В теории чисел и алгебраической геометрии , A рациональная точка из алгебраического многообразия является точкой, координаты которых принадлежат к данной области . Если поле не упомянуто, обычно понимается поле рациональных чисел . Если поле представляет собой поле действительных чисел , рациональную точку чаще называют реальной точкой .
Понимание рациональных точек - центральная цель теории чисел и диофантовой геометрии . Например, теорема Ферма может быть пересчитана как: для п > 2 , на кривой Ферма уравнениене имеет другой рациональной точки, кроме (1, 0) , (0, 1) , и, если n четно, (–1, 0) и (0, –1) .
Определение
Учитывая поле K , и алгебраически замкнутое расширение K из к , аффинное многообразие X над к есть множество общих нулей внабора многочленов с коэффициентами при k :
Эти общие нули называются точками из X .
К - рациональная точка (или к - точка ) из X является точкой X , который принадлежит к K п , то есть, последовательность ( 1 , ..., п ) из п элементов к такой , что ф J ( a 1 , ..., a n ) = 0 для всех j . Множество k -рациональных точек X часто обозначают X ( k ).
Иногда, когда поле к Подразумевается, или когда к является поле Q из рациональных чисел , один говорит : «рациональная точка» вместо « К -рациональной точке».
Например, рациональные точки единичной окружности уравнения
пары рациональных чисел
где является пифагорейской тройкой .
Эта концепция также имеет смысл в более общих условиях. Проективное многообразие X в проективном пространстве Р п над полем к может быть определена совокупность однородных полиномиальных уравнений в переменных х 0 , ..., х п . К точечное из Р п , написанной [ 0 , ..., п ], задается последовательностью п + 1 элементов к , не все равные нулю, с пониманием того, что все умножения на 0 , .. . a n одним и тем же ненулевым элементом k дает ту же точку в проективном пространстве. Тогда k -точка X означает k- точку P n, в которой данные многочлены обращаются в нуль.
В более общем смысле, пусть X - схема над полем k . Это означает, что задан морфизм схем f : X → Spec ( k ). Тогда k -точка X означает сечение этого морфизма, то есть морфизм a : Spec ( k ) → X такой, что композиция fa является тождественной на Spec ( k ). Это согласуется с предыдущими определениями, когда X - аффинное или проективное многообразие (рассматриваемое как схема над k ).
Когда X - многообразие над алгебраически замкнутым полем k , большая часть структуры X определяется его множеством X ( k ) k -рациональных точек. Для общего поля к , однако, Х ( к ) дает только частичную информацию о X . В частности, для многообразия X над полем к и любого расширения поля Е в к , Х также определяет множество X ( Е ) из Е - рациональных точек из X , то есть множество решений уравнений , определяющих X со значениями в Е .
Пример: Пусть Х являются коническим кривым х 2 + у 2 = -1 в аффинной плоскости А 2 над действительными числами R . Тогда множество вещественных точек X ( R ) пусто, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен. С другой стороны, в терминологии алгебраической геометрии алгебраическое многообразие X над R не пусто, потому что множество комплексных точек X ( C ) не пусто.
В более общем плане , для схемы X над коммутативным кольцом R и любой коммутативной R - алгебры S , то множество Х ( S ) из S -точек Х означает множество морфизмов Spec ( S ) → X над Spec ( R ). Схема X определяется с точностью до изоморфизма функтором S ↦ X ( S ); это философия отождествления схемы с ее функтором точек . Другая формулировка является то , что схема Х над R определяет схему Х S над S путем изменения базовой , и S -точек Х (над R ) могут быть идентифицированы с S -точках X S (над S ).
Теория диофантовых уравнений традиционно означало изучение целых точек , то есть решения полиномиальных уравнений в целых числах Z , а не Rationals Q . Для однородных полиномиальных уравнений, таких как x 3 + y 3 = z 3 , две проблемы по существу эквивалентны, поскольку каждая рациональная точка может быть масштабирована, чтобы стать целой точкой.
