В математике , максимальный компактная подгруппа K из топологической группы G является подгруппа K , что является компактным пространством , в топологии подпространства , и максимальный среди таких подгрупп.
Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и особенно полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли, вообще говоря, не единственны, но единственны с точностью до сопряжения - они единственны по существу .
Пример [ править ]
Примером может служить подгруппа O (2), ортогональная группа внутри общей линейной группы GL (2, R ). Связанный пример - круговая группа SO (2) внутри SL (2, R ) . Очевидно, SO (2) внутри GL (2, R ) компактно и не является максимальным. Неединственность этих примеров можно увидеть, поскольку любой внутренний продукт имеет ассоциированную ортогональную группу, а существенная уникальность соответствует существенной уникальности внутреннего продукта.
Определение [ править ]
Максимальная компактная подгруппа - это максимальная подгруппа среди компактных подгрупп - максимальная (компактная подгруппа) - а не (альтернативное возможное прочтение) максимальная подгруппа, которая оказывается компактной; который, вероятно, можно было бы назвать компактным (максимальная подгруппа) , но в любом случае не имеет предполагаемого смысла (и на самом деле максимальные собственные подгруппы в общем случае не компактны).
Существование и уникальность [ править ]
Теорема Картана-Ивасавы-Мальцева утверждает, что каждая связная группа Ли (и действительно каждая связная локально компактная группа) допускает максимальные компактные подгруппы и что все они сопряжены друг с другом. Для полупростой группы Ли единственность является следствием теоремы Картана о неподвижной точке , которая утверждает, что если компактная группа действует изометриями на полном односвязном римановом многообразии с отрицательной кривизной, то она имеет неподвижную точку.
Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли, как правило , не уникальны, но они являются уникальными с точностью до сопряжения, а это означает , что указанные две максимальные компактные подгруппы К и L , существует элемент г ∈ G такие , что [1] ГКГ -1 = л . Следовательно, максимальная компактная подгруппа по существу единственна , и люди часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».
Для примера общей линейной группы GL ( n , R ) это соответствует тому факту, что любое скалярное произведение на R n определяет (компактную) ортогональную группу (ее группу изометрий) и что оно допускает ортонормированный базис: замена of base определяет сопрягающий элемент, сопрягающий группу изометрий классической ортогональной группе O ( n , R ).
Доказательства [ править ]
Для вещественной полупростой группы Ли картановское доказательство существования и единственности максимальной компактной подгруппы можно найти в Бореле (1950) и Хельгасоне (1978) . Картье (1955) и Хохшильд (1965) обсуждают расширение на связные группы Ли и связные локально компактные группы.
Для полупростых групп существование является следствием существования компактной вещественной формы некомпактной полупростой группы Ли и соответствующего разложения Картана . Доказательство единственности опирается на тот факт, что соответствующее риманово симметрическое пространство G / K имеет отрицательную кривизну и теорему Картана о неподвижной точке. Мостоу (1955) показал, что производная экспоненциального отображения в любой точке G / K удовлетворяет условию | d exp X | ≥ | X |. Отсюда следует, что G / K - пространство Адамара , т. Е.полное метрическое пространство, удовлетворяющее ослабленной форме правила параллелограмма в евклидовом пространстве. Тогда единственность можно вывести из теоремы Брюа-Титса о неподвижной точке . В самом деле, любое ограниченное замкнутое множество в пространстве Адамара содержится в единственном наименьшем замкнутом шаре, центр которого называется его центром описанной окружности . В частности, компактная группа, действующая изометриями, должна фиксировать центр описанной окружности каждой из своих орбит.
Доказательство единственности для полупростых групп [ править ]
Мостоу (1955) также связал общую проблему для полупростых групп со случаем GL ( n , R ). Соответствующее симметричное пространство - это пространство положительно симметричных матриц. Прямое доказательство единственности, основанное на элементарных свойствах этого пространства, дано в Hilgert & Neeb (2012) .
Пусть - вещественная полупростая алгебра Ли с инволюцией Картана σ. Таким образом, подгруппа неподвижной точки в σ является максимальной компактной подгруппой K и существует разложение собственного подпространства
где алгебра Ли K является собственным подпространством +1. Разложение Картана дает
Если B является формой Киллинга на задается B ( X , Y ) = Tr (объявление X) (Y) объявления, то
это настоящий внутренний продукт на . В присоединенном представлении K - это подгруппа группы G , сохраняющая этот скалярный продукт.
