В алгебраической геометрии функтор, представленный схемой X, является многозначным контравариантным функтором на категории схем, таким что значение функтора в каждой схеме S является (с точностью до естественной биекции) множеством всех морфизмов . Схема Х затем называется представляют функтор и что КЛАССИФИЦИРУЙТЕ геометрические объекты над S , данные F . [1]
Наиболее известный примером является схемой Гильберта схемы X (над некоторой фиксированной схемой основания), которое, когда оно существует, представляет собой функтор , посылающие схемы S к плоскому семейству замкнутых подсхем. [2]
В некоторых приложениях может оказаться невозможным найти схему, представляющую данный функтор. Это привело к понятию стека , который не совсем функтор, но его все же можно рассматривать как геометрическое пространство. (Схема Гильберта - это схема, а не стек, потому что, очень грубо говоря, теория деформации проще для замкнутых схем.)
Некоторые проблемы модулей решаются путем предоставления формальных решений (в отличие от полиномиальных алгебраических решений), и в этом случае результирующий функтор представляется формальной схемой . Такая формальная схема тогда называется алгебраизируемой, если существует другая схема, которая может представлять тот же функтор с точностью до некоторых изоморфизмов.
Мотивация
Это понятие является аналогом классифицирующего пространства в алгебраической топологии . В алгебраической топологии основной факт состоит в том, что каждое главное G -расслоение над пространством S является (с точностью до естественных изоморфизмов) обратным вызовом универсального расслоенияпо какой-то карте от S до. Другими словами, дать главное G- расслоение над пространством S - это то же самое, что дать карту (называемую классифицирующей картой) из пространства S в классифицирующее пространствоиз G .
Аналогичное явление в алгебраической геометрии задается линейной системой : дать морфизм проективного многообразия в проективное пространство - значит (с точностью до базовых локусов) дать линейную систему на проективном многообразии.
Лемма Йонеды утверждает, что схема X определяет и определяется своими точками. [3]
Функтор точек
Пусть X - схема . Его функтором точек является функтор
Hom (-, X ): (Аффинные схемы) op ⟶ Множества
отправка аффинной схемы А к набору схемы карты → X . [4]
Схема определяется с точностью до изоморфизма своим функтором точек. Это более сильная версия леммы Йонеды , которая утверждает, что X определяется отображением Hom (-, X ): Schemes op → Sets.
Наоборот, функтор F : (аффинные схемы) op → Sets является функтором точек некоторой схемы тогда и только тогда, когда F является пучком относительно топологии Зарисского на (аффинных схемах), а F допускает открытое покрытие аффинными схемами . [5]
Примеры
Очки как символы
Пусть Й схема над базовым кольцом B . Если х является теоретико-множественной точкой X , то поле вычетов из й представляет собой остаток поле локального кольца (т.е. фактор по максимальному идеалу). Например, если X - аффинная схема Spec ( A ) и x - простой идеал, то поле вычетов x является полем функций замкнутой подсхемы.
Для простоты предположим . Тогда включение теоретико-множественной точки x в X соответствует гомоморфизму колец:
(который если .)
Очки как разделы
По универсальному свойству расслоения каждая R- точка схемы X определяет морфизм R -схем
- ;
т.е. участок проекции . Если S является подмножеством X ( R ), то можно записатьдля множества изображений секций определяются элементами в S . [6]
Спецификация кольца двойных чисел
Позволять , Спецификация кольца двойственных чисел над полем k и X схема над k . Тогда каждыйсоставляет касательный вектор к X в точке, которая является изображением замкнутой точки карты. [1] Другими словами,есть множество касательных векторов к X .
Универсальный объект
Пусть F функтор представлена схема X . При изоморфизме, есть уникальный элемент что соответствует карте идентичности . Он называется универсальным объектом или универсальным семейством (когда классифицируемые объекты являются семействами). [1]
Смотрите также
Заметки
- ^ a b c Шафаревич , гл. VI § 4.1.
- ^ Шафаревич , гл. VI § 4.4.
- ^ Фактически, X определяется своими R -точками с различными кольцами R : в точных терминах, заданных схемах X , Y , любое естественное преобразование из функтора к функтору естественным образом определяет морфизм схем X → Y.
- ^ Стека проект, 01J5
- ^ Функтор точек, лемма Йонеды, пространства модулей и универсальные свойства (Брайан Оссерман), Cor. 3,6
- ^ Это похоже на стандартные обозначения; см., например, http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureIX-NPD.pdf
Рекомендации
- Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 3-540-63293-X.
- http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXIV-Borel.pdf
- Шафаревич, Игорь (1994). Основы алгебраической геометрии, второе, исправленное и дополненное издание, Vol. 2 . Springer-Verlag.