Морфизм схем

В алгебраической геометрии морфизм схем обобщает морфизм алгебраических многообразий так же, как схема обобщает алгебраическое многообразие . По определению, это морфизм в категории схем.

Морфизм алгебраических стеков обобщает морфизм схем.

Определение [ править ]

По определению морфизм схем - это просто морфизм локально окольцованных пространств .

Схема, по определению, имеет открытые аффинные карты, и поэтому морфизм схем также может быть описан в терминах таких карт (сравните определение морфизма многообразий ). ^[1] Пусть ƒ: X → Y - морфизм схем. Если х есть точка X , так как ƒ непрерывно, существуют открытые аффинные подмножества U = Spec A из X , содержащих х и V = Spec B из Y такое , что f ( U ) ⊂ V . Тогда ƒ: U → V - морфизмаффинных схем и, таким образом, индуцируется некоторым гомоморфизмом колец B → A (см. #Affine case .) Фактически, можно использовать это описание для «определения» морфизма схем; говорят, что ƒ: X → Y является морфизмом схем, если он локально индуцирован гомоморфизмами колец между координатными кольцами аффинных карт.

• Примечание . Было бы нежелательно определять морфизм схем как морфизм окольцованных пространств. Одна тривиальная причина заключается в том, что существует пример морфизма окольцованных пространств между аффинными схемами, который не индуцируется гомоморфизмом колец (например, ^[2] морфизм окольцованных пространств:

  ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} к (x) \ to \ operatorname {Spec} k [y] _ {(y)} = \ {\ eta = (0), s = (y) \}}$

который отправляет уникальную точку в s и идет с ней .) Более концептуально определение морфизма схем должно отражать "локальную природу Зарисского" или локализацию колец ; ^[3] эта точка зрения (т. Е. Локально окольцованное пространство) существенна для обобщения (топос).${\ Displaystyle к [у] _ {(у)} \ к к (х), \, у \ mapsto х}$

Пусть ƒ: X → Y - морфизм схем с . Тогда для каждой точки x из X гомоморфизмы на стеблях:${\ displaystyle \ phi: {\ mathcal {O}} _ {Y} \ to f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle \ phi: {\ mathcal {O}} _ {Y, f (x)} \ to {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$

является локальным гомоморфизмом колец , т. е. индуцирует инъективный гомоморфизм полей вычетов${\ displaystyle \ phi ({\ mathfrak {m}} _ {f (x)}) \ subset {\ mathfrak {m}} _ {x}}$

${\ Displaystyle \ фи: к (е (х)) \ hookrightarrow к (х)}$.

(Фактически, φ отображает n- ю степень максимального идеала в n-ю степень максимального идеала и таким образом индуцирует отображение между кокасательными пространствами (Зарисского) .)

Для каждой схемы X существует естественный морфизм

${\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),}$

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда X аффинно; θ получается склеиванием ¯u → мишень , которые приходят от ограничений , чтобы открыть аффинное подмножества U из X . Этот факт можно также сформулировать следующим образом: для любой схемы X и кольца A существует естественная биекция:

${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

(Доказательство: отображение справа налево является требуемой биекцией. Короче говоря, θ является присоединением.)${\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta }$

Более того, этот факт (сопряженное отношение) можно использовать для характеристики аффинной схемы : схема X аффинна тогда и только тогда, когда для каждой схемы S естественное отображение

${\displaystyle \operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}$

биективен. ^[4] (Доказательство: если отображения биективны, то и X изоморфно по лемме Йонеды ; обратное ясно.)${\displaystyle \operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Морфизм как относительная схема [ править ]

Зафиксируем схему S , называемую базовой схемой . Тогда морфизм называется схемой над S или S -схемой; идея терминологии является то , что она представляет собой схему X вместе с картой к базовой схеме S . Например, векторное расслоение E → S над схемой S является S -схемой.${\displaystyle p:X\to S}$

S -морфизмом из р : Х → S к Q : Y → S морфизм ƒ: X → Y схем , таких , что р = д ∘ ƒ. Учитывая S -схему , рассматривая S как S -схему над собой через карту идентичности, S -морфизм называется S -секцией или просто сечением .${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle S\to X}$

Все S -схемы образуют категорию: объект в категории является S -схемой, а морфизм в категории - S -морфизмом. (Вкратце, эта категория является категорией срезов категории схем с базовым объектом S. )

Аффинный падеж [ править ]

Пусть - гомоморфизм колец и пусть ${\displaystyle \varphi :B\to A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}}$

- индуцированное отображение. потом

• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$непрерывно. ^[5]

