В математике , А разнообразие обобщенного флага (или просто флаг разнообразие ) является однородным пространством , точки которого являются флаги в конечномерном векторном пространстве V над полем F . Когда F - действительные или комплексные числа, обобщенное многообразие флагов - это гладкое или комплексное многообразие , называемое вещественным или комплексным многообразием флагов . Многообразия флагов - естественно проективные многообразия .
Разновидности флагов можно определять с различной степенью общности. Прототип является разнообразием полных флагов в векторном пространстве V над полем F , который представляет собой разновидность флага для специальной линейной группы над F . Другие многообразия флагов возникают при рассмотрении частичных флагов или ограничении специальной линейной группы на такие подгруппы, как симплектическая группа . Для частичных флагов необходимо указать последовательность размеров рассматриваемых флагов. Для подгрупп линейной группы на флаги должны быть наложены дополнительные условия.
В самом общем смысле, обобщенное многообразие флагов определяются для обозначения проективного однородного многообразия , то есть гладкий проективное многообразие X над полем F с транзитивным действием в виде восстановительной группы G (и гладким стационарную подгруппы, что не существует никаких ограничений для F от характерного нуля). Если X имеет F - рациональную точку , то она изоморфна G / P для некоторой параболической подгруппы P из G . Проективное однородное многообразие может быть также реализовано в виде орбиты старшего веса вектора в проективизированном представлении о G . Комплексные проективные однородные многообразия - это компактные плоские модельные пространства для геометрий Картана параболического типа. Они являются однородными риманова многообразия под любой максимальной компактной подгруппы в G , и они в точности коприсоединенные орбиты из компактных групп Ли .
Многообразия флагов могут быть симметричными пространствами . Над комплексными числами соответствующие многообразия флагов являются эрмитовыми симметрическими пространствами . Над действительными числами R -пространство является синонимом вещественного многообразия флагов, а соответствующие симметрические пространства называются симметричными R -пространствами.
Флаги в векторном пространстве
Флаг в конечномерном векторном пространстве V над полем F - это возрастающая последовательность подпространств , где «возрастание» означает, что каждое из них является собственным подпространством следующего (см. Фильтрацию ):
Если мы запишем dim V i = d i, то получим
где п есть размерность из V . Следовательно, должно быть k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом . Подпись флага представляет собой последовательность ( д 1 , ..., d K ).
Частичный флаг может быть получен из полного флага путем удаления некоторых подпространств. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (многими различными способами) путем вставки подходящих подпространств.
Прототип: полное разнообразие флагов
Согласно основным результатам линейной алгебры , любые два полных флага в n- мерном векторном пространстве V над полем F не отличаются друг от друга с геометрической точки зрения. То есть общая линейная группа действует транзитивно на множестве всех полных флагов.
Зафиксируем упорядоченный базис для V , отождествив его с F n , общая линейная группа которого является группой GL ( n , F ) обратимых матриц размера n × n . Стандартный флаг, связанный с этим базисом, - это тот, где i- е подпространство натянуто на первые i векторов базиса. Относительно этого базиса стабилизатором стандартного флага является группа невырожденных нижнетреугольных матриц , которую мы обозначим через B n . Таким образом , полное многообразие флага может быть записано в виде однородного пространства GL ( п , Р ) / B н , который показывает , в частности , что она имеет размерность п ( п -1) / 2 над F .
Заметим, что кратные единицы действуют тривиально на все флаги, поэтому можно ограничиться специальной линейной группой SL ( n , F ) матриц с детерминантной единицей , которая является полупростой алгебраической группой; множество нижнетреугольных матриц детерминантной единицы является борелевской подгруппой .
Если поле F - действительные или комплексные числа, мы можем ввести скалярное произведение на V , чтобы выбранный базис был ортонормированным . Затем любой полный флаг разбивается на прямую сумму одномерных подпространств с помощью ортогональных дополнений. Отсюда следует, что полное многообразие флагов над комплексными числами является однородным пространством
где U ( n ) - унитарная группа, а T n - n -тор диагональных унитарных матриц. Аналогичное описание существует для действительных чисел с заменой U ( n ) ортогональной группой O ( n ) и T n диагональными ортогональными матрицами (которые имеют диагональные элементы ± 1).
Частичные разновидности флага
Разновидность частичного флага
это пространство всех флагов сигнатуры ( д 1 , д 2 , ... d K ) в векторном пространстве V размерности п = д к над F . Полное разнообразие флагов - это частный случай, когда d i = i для всех i . При к = 2, это грассманиан из г 1 - мерных подпространств пространства V .
