В геометрии , Адамара пространство , названный в честь Жака Адамара , является нелинейным обобщением гильбертова пространства . В литературе они также определяются как полные пространства CAT (0) .
Адамара пространство определяется как непустое [1] полное метрическое пространство таким образом, что, с учетом любых точек х , у , существует точка т таким образом, что для каждой точки г ,
Точка m тогда является средней точкой x и y :.
В гильбертовом пространстве указанное выше неравенство является равенством (с ), и вообще пространство Адамара называется плоским, если указанное выше неравенство равно равенству. Плоское пространство Адамара изоморфно замкнутому выпуклому подмножеству гильбертова пространства. В частности, нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым пространством.
Геометрия пространств Адамара напоминает геометрию гильбертовых пространств, что делает их естественным местом для изучения теорем о жесткости . В пространстве Адамара любые две точки могут быть соединены уникальной геодезической между ними; в частности, он сжимаемый . В самом общем, если В является ограниченное подмножество метрического пространства, то центр замкнутого шара минимального радиуса , содержащего его называют Окружность из B . [2] Каждое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в наименьшем замкнутом шаре (что совпадает с замыканием его выпуклой оболочки). Еслиэто группа из изометрии одного пространства Адамара , покидающих инвариантную B , тофиксирует окружности B . ( Теорема Брюа – Титса о неподвижной точке )
Основным результатом для многообразия неположительной кривизны является теорема Картана – Адамара . Аналогия верна для пространства Адамара: полное связное метрическое пространство, локально изометричное пространству Адамара, имеет пространство Адамара в качестве универсального покрытия . Его вариант применяется для орбифолдов с неположительной кривизной . (ср. Лурье.)
Примерами пространств Адамара являются гильбертовы пространства , диск Пуанкаре , полные метрические деревья (например, полное построение Брюа – Титса ), ( p , q ) -пространство с p , q ≥ 3 и 2 pq ≥ p + q , а также многообразия Адамара , т.е. полные односвязные римановы многообразия неположительной секционной кривизны . Важными примерами многообразий Адамара являются односвязные симметрические пространства неположительной кривизны .
Приложения пространств Адамара не ограничиваются геометрией. В 1998 году Дмитрий Бураго и Серж Ферлегер [3] использовали геометрию CAT (0) для решения задачи в динамическом бильярде : существует ли равномерное ограничение на количество столкновений в газе твердых шаров? Решение начинается с построения конфигурационного пространства для динамической системы , полученного путем объединения копий соответствующего биллиардного стола, который оказывается пространством Адамара.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Предположение о «непустом» имеет смысл: теорема о неподвижной точке часто утверждает, что множество неподвижных точек является пространством Адамара. Основное содержание такого утверждения состоит в том, что множество непусто.
- ^ Курс метрической геометрии, стр. 334.
- ^ Бураго Д., Ферлегер С. Равномерные оценки числа столкновений в полурассеивающих биллиардах. Аня. математики. 147 (1998), 695-708
- Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Springer
- Пападопулос, Атанас (2014), Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 6 (второе издание), Европейское математическое общество , ISBN 978-3-03719-132-3
- Бураго, Дмитрий; Юрий Бураго и Сергей Иванов. Курс метрической геометрии . Американское математическое общество. (1984)
- Джейкоб Лурье : Заметки по теории пространств Адамара
- Александр С., Капович В., Петрунин А. Заметки о геометрии Александрова.