• Если сюръективен, то является гомеоморфизмом на его образ. ^[6]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi ^{a}}$

• Для любого идеала I из А , ^[7]${\displaystyle {\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).}$

• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$имеет плотный образ тогда и только тогда, когда ядро состоит из нильпотентных элементов. (Доказательство: предыдущая формула с I = 0.) В частности, когда B сокращается, имеет плотный образ тогда и только тогда, когда он инъективен.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi ^{a}}$${\displaystyle \varphi }$

Пусть F : Spec → Spec B морфизм схем между аффинных схем с вытягиванию карты : B → A . То, что это морфизм локально окольцованных пространств, переводится в следующее утверждение: если является точкой из Spec A ,${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x={\mathfrak {p}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})}$.

(Доказательство: в общем случае состоит из g в A, который имеет нулевой образ в поле вычетов k ( x ); то есть он имеет образ в максимальном идеале . Таким образом, работая в локальных кольцах,. Если , то является единичный элемент, а также единичный элемент.)${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subset {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$${\displaystyle g(f(x))\neq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi (g)}$

Следовательно, каждый гомоморфизм колец B → A определяет морфизм схем Spec A → Spec B и, наоборот, все морфизмы между ними возникают таким образом.

Примеры [ править ]

Основные [ править ]

• Пусть R - поле или. Для каждой R -алгебры A задать элемент A , скажем f в A , означает задать гомоморфизм R -алгебр такой, что . Таким образом, . Если X - схема над S = Spec R , то взяв и используя тот факт, что Spec является правым сопряженным к глобальному функтору сечения, мы получим${\displaystyle \mathbb {Z} .}$${\displaystyle R[t]\to A}$${\displaystyle t\mapsto f}$${\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}$${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})}$

где . Обратите внимание на равенство колец.${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$

• Аналогично для любой S -схемы X происходит идентификация мультипликативных групп:

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})}$

где - мультипликативная групповая схема.${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])}$

• Многие примеры морфизмов происходят из семейств, параметризованных некоторым базовым пространством. Например,

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}$

является проективным морфизмом проективных многообразий, где базовое пространство параметризует квадрики в .${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Морфизм графа [ править ]

Принимая во внимание морфизм схем над схемой S , морфизм , индуцированный идентичности и F называется граф морфизм из F . Морфизм графа единицы называется диагональным морфизмом .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$

Типы морфизмов [ править ]

Конечный тип [ править ]

Морфизмы конечного типа - один из основных инструментов построения семейств многообразий. Морфизм конечного типа , если существует покрытие таким образом, что волокна могут быть покрыты конечным число аффинных схем , делающих индуцированное кольцо морфизмов в морфизмы конечно-типа . Типичным примером морфизма конечного типа является семейство схем. Например,${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}$${\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (B_{ij})}$${\displaystyle A_{i}\to B_{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}$

является морфизмом конечного типа. Простой не пример морфизма конечного типа - это где - поле. Другой - бесконечный непересекающийся союз${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \coprod ^{\infty }X\to X}$

Закрытое погружение [ править ]

Морфизм схем называется закрытым погружением, если выполняются следующие условия:${\displaystyle i:Z\to X}$

1. ${\displaystyle i}$определяет гомеоморфизм на свой образ${\displaystyle Z}$
2. ${\displaystyle i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ сюръективно

Это условие эквивалентно следующему: для аффинного открытого идеала существует такой идеал , что${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=U\subset X}$${\displaystyle I\subset R}$${\displaystyle i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$

Примеры [ править ]

Конечно, любое (градуированное) частное определяет подсхему в ( ). Рассмотрим квазиаффинную схему и подмножество осей, содержащихся в . Тогда, если мы возьмем открытое подмножество, пучок идеалов будет, в то время как на аффинном открытом подмножестве идеала нет, так как подмножество не пересекает эту карту.${\displaystyle R/I}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])}$

Отдельно [ править ]

Разделенные морфизмы определяют семейства схем, которые являются «хаусдорфовыми». Например, с учетом разделенного морфизма в ассоциированных аналитических пространствах оба являются хаусдорфовыми. Мы говорим, что морфизм схемы отделен, если диагональный морфизм является замкнутым погружением. В топологии эквивалентным условием хаусдорфизма пространства является то, что диагональное множество${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }$${\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}$

является замкнутым подмножеством .${\displaystyle X\times X}$

Примеры [ править ]

Будет выделено большинство морфизмов, встречающихся в теории схем. Например, рассмотрим аффинную схему

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

более Так как схема продукта${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).}$

${\displaystyle X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

идеал, определяющий диагональ, порождается

${\displaystyle x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y}$

показывающая диагональная схема аффинна и замкнута. Это же вычисление можно использовать, чтобы показать, что проективные схемы также разделены.

Без примеров [ править ]

Единственный раз, когда вы должны проявлять осторожность, - это когда вы склеиваете семейство схем. Например, если взять диаграмму включений

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}}$

тогда мы получаем теоретико-схемный аналог классической линии с двумя началами.

Правильный [ править ]

Морфизм называется собственным, если${\displaystyle f:X\to S}$

1. это отделено
2. конечного типа
3. универсально закрытый

Последнее условие означает, что данный морфизм морфизм с заменой основания является закрытым погружением. Большинство известных примеров собственных морфизмов на самом деле проективны; но примеры собственных многообразий, которые не являются проективными, можно найти с помощью торической геометрии . ${\displaystyle S'\to S}$${\displaystyle S'\times _{S}X}$

Проективный [ править ]

Проективные морфизмы определяют семейства проективных многообразий над фиксированной базовой схемой. Обратите внимание, что есть два определения: Хартсхорнс, в котором говорится, что морфизм называется проективным, если существует замкнутое погружение, и определение EGA, которое утверждает, что схема является проективной, если существует квазикогерентный -модуль конечного типа такой, закрытое погружение . Второе определение полезно, потому что точная последовательность модулей может использоваться для определения проективных морфизмов.${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}$${\displaystyle X\in {\text{Sch}}/S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$

Проективный морфизм над точкой [ править ]

Проективный морфизм определяет проективную схему. Например,${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

определяет проективную кривую рода над .${\displaystyle (n-1)(n-1)/2}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Семейство проективных гиперповерхностей [ править ]

Если позволить, то проективный морфизм${\displaystyle S=\mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)\to S}$

определяет семейство вырожденных многообразий Калаби-Яу.

Карандаш Лефшеца [ править ]

Другой полезный класс примеров проективных морфизмов - карандаши Лефшеца: они являются проективными морфизмами над некоторым полем . Например, для гладких гиперповерхностей, определяемых однородными многочленами, существует проективный морфизм${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{1},X_{2}\subset \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\displaystyle f_{1},f_{2}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}$

давая карандаш.

EGA Projective [ править ]

Хороший классический пример проективной схемы - это построение проективных морфизмов, которые разлагаются на рациональные свитки. Например, возьмем и векторное расслоение . Это может быть использовано для построения -расслоения за кадр . Если мы хотим построить проективный морфизм, используя этот пучок, мы можем взять точную последовательность, например${\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

который определяет структурный пучок проективной схемы в${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).}$

Квартира [ править ]

Интуиция [ править ]

Плоские морфизмы имеют алгебраическое определение, но имеют очень конкретную геометрическую интерпретацию: плоские семейства соответствуют семействам многообразий, которые изменяются «непрерывно». Например,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

- семейство гладких аффинных квадрических кривых, вырождающихся в нормальный дивизор кроссинга

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)}$

в происхождении.

Свойства [ править ]

Одно важное свойство, которому должен удовлетворять плоский морфизм, - это то, что размеры волокон должны быть одинаковыми. Тогда простой не пример плоского морфизма - это раздутие, поскольку слои являются либо точками, либо копиями некоторых .${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Определение [ править ]

Позвольте быть морфизм схем. Мы говорим, что он плоский в точке, если индуцированный морфизм дает точный функтор. Тогда, является плоским, если он плоский в каждой точке . Он также абсолютно плоский, если является сюръективным морфизмом.${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}$${\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

Не пример [ править ]

Используя нашу геометрическую интуицию, очевидно, что

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

не является плоским , поскольку слой над это с остальной частью волокон являются лишь точкой. Но мы также можем проверить это, используя определение с локальной алгеброй: Рассмотрим идеал Поскольку мы получаем морфизм локальной алгебры${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).}$${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}}$

Если мы тензор

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}\mathbb {C} [x]_{(x)}}$

с , карта${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

имеет ненулевое ядро ​​из-за обращения в нуль . Это показывает, что морфизм не плоский.${\displaystyle xy}$

Без разветвления [ править ]

Морфизм аффинных схем неразветвлен, если . Мы можем использовать это для общего случая морфизма схем . Мы говорим, что это неразветвленный в, если есть аффинная открытая окрестность и аффинно открытая такая, что и Тогда морфизм неразветвлен, если он неразветвлен в каждой точке в .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle V\subset Y}$${\displaystyle f(U)\subset V}$${\displaystyle \Omega _{U/V}=0.}$${\displaystyle X}$

Геометрический пример [ править ]

Одним из примеров морфизма, который является плоским и в целом неразветвленным, за исключением точки, является

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

Мы можем вычислить относительные дифференциалы, используя последовательность

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

показывая

${\displaystyle \Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}$

если взять слой , то морфизм разветвлен, так как${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)}$

в противном случае у нас есть

${\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}$

показывая, что он не разветвлен везде.

Etale [ править ]

Морфизм схем называется этальным, если он плоский и неструктурированный. Это алгебро-геометрический аналог накрывающих пространств. Два основных примера, о которых следует подумать, - это накрывающие пространства и конечные отделимые расширения полей. Примеры в первом случае можно построить, рассматривая разветвленные покрытия и ограничиваясь неразветвленным локусом.${\displaystyle f:X\to Y}$

Морфизмы как точки [ править ]

По определению, если X , S - схемы (над некоторой базовой схемой или кольцом B ), то морфизм из S в X (над B ) является S- точкой X и записывается:

${\displaystyle X(S)=\{f|f:S\to X{\text{ over }}B\}}$

для множества всех S -точек X . Это понятие обобщает понятие решений системы полиномиальных уравнений классической алгебраической геометрии. Действительно, пусть X = Spec ( A ) с . Для B -алгебры R получение R-точки в X означает получение гомоморфизма алгебры A → R , что, в свою очередь, равносильно заданию гомоморфизма${\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

${\displaystyle B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}}$

это убивает f _i 's. Таким образом, происходит естественная идентификация:

${\displaystyle X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.}$

Пример : если X является S -схемой со структурным отображением π: X → S , то S- точка X (над S ) - это то же самое, что сечение π.

В теории категорий , лемма Йонедов в говорит , что, учитывая категорию C , контра- функтор

${\displaystyle C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)}$

полностью точен (где означает категорию предпучков на C ). Применяя лемму к C = категории схем над B , это означает, что схема над B определяется своими различными точками.${\displaystyle {\mathcal {P}}(C)}$

Оказывается, что на самом деле достаточно рассматривать S -точки только с аффинными схемами S именно потому, что схемы и морфизмы между ними получаются склейкой аффинных схем и морфизмов между ними. Из-за этого обычно пишут X ( R ) = X (Spec R ) и рассматривают X как функтор из категории коммутативных B -алгебр к множествам .

Пример : даны S -схемы X , Y со структурными отображениями p , q ,

${\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)|p(x)=q(y)\}}$.

Пример : если B все еще обозначает кольцо или схему, для каждой B -схемы X существует естественная биекция

${\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n}(X)=}${Классы изоморфизма линейных расслоений L на X вместе с п + 1 глобальные сечения генерации L . };

фактически, сечения s _i в L определяют морфизм . (См. Также Proj construction # Global Proj .)${\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}$

Замечание : Вышеупомянутая точка зрения (которая называется функтором точек и принадлежит Гротендику) оказала значительное влияние на основы алгебраической геометрии. Например, работа с категориальным (псевдо) функтором вместо многозначного функтора приводит к понятию стека , который позволяет отслеживать морфизмы между точками.

Рациональная карта [ править ]

Аналогично определяется рациональное отображение схем для многообразий. Таким образом, рациональное отображение приведенной схемы X в отделенную схему Y является классом эквивалентности пары, состоящей из открытого плотного подмножества U в X и морфизма . Если X неприводимо, рациональная функция на X по определению является рациональным отображением из X в аффинную прямую или проективную прямую.${\displaystyle (U,f_{U})}$${\displaystyle f_{U}:U\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$

Рациональная карта является доминирующей тогда и только тогда, когда она отправляет общую точку в общую точку. ^[8]

Гомоморфизм колец между функциональными полями не обязательно индуцирует доминирующее рациональное отображение (даже просто рациональное отображение). ^[9] Например, Spec k [ x ] и Spec k ( x ) и имеют одно и то же функциональное поле (а именно, k (x)), но нет рационального отображения первого во второе. Однако верно, что любое включение функциональных полей алгебраических многообразий индуцирует доминирующее рациональное отображение (см. Морфизм алгебраических многообразий # Свойства .)

См. Также [ править ]

• регулярное вложение
• Конструируемый набор (топология)
• универсальный гомеоморфизм

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту  0217083 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Милн, Обзор алгебраической геометрии в алгебраических группах: Теория групповых схем конечного типа над полем.
• Вакиль, Основы алгебраической геометрии.