Это однородное пространство для общей линейной группы G из V над F . Для явности возьмем V = F n, так что G = GL ( n , F ). В качестве стабилизатора флага вложенных подпространств V i размерности d i можно принять группу невырожденных блочных нижнетреугольных матриц, где размерности блоков равны n i : = d i - d i −1 (при d 0 = 0).
Ограничение на матрицы с определителем один, это параболическая подгруппа P из SL ( п , F ), и , следовательно , выбор частичной флаг изоморфно однородном пространстве SL ( п , Р ) / Р .
Если F - действительные или комплексные числа, то внутреннее произведение можно использовать для разделения любого флага на прямую сумму, и поэтому многообразие частичных флагов также изоморфно однородному пространству.
в сложном случае или
в реальном случае.
Обобщение на полупростые группы
Верхние треугольные матрицы детерминанта единица являются борелевской подгруппой в SL ( n , F ), и, следовательно, стабилизаторы частичных флагов являются параболическими подгруппами. Кроме того, частичный флаг определяется параболической подгруппой, которая его стабилизирует.
Таким образом, в более общем случае , если G является полупростой алгебраической или группа Ли , то (обобщенный) многообразие флагов для G является G / P , где Р является параболической подгруппой группы G . Соответствие между параболическими подгруппами и обобщенными многообразиями флагов позволяет понимать друг друга.
Расширение терминологии «разнообразие флагов» является разумным, поскольку точки G / P все еще могут быть описаны с помощью флагов. Когда G - классическая группа , такая как симплектическая группа или ортогональная группа , это особенно прозрачно. Если ( V , ω ) представляет собой симплектическое векторное пространство , то частичный флаг в V является изотропным , если симплектическая форма обращается в нуль на собственных подпространств V в флага. Стабилизатор изотропного флага - параболическая подгруппа симплектической группы Sp ( V , ω ). Для ортогональных групп картина аналогичная, но с некоторыми осложнениями. Во-первых, если F не является алгебраически замкнутым, то изотропных подпространств может не существовать: для общей теории необходимо использовать расщепленные ортогональные группы . Во-вторых, для векторных пространств четной размерности 2 м изотропные подпространства размерности m бывают двух видов («самодвойственные» и «анти-самодвойственные»), и нужно различать их, чтобы получить однородное пространство.
Когомологии
Если G - компактная связная группа Ли, она содержит максимальный тор T, а пространство G / T левых смежных классов с фактор-топологией является компактным вещественным многообразием. Если H - любая другая замкнутая связная подгруппа группы G, содержащая T , то G / H - другое компактное вещественное многообразие. (Оба на самом деле являются сложными однородными пространствами каноническим образом за счет комплексификации .)
Наличие сложной структуры и клеточных (со) гомологий позволяет легко видеть , что кольцо когомологий из G / H концентрируются в четных степенях, но на самом деле, что - то гораздо сильнее , можно сказать. Поскольку G → G / H является главным H- расслоением , существует классифицирующее отображение G / H → BH с целью классифицирующее пространство BH . Если мы заменим G / H на гомотопический фактор G H в последовательности G → G / H → BH , мы получим главное G- расслоение, называемое борелевским расслоением правого действия умножения H на G , и мы можем использовать когомологические Спектральная последовательность Серра этого расслоения для понимания гомоморфизма послойных ограничений H * ( G / H ) → H * ( G ) и характеристического отображения H * ( BH ) → H * ( G / H ), названного так потому, что его образ, характеристикой подкольцо из H * ( G / H ), несет в себе характерные классы исходного пучка Н → G → G / H .
Давайте теперь ограничится кольцо коэффициентов быть поле к нулевой характеристике, так что, по теореме Хопфа , H * ( G ) является внешней алгеброй на образующих нечетной степени (подпространство примитивных элементов ). Отсюда следует, что краевые гомоморфизмы
спектральной последовательности должна в конечном итоге занять пространство примитивных элементов в левом столбце H * ( G ) страницы E 2 биективно в нижнюю строку H * ( BH ): мы знаем, что G и H имеют одинаковый ранг , поэтому, если набор краевых гомоморфизмов не был полным рангом на примитивном подпространстве, тогда изображение нижней строки H * ( BH ) на последней странице H * ( G / H ) последовательности было бы бесконечномерным как k- векторное пространство , что невозможно, например, снова для клеточных когомологий , потому что компактное однородное пространство допускает конечную структуру CW .