Если H является еще компактной подгруппой в G , то в среднем скалярного произведения над Н относительно меры Хаара дает внутренний инвариант продукта при H . Операторы Ad p с p в P являются положительно симметричными операторами. Этот новый внутренний продукт можно записать как
где S - положительный симметричный оператор на такой, что Ad ( h ) t S Ad h = S для h в H (с транспонированием, вычисляемым относительно внутреннего произведения). Кроме того, для й в G ,
Итак, для h в H ,
Для X в определите
Если e i - ортонормированный базис собственных векторов для S с Se i = λ i e i , то
так что f строго положительно и стремится к ∞ при | X | стремится к ∞. Фактически эта норма эквивалентна операторной норме на симметрических операторах ad X, и каждое ненулевое собственное значение встречается со своим отрицательным, поскольку i ad X - кососопряженный оператор на компактной вещественной форме .
Итак, f имеет глобальный минимум в Y, скажем. Этот минимум уникален, потому что если бы Z был другим, то
где X in определяется разложением Картана
Если f i - ортонормированный базис собственных векторов ad X с соответствующими действительными собственными значениями μ i , то
Так как правая сторона является положительной комбинацией экспонента, реальная функцией г является строго выпуклым , если Х ≠ 0, поэтому имеет единственный минимум. С другой стороны, он имеет локальные минимумы при t = 0 и t = 1, следовательно, X = 0 и p = exp Y - единственный глобальный минимум. По построению f ( x ) = f (σ ( h ) xh −1 ) для h в H , так что p = σ ( h ) ph −1 для hв H . Следовательно, σ ( h ) = php −1 . Следовательно, если г = ехр Y / 2, GHG -1 фиксируется сг и , следовательно , лежит в K .
Приложения [ править ]
Теория представлений [ править ]
Максимальные компактные подгруппы играют основную роль в теории представлений, когда G некомпактна. В этом случае максимальная компактная подгруппа K является компактной группой Ли (поскольку замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли), для которой теория проще.
Операции, связывающие теории представлений G и K , ограничивают представления от G до K и порождают представления от K до G , и они довольно хорошо поняты; их теория включает теорию сферических функций .
Топология [ править ]
Алгебраической топологии групп Ли также в значительной степени осуществляется с помощью максимальной компактной подгруппы K . Чтобы быть точным, связная группа Ли является топологическим произведением (хотя и не теоретико-групповым произведением) максимального компакта K и евклидова пространства - G = K × R d - таким образом, в частности, K является деформационным ретрактом группы G и является гомотопически эквивалентны , и, следовательно, они имеют одинаковые гомотопические группы . Действительно, включение и ретракция деформации являются гомотопическими эквивалентностями .
Для общей линейной группы это разложение является QR-разложением , а ретракция деформации - это процесс Грама-Шмидта . Для общей полупростой группы Ли разложение - это разложение Ивасавы группы G как G = KAN, в котором K входит в произведение со стягиваемой подгруппой AN .
См. Также [ править ]
- Гиперспециальная подгруппа
- Комплексная группа Ли
Заметки [ править ]
- ^ Обратите внимание, что этот элемент g не уникален - подойдет любой элемент из того же смежного класса gK .
Ссылки [ править ]
- Борель, Арманд (1950), Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé No. 33) , Séminaire Bourbaki, 1
- Картье, П. (1955), Топологическая структура групп Женеро (Выставка № 22) , Семинар "Sophus Lie", 1
- Дьедонне Дж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат по анализу, 5 , Academic Press, ISBN 012215505X
- Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
- Хильгерт, Иоахим; Neeb, Karl-Hermann (2012), Структура и геометрия групп Ли , Монографии Springer по математике, Springer, ISBN 0387847944
- Хохшильд Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дей.
- Мостов, GD (1955), Некоторые новые теоремы о разложении для полупростых групп , Mem. Амер. Математика. Soc., 14. С. 31–54.
- Онищик А.Л .; Винберг, Е.Б. (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: Структура групп Ли и алгебр Ли , Энциклопедия математических наук, 41 , Springer, ISBN 9783540546832
- Мальцев А. К теории групп Ли в целом (1945), Матем. Сборник , 16 : 163–189.
- Ивасава, К. (1949), "О некоторых типах топологических групп", Ann. математики. , 50 : 507-558, DOI : 10,2307 / 1969548