Рациональные точки на кривых
Многое в теории чисел можно рассматривать как изучение рациональных точек алгебраических многообразий, удобное место для которых - гладкие проективные многообразия. Для гладких проективных кривых поведение рациональных точек сильно зависит от рода кривой.
Род 0
Каждая гладкая проективная кривая X рода нуль над полем к изоморфна коническим (степень 2) кривой в Р 2 . Если X имеет k -рациональную точку, то она изоморфна P 1 над k , и поэтому ее k -рациональные точки полностью понятны. [1] Если k - поле Q рациональных чисел (или, в более общем смысле, числовое поле ), существует алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данная коника рациональная точка, на основе принципа Хассе : коника над Q имеет рациональную точку тогда и только тогда, когда он имеет точку над всеми пополнениями Q , то есть над R и всеми p -адическими полями Q p .
Род 1
Труднее определить, имеет ли кривая рода 1 рациональную точку. В этом случае принцип Хассе не работает: например, по Эрнсту Сельмеру , кубическая кривая 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 в P 2 имеет точку над всеми пополнениями Q , но не имеет рациональной точки. [2] Несостоятельность принципа Хассе для кривых рода 1 измеряется группой Тейта – Шафаревича .
Если X - кривая рода 1 с k -рациональной точкой p 0 , то X называется эллиптической кривой над k . В этом случае X имеет структуру коммутативной алгебраической группы (с p 0 в качестве нулевого элемента), и поэтому множество X ( k ) k -рациональных точек является абелевой группой . Теорема Морделла – Вейля утверждает, что для эллиптической кривой (или, в более общем смысле, абелевого многообразия ) X над числовым полем k абелева группа X ( k ) конечно порождена . Программы компьютерной алгебры могут определять группу Морделла – Вейля X ( k ) во многих примерах, но неизвестно, существует ли алгоритм, который всегда успешно вычисляет эту группу. Это следовало бы из гипотезы о конечности группы Тейта – Шафаревича или из родственной гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера . [3]
Род минимум 2
Теорема Фальтингса (бывшая гипотеза Морделла) утверждает, что для любой кривой X рода не меньше 2 над числовым полем k множество X ( k ) конечно. [4]
Некоторые из великих достижений теории чисел сводятся к определению рациональных точек на конкретных кривых. Например, последняя теорема Ферма (доказанная Ричардом Тейлором и Эндрю Уайлсом ) эквивалентна утверждению, что для целого числа n не менее 3 единственными рациональными точками кривой x n + y n = z n в P 2 над Q являются очевидные: [0,1,1] и [1,0,1]; [0,1, −1] и [1,0, −1] для четных n ; и [1, −1,0] для нечетного n . Кривая X (как и любая гладкая кривая степени n в P 2 ) имеет род ( n - 1) ( n - 2) / 2.
Неизвестно, существует ли алгоритм для поиска всех рациональных точек на произвольной кривой рода не менее 2 над числовым полем. В некоторых случаях работает алгоритм. Его прекращение в общем случае следует из гипотез о том, что группа Тейта – Шафаревича абелевого многообразия над числовым полем конечна и что препятствие Брауэра – Манина является единственным препятствием для принципа Хассе в случае кривых. [5]
Высшие измерения
Разновидности с несколькими рациональными точками
В более высоких измерениях, одна объединяющая целью является Бомбьери - Ланг гипотеза , что для любого многообразия X от общего типа над числовым полем к , то множество K - рациональных точки X не Зариская плотно в X . (То есть k -рациональные точки содержатся в конечном объединении низкоразмерных подмногообразий X. ) В размерности 1 это в точности теорема Фальтингса, поскольку кривая имеет общий тип тогда и только тогда, когда она имеет род не менее 2. Лэнг также высказал более тонкие гипотезы, связывающие конечность рациональных точек с гиперболичностью Кобаяши . [6]
Например, гипотеза Бомбьери – Ланга предсказывает, что гладкая гиперповерхность степени d в проективном пространстве P n над числовым полем не имеет плотных по Зарисскому рациональных точек, если d ≥ n + 2. Об этом случае известно немного. Самый сильный известный результат о гипотезе Бомбьери – Ланга - это теорема Фальтингса о подмногообразиях абелевых многообразий (обобщающая случай кривых). А именно, если Х представляет собой подмногообразие абелева многообразия А над числовым полем к , то все K -рациональных точки X содержатся в конечном объединении сдвигов абелевых подмногообразий , содержащихся в X . [7] (Итак, если X не содержит транслированных абелевых подмногообразий положительной размерности, то X ( k ) конечно.)