Таким образом, отображение кольца H * ( G / H ) → H * ( G ) в этом случае тривиально, а характеристическое отображение сюръективно, так что H * ( G / H ) является фактором H * ( BH ). Ядро карты - это идеал, порожденный образами примитивных элементов при гомоморфизмах ребер, который также является идеалом, порожденным элементами положительной степени в образе канонического отображения H * ( BG ) → H * ( BH ), индуцированного путем включения H в G .
Отображение H * ( BG ) → H * ( BT ) инъективно, как и H , с изображением подкольца H * ( BT ) W ( G ) элементов, инвариантных относительно действия группы Вейля , так что окончательно получаем краткое описание
где обозначает элементы положительной степени, а круглые скобки - порождение идеала. Например, для полного комплексного многообразия флагов U ( n ) / T n имеем
где t j имеют степень 2, а σ j - первые n элементарных симметричных многочленов от переменных t j . В качестве более конкретного примера возьмем n = 2, так что U ( 2 ) / [ U (1) × U (1)] является комплексным грассманианом Gr (1, ℂ 2 ) ≈ ℂ P 1 ≈ S 2 . Тогда мы ожидаем, что кольцо когомологий будет внешней алгеброй на образующей степени два ( фундаментальный класс ), и действительно,
как и надеялся.
Орбиты старшего веса и проективные однородные многообразия
Если G - полупростая алгебраическая группа (или группа Ли), а V - (конечномерное) представление группы G со старшим весом, то пространство со старшим весом является точкой в проективном пространстве P ( V ) и ее орбитой под действием G - проективное алгебраическое многообразие . Это многообразие является (обобщенным) многообразием флагов, и, более того, каждое (обобщенное) многообразие флагов для G возникает таким образом.
Арманд Борель показал [ ссылка ], что это характеризует многообразия флагов общей полупростой алгебраической группы G : это в точности полные однородные пространства группы G или, что эквивалентно (в этом контексте) проективные однородные G -многообразия.
Симметричные пространства
Пусть G полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппы K . Тогда К действует транзитивно на любом классе сопряженного параболических подгрупп, и , следовательно , обобщенное многообразие флагов G / P является компактным однородным римановым многообразием К / ( К ∩ P ) с изометрией группы K . Кроме того, если G - комплексная группа Ли, G / P - однородное кэлерово многообразие .
В свою очередь, римановы однородные пространства
- М = К / ( К ∩ П )
допускают строго большую группу Ли преобразований, а именно G . Специально для случая, когда M является симметричным пространством , это наблюдение дает все симметрические пространства, допускающие такую большую группу симметрии, и эти пространства были классифицированы Кобаяши и Нагано.
Если G является комплексная группа Ли, симметрические пространства M , возникающие таким образом , являются компактные эрмитовы симметрические пространства : K является группа движений, и G является биголоморфизм группа М .
Над действительными числами многообразие вещественных флагов также называется R-пространством, а R-пространства, которые являются римановыми симметрическими пространствами относительно K , известны как симметрические R-пространства. Симметрические R-пространства, не являющиеся эрмитово симметричными, получаются, если взять G как вещественную форму группы биголоморфизмов G c эрмитова симметрического пространства G c / P c, такого что P : = P c ∩ G является параболической подгруппой G . Примеры включают проективные пространства (с G - группа проективных преобразований ) и сферы (с G - группа конформных преобразований ).
Смотрите также
- Параболическая алгебра Ли
- Разложение Брюа
Рекомендации
- Роберт Дж. Бастон и Майкл Г. Иствуд, Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представления , Oxford University Press, 1989.
- Юрген Берндт, Действия групп Ли на многообразиях , Конспект лекций, Токио, 2002.
- Юрген Берндт, Серджио Консоль и Карлос Олмос, Подмногообразия и голономия , Chapman & Hall / CRC Press, 2003.
- Мишель Брион, Лекции по геометрии многообразий флагов , Конспекты лекций, Varsovie, 2003.
- Джеймс Э. Хамфрис, Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, 21, Springer-Verlag, 1972.
- С. Кобаяси и Т. Нагано, О фильтрованных алгебрах Ли и геометрических структурах I, II, J. Math. Мех. 13 (1964), 875–907, 14 (1965) 513–521.