Однородный полином

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , однородный многочлен , который иногда называют Quantic в старых текстах, является многочленом которого отлично от нуля , все члены имеют одинаковую степень . ^[1] Например, является однородным многочленом степени 5 от двух переменных; сумма показателей в каждом члене всегда равна 5. Многочлен не является однородным, потому что сумма показателей не совпадает от члена к члену. Многочлен однороден тогда и только тогда, когда он определяет однородную функцию . ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$

Алгебраическая форма , или просто форма , является функция определяется однородным многочленом. ^[2] форма двоичной является формой двух переменных. Форма также функция , определенная на векторном пространстве , которое может быть выражено в виде однородной функции координат по любой основе .

Многочлен степени 0 всегда однороден; это просто элемент поля или кольца коэффициентов, обычно называемый константой или скаляром. Форма степени 1 - это линейная форма. ^[3] Форма степени 2 - это квадратичная форма . В геометрии , то евклидово расстояние является квадратным корнем из квадратичной формы.

Однородные полиномы повсеместно используются в математике и физике. ^[4] Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии, поскольку проективное алгебраическое многообразие определяется как множество общих нулей набора однородных многочленов.

Свойства [ править ]

Однородный многочлен определяет однородную функцию . Это означает, что если многомерный многочлен P однороден степени d , то

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

для каждого в любом поле , содержащем коэффициенты из P . Наоборот, если указанное выше соотношение верно для бесконечного числа, то многочлен однороден степени d .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

В частности, если P однородно, то

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

для всякого. Это свойство является основным в определении проективного многообразия .${\displaystyle \lambda .}$

Любой ненулевой многочлен может быть разложен единственным способом в сумму однородных многочленов разной степени, которые называются однородными компонентами многочлена.

Учитывая кольцо многочленов над полем (или, в более общем случае , кольцо ) К , однородные многочлены степени d образуют векторное пространство (или модуль ), который обычно обозначается выше уникальных средств разложения , что является прямой суммой из (суммы по всем неотрицательным целым числам ).${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle R_{d}.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{d}}$

Размерность векторного пространства (или свободного модуля ) есть число различных мономов степени д в п переменных (то есть максимальное число ненулевых членов в однородный многочлен степени д в п переменных). Он равен биномиальному коэффициенту${\displaystyle R_{d}}$

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

Однородный полином удовлетворяет тождеству Эйлера для однородных функций . То есть, если P - однородный многочлен степени d от имеющихся неопределенностей , в зависимости от того, какое из них является коммутативным кольцом коэффициентов,${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

где обозначает формальную частную производную от Р по отношению к${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle x_{i}.}$

Гомогенизация [ править ]

Неоднородный многочлен P ( x ₁ , ..., x _n ) может быть усреднен путем введения дополнительной переменной x ₀ и определения однородного многочлена, иногда обозначаемого ^h P : ^[5]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

где d представляет собой степень из P . Например, если

${\displaystyle P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

тогда

${\displaystyle ^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

Усредненный многочлен можно дегомогенизировать, установив дополнительную переменную x ₀ = 1. То есть

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

См. Также [ править ]

• Мультиоднородный полином
• Квазиоднородный полином
• Диагональная форма
• Градуированная алгебра
• Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
• Многолинейная форма
• Многолинейная карта
• Поляризация алгебраической формы
• Полином Шура
• Символ дифференциального оператора

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с однородными полиномами на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик У. «Однородный многочлен» . MathWorld .