Двойной номер

В алгебре , то дуальные числа являются гиперкомплексная номер системы впервые в 19 - м веке. Это выражения вида $a + bε$ , где $a$ и $b$ - действительные числа , а $ε$ - символ, который должен удовлетворять . ${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} = 0}$

Двойные числа можно складывать покомпонентно и умножать по формуле

{\ displaystyle (a + b \ varepsilon) (c + d \ varepsilon) = ac + (ad + bc) \ varepsilon,}

что следует из свойства $ε 2 = 0$ и того факта, что умножение является билинейной операцией .

Двойные числа образуют коммутативную алгебру в размерности два над полем действительных чисел, а также артиново локальное кольцо . Это один из простейших примеров кольца с ненулевыми нильпотентными элементами .

История [ править ]

Двойные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Штудом , который использовал их для обозначения двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойственный угол как $ϑ + dε$ , где $ϑ$ - угол между направлениями двух прямых в трехмерном пространстве, а $d$ - расстояние между ними. $П$ - мерное обобщение, то число Грассмана , было представлено Грассманом в конце 19 - го века.

Определение в абстрактной алгебре [ править ]

В абстрактной алгебре , алгебра дуальных чисел часто определяются как частное от в кольце многочленов над вещественными числами от главного идеала , порожденной площадью в неопределенном , т.е. ${\ Displaystyle (\ mathbb {R})}$

{\ displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} \ rangle.}

Представление в алгебрах [ править ]

Двойное число может быть представлено матрицей . Это работает, потому что матрица возводится в квадрат нулевой матрицы, аналогично двойному числу . ${\ displaystyle a + b \ epsilon}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Есть и другие способы представления двойных чисел в виде матриц. Рассмотрим только случай вещественных матриц. Достаточно найти представление двойственных чисел и . По определению представления алгебры , должно быть представлено единичной матрицей, что оставляет нам возможность рассмотреть возможные матричные представления . Мы должны добиться, чтобы это представление квадратов равнялось нулевой матрице . Набор таких матриц определяется выражением ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & -a \ end {pmatrix}}}

где Каждое такое матричное представление (за исключением случая ) определяет представление и, следовательно, двойственных чисел в целом. ${\ displaystyle a ^ {2} + bc = 0.}$ ${\ displaystyle a = b = c = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

В общем случае , если унитальная алгебра над вещественными числами содержит ненулевой элемент таким образом, что , то линейная оболочка из и является изоморфной к двойственным числам. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle a}$

В автоморфизмах алгебры дуальных чисел получаются путем отображения для произвольного ненулевого кратного . Другими словами, каждый автоморфизм принимает форму некоторого ненулевого действительного числа . Если мы далее ограничим эти автоморфизмы инволютивностью , то у нас будет только две возможности: отображения и . Первое часто пишут , как комплексное спряжение . ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle a + b \ epsilon \ mapsto a + (\ lambda b) \ epsilon}$ $\lambda$ $a+b\epsilon \mapsto a-b\epsilon$ $a+b\epsilon \mapsto a+b\epsilon$ $(a+b\epsilon )^{*}$

Дифференциация [ править ]

Одно из применений двойных чисел - автоматическое дифференцирование . Рассмотрим действительные двойные числа выше. Для любого действительного многочлена $P (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + ... + p n x n$ несложно расширить область определения этого многочлена с вещественных до двойственных чисел. Тогда у нас есть такой результат:

{\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )={}&p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[5pt]={}&p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5pt]={}&P(a)+bP^{\prime }(a)\varepsilon ,\end{aligned}}

где $Р'$ является производной $Р$ .

В более общем смысле, мы можем расширить любую (аналитическую) действительную функцию на двойственные числа, посмотрев на ее ряд Тейлора :

f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,

так как все члены, содержащие $ε 2$ или больше, тривиально равны 0 по определению $ε$ .

Вычисляя композиции этих функций по двойственным числам и исследуя коэффициент при $ε$ в результате, мы обнаруживаем, что мы автоматически вычислили производную композиции.

Аналогичный метод работает для многочленов от $n$ переменных, используя внешнюю алгебру $n-$