоморфизма зависит только от выбора гомотопического класса путей из b в 0. В частности, если U стягиваемо, существует колодец -определенный диффеоморфизм с точностью до гомотопии.

Диффеоморфизм из X _b в X ₀ индуцирует изоморфизм групп когомологий

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} ),}$

и поскольку гомотопические отображения индуцируют идентичные отображения на когомологиях, этот изоморфизм зависит только от гомотопического класса пути от b до 0.

Отображение локальных неполяризованных периодов [ править ]

Предположим , что F является правильное и что X ₀ является разновидностью Kähler. Условие Kähler открыта, поэтому после того, как, возможно , сокращение U , X _Ь компактно и Kähler для всех б в U . После дальнейшего сжатия U мы можем считать, что он стягиваемый. Тогда существует корректно определенный изоморфизм между группами когомологий X ₀ и X _b . Эти изоморфизмы групп когомологий не в целом сохраняют структуру Ходжи из X ₀ и X _бпотому что они индуцированы диффеоморфизмами, а не биголоморфизмами. Пусть F ^p H ^k ( X _b , C ) обозначает p- й шаг фильтрации Ходжа . Числа Ходжа для X _b такие же, как и для X ₀ , ^[1], поэтому число b _{p , k} = dim F ^p H ^k ( X _b , C ) не зависит от b . Карта периода - это карта

${\displaystyle {\mathcal {P}}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),}$

где F - флаговое многообразие цепочек подпространств размерностей b _{p , k} для всех p , которое отправляет

${\displaystyle b\mapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} ))_{p}.}$

Поскольку X _b - кэлерово многообразие, фильтрация Ходжа удовлетворяет билинейным соотношениям Ходжа – Римана . Это означает, что

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\oplus {\overline {F^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )}}.}$

Не все флаги подпространств удовлетворяют этому условию. Подмножество многообразия флагов, удовлетворяющее этому условию, называется неполяризованной локальной областью периодов и обозначается . открытое подмножество многообразия флага F .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Отображение локальных поляризованных периодов [ править ]

Предположим теперь, что не только каждый X _b является кэлеровым, но и что существует кэлеровский класс, который голоморфно изменяется по b . Другими словами, предположим, что существует класс ω в H ² ( X , Z ) такой, что для любого b ограничение ω _b из ω на X _b является кэлеровым классом. ω _b определяет билинейную форму Q на H ^k ( X _b , C ) по правилу

${\displaystyle Q(\xi ,\eta )=\int \omega _{b}^{n-k}\wedge \xi \wedge \eta .}$

Эта форма голоморфно изменяется по b , и, следовательно, образ отображения периодов удовлетворяет дополнительным ограничениям, которые снова вытекают из билинейных соотношений Ходжа – Римана. Это:

1. Ортогональность : Р ^р Н ^к ( Х _Ь , С ) ортогонально Р ^{к - р + 1} Н ^к ( Х _Ь , С ) по отношению к Q .
2. Положительная определенность : для всех p + q = k ограничение на примитивные классы типа ( p , q ) положительно определено.${\displaystyle \textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{p-q}Q}$

Поляризованный локальный домен периода является подмножеством неполяризованного локального домена периода , чьи флаги удовлетворить эти дополнительные условия. Первое условие состоит в закрытом состоянии, а второй является открытым состоянием, и , следовательно, поляризованный локальный доменом периода является локально замкнутым подмножеством неполяризованного локального домена периода и многообразия флагов F . Отображение периода определяется так же, как и раньше.

Область поляризованного локального периода и отображение поляризованного периода по-прежнему обозначаются и соответственно.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Отображение глобальных периодов [ править ]

Упор только на локальных отображений периода игнорирует информацию , присутствующую в топологии базового пространства B . Отображения глобальных периодов построены таким образом, чтобы эта информация оставалась доступной. Трудность построения глобального периода отображения приходит из монодромии в В : Существует больше не единственный гомотопический класс диффеоморфизмов , связывающих волокна X _б и X ₀ . Вместо этого различные гомотопические классы путей в Bиндуцируют, возможно, различные гомотопические классы диффеоморфизмов и, следовательно, возможно различные изоморфизмы групп когомологий. Следовательно, больше не существует четко определенного флага для каждого волокна. Вместо этого флаг определяется только до действия фундаментальной группы.

В неполяризованном случае определим группу монодромии Γ как подгруппу в GL ( H ^k ( X ₀ , Z )), состоящую из всех автоморфизмов, индуцированных гомотопическим классом кривых в B, как указано выше. Многообразие флагов является факторгруппой группы Ли по параболической подгруппе, а группа монодромии является арифметической подгруппой группы Ли. Глобальный неполяризована домен периода является фактором локального неполяризованного домена периода под действием Г (это, таким образом , совокупность двойных смежных классов ). В поляризованном случае требуется, чтобы элементы группы монодромии также сохранили билинейную форму Q иглобальная поляризованная область периодов строится как фактор по Γ аналогичным образом. В обоих случаях отображение периодов переводит точку B в класс фильтрации Ходжа на X _b .

Свойства [ править ]

Гриффитс доказал, что отображение периодов голоморфно. Его теорема трансверсальности ограничивает диапазон отображения периодов.

Матрицы периодов [ править ]

Фильтрацию Ходжа можно выразить в координатах с помощью матриц периодов. Выберем базис δ ₁ , ..., δ _r для части без кручения k- й целочисленной группы гомологий H _k ( X , Z ) . Зафиксируем p и q с p + q = k и выберем базис ω ₁ , ..., ω _s для гармонических форм типа ( p , q ) . Матрица периодов из X ₀ по этим базам - матрица

${\displaystyle \Omega ={\Big (}\int _{\delta _{i}}\omega _{j}{\Big )}_{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s}.}$

Элементы матрицы периодов зависят от выбора базиса и от сложной структуры. Δs можно изменять путем выбора матрицы Λ в SL ( r , Z ) , а ωs можно изменять путем выбора матрицы A в GL ( s , C ) . Матрица периодов эквивалентна Ω, если ее можно записать как A ΩΛ для некоторого выбора A и Λ.

Случай эллиптических кривых [ править ]

Рассмотрим семейство эллиптических кривых

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

где λ - любое комплексное число, не равное нулю или единице. Фильтрация Ходжа на первой группе когомологий кривой имеет два шага: F ⁰ и F ¹ . Однако F ⁰ - это вся группа когомологий, поэтому единственный интересный член фильтрации - это F ¹ , то есть H ^1,0 , пространство голоморфных гармонических 1-форм.

H ^1,0 является одномерным, поскольку кривая эллиптическая и для всех λ натянута на дифференциальную форму ω = dx / y . Чтобы найти явных представителей группы гомологий кривой, заметим, что кривую можно представить в виде графика многозначной функции

${\displaystyle y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}}$

на сфере Римана . Точки ветвления этой функции находятся в нуле, единице, λ и бесконечности. Сделайте два разреза ветки: один идет от нуля до одного, а другой - от λ до бесконечности. Они исчерпывают точки ветвления функции, поэтому они разрезают многозначную функцию на два однозначных листа. Зафиксируем малое ε> 0 . На одном из этих листов проведите кривую γ ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε) exp (2π it ) . При достаточно малом ε эта кривая окружает разрез ветви [0, 1] и не пересекает разрез ветви [λ, ∞] . Теперь проследим еще одну кривую δ ( t ), которая начинается на одном листе как δ ( t ) = 1 + 2 (λ - 1) tдля 0 ≤ t ≤ 1/2 и продолжается на другом листе как δ ( t ) = λ + 2 (1 - λ) (t - 1/2) для 1/2 ≤ t ≤ 1 . Каждая половина этой кривой соединяет точки 1 и λ на двух листах римановой поверхности. По теореме Зейферта – ван Кампена группа гомологий кривой не имеет ранга два. Поскольку кривые пересекаются в одной точке, 1 + ε , ни один из их классов гомологий не является собственным кратным некоторому другому классу гомологий, и, следовательно, они образуют базис H ₁ . Таким образом, матрица периодов для этого семейства имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta }\omega \end{pmatrix}}.}$

Первая запись этой матрицы мы сокращаем , как А , а второй , как B .

Билинейная форма √ −1 Q положительно определена, потому что локально мы всегда можем записать ω как f dz , поэтому

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.}$

По двойственности Пуанкаре γ и δ соответствуют классам когомологий γ ^* и δ ^*, которые вместе являются базисом для H ¹ ( X ₀ , Z ) . Отсюда следует, что ω можно записать как линейную комбинацию γ ^* и δ ^* . Коэффициенты определяются путем вычисления ω относительно дуальных базисных элементов γ и δ:

${\displaystyle \omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.}$

Когда мы переписываем положительную определенность Q в этих терминах, мы имеем

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}$

Поскольку γ ^* и δ ^* целые, они не меняются при сопряжении. Более того, поскольку γ и δ пересекаются в одной точке, и одна точка является образующей H ₀ , чашечное произведение γ ^* и δ ^* является фундаментальным классом X ₀ . Следовательно, этот интеграл равен . Интеграл строго положительный, поэтому ни A, ни B не могут быть равны нулю.${\displaystyle \operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B}$

После изменения масштаба ω мы можем считать, что матрица периодов равна (1 τ) для некоторого комплексного числа τ со строго положительной мнимой частью. Это устраняет двусмысленность, исходящую от действия GL (1, C ) . Тогда действие SL (2, Z ) будет обычным действием модулярной группы на верхней полуплоскости. Следовательно, область периодов - это сфера Римана . Это обычная параметризация эллиптической кривой как решетки.

См. Также [ править ]

• Теория Ходжа
• Якобиева многообразие
• Модульная группа

Ссылки [ править ]

Расчеты [ править ]

• Явный расчет матриц периодов для кривых формы - включает примеры${\displaystyle x^{m}+y^{n}=1}$
• Явный расчет матриц периодов для гиперэллиптических кривых - включает примеры
• Алгоритм вычисления периодов гиперповерхностей.

Общие [ править ]

• Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I, II

Приложения [ править ]

• Кривые Симуры в геометрическом месте гиперэллиптических якобианов рода три

Внешние ссылки [ править ]

• Отображение периодов в Математической энциклопедии