Разновидности с множеством рациональных точек
В противоположном направлении, множество Х над числовым полем к , как говорят, потенциально плотна рациональные точки , если существует конечное расширение поля Е на К , таких , что E -рациональных точка X Зариские плотно в X . Фредерик Кампана предположил, что многообразие потенциально плотно тогда и только тогда, когда оно не имеет рационального расслоения над положительно-мерным орбифолдом общего типа. [8] Известен случай, когда каждая кубическая поверхность в P 3 над числовым полем k имеет потенциально плотные рациональные точки, потому что (более сильно) она становится рациональной в некотором конечном расширении k (если это не конус над плоской кубической кривой ). Гипотеза Кампаны также означала бы, что поверхность X класса K3 (например, гладкая поверхность четвертой степени в P 3 ) над числовым полем имеет потенциально плотные рациональные точки. Это известно только в особых случаях, например, если X имеет эллиптическое расслоение . [9]
Кто-то может спросить, когда у разновидности есть рациональная точка без расширения базового поля. В случае гиперповерхности X степени d в P n над числовым полем есть хорошие результаты, когда d намного меньше n , часто основанные на круговом методе Харди – Литтлвуда . Например, теорема Хассе – Минковского утверждает, что принцип Хассе выполняется для квадрических гиперповерхностей над числовым полем (случай d = 2). Кристофер Хули доказал принцип Хассе для гладких кубических гиперповерхностей в P n над Q при n ≥ 8. [10] В более высоких измерениях верно даже больше: каждая гладкая кубика в P n над Q имеет рациональную точку при n ≥ 9, по Роджер Хит-Браун . [11] В более общем смысле теорема Берча гласит, что для любого нечетного положительного целого числа d существует такое целое число N , что для всех n ≥ N каждая гиперповерхность степени d в P n над Q имеет рациональную точку.
Для гиперповерхностей меньшей размерности (с точки зрения их степени) все может быть сложнее. Например, принцип Хассе не работает для гладкой кубической поверхности 5 x 3 + 9 y 3 + 10 z 3 + 12 w 3 = 0 в P 3 над Q , согласно Яну Касселсу и Ричарду Гаю. [12] Жан-Луи Коллио-Телен предположил, что препятствие Брауэра – Манина является единственным препятствием для принципа Хассе для кубических поверхностей. В более общем смысле, это должно выполняться для любого рационально связанного многообразия над числовым полем. [13]
В некоторых случаях известно, что X имеет «много» рациональных точек, когда она есть. Например, расширение работы Беньямина Сегря и Юрий Манин , Джанос Коллар показал: для кубической гиперповерхности X размерности по крайней мере , 2 над совершенным полем к с X не является конусом, Х является унирационально над к , если оно имеет K -рациональную точку . [14] (В частности, для бесконечного k унирациональность означает, что множество k -рациональных точек плотно по Зарисскому в X ). Гипотеза Манина является более точным утверждением, которое описывает асимптотику числа рациональных точек ограниченной высоты на разновидности Фано .
Подсчет точек над конечными полями
Многообразие X над конечным полем k имеет только конечное число k -рациональных точек. В догадках Weil , доказанные Вейль в размерности 1 и Пьер Делинем в любом измерении, дают сильные оценки для числа K -точек в терминах чисел Бетти в X . Например, если X - гладкая проективная кривая рода g над полем k порядка q (степень простого числа), то
Для гладкой гиперповерхности X степени d в P n над полем k порядка q теорема Делиня дает оценку [15]
Есть также важные результаты о том, когда проективное многообразие над конечным полем k имеет хотя бы одну k -рациональную точку. Например, из теоремы Шевалле – Уорнера следует, что любая гиперповерхность X степени d в P n над конечным полем k имеет k -рациональную точку, если d ≤ n . Для гладкого X это также следует из теоремы Элен Эно о том, что каждое гладкое проективное рационально цепно связное многообразие, например любое многообразие Фано, над конечным полем k имеет k -рациональную точку. [16]
Смотрите также
- Арифметическая динамика
- Бирациональная геометрия
- Функтор представлен схемой
Заметки
- ^ Хиндри и Сильверман (2000), теорема A.4.3.1.
- ^ Сильверман (2009), замечание X.4.11.
- ^ Сильверман (2009), гипотеза X.4.13.
- ^ Хиндри и Сильверман (2000), теорема E.0.1.
- ^ Скоробогатов (2001), раздел 6,3.
- ^ Хиндри и Сильверман (2000), раздел F.5.2.
- ^ Hindry & Silverman (2000), теорема F.1.1.1.
- ↑ Campana (2004), гипотеза 9.20.
- ^ Хассетт (2003), теорема 6.4.
- ^ Хули (1988), теорема.
- ^ Хит-Браун (1983), теорема.
- ^ Кольё-Телена, Каневский & Сансюк (1987), раздел 7.
- ^ Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.
- ^ Коллар (2002), теорема 1.1.
- ^ Кац (1980), раздел II.
- ^ Эно (2003), следствие 1.3.
Рекомендации
- Кампана, Фредерик (2004), "орбифолды, специальные сорта и классификации теории" (PDF) , Annales де l'Institut Фурье , 54 (3): 499-630, DOI : 10,5802 / aif.2027 , MR 2097416
- Коллио-Телен, Жан-Луи ; Каневский, Дмитрий; Сансук, Жан-Жак (1987), «Арифметика поверхностей, диагональных кубиков», диофантова теория приближения и трансцендентности , конспект лекций по математике, 1290 , Springer Nature , стр. 1–108, doi : 10.1007 / BFb0078705 , ISBN 978-3-540-18597-0, Руководство по ремонту 0927558
- Эно, Элен (2003), «Многообразия над конечным полем с тривиальной группой Чжоу 0-циклов имеют рациональную точку», Inventiones Mathematicae , 151 (1): 187–191, arXiv : math / 0207022 , Bibcode : 2003InMat.151 ..187E , DOI : 10.1007 / s00222-002-0261-8 , МР 1943746
- Hassett, Brendan (2003), "Потенциал плотность рациональных точек на алгебраических многообразиях", Higher Dimensional Разновидности и рациональные точки (Будапешт, 2001) , Боляйте Общество математических исследований, 12 , Springer Природа , С. 223-282,. Дои : 10.1007 / 978-3-662-05123-8_8 , ISBN 978-3-642-05644-4, MR 2011748
- Хит-коричневый, DR (1983), "Кубические формы в десяти переменных", Труды Лондонского математического общества , 47 (2): 225-257, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-47.2.225 , MR 0703978
- Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Springer Nature , ISBN 978-0-387-98981-5, Руководство по ремонту 1745599
- Хули, Кристофер (1988), «О неарных кубических формах», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1988 (386): 32–98, doi : 10.1515 / crll.1988.386.32 , MR 0936992
- Кац, Н.М. (1980), «Работа Пьера Делиня» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , Хельсинки: Academia Scientiarum Fennica , стр. 47–52, MR 0562594
- Коллар, Янош (2002), «Унирациональность кубических гиперповерхностей», Журнал математического института Жассиу , 1 (3): 467–476, arXiv : math / 0005146 , doi : 10.1017 / S1474748002000117 , MR 1956057
- Пунен, Бьорн (2017), Рациональные аспекты многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3773-2, Руководство по ремонту 3729254
- Сильверман, Джозеф Х. (2009) [1986], Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.), Springer Nature , ISBN 978-0-387-96203-0, Руководство по ремонту 2514094
- Скоробогатов, Алексей (2001), Торсоры и рациональные точки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80237-6, Руководство по ремонту 1845760
Внешние ссылки
- Коллио-Телен, Жан-Луи (2015), Локально-глобальные принципы для рациональных точек и нулевых циклов (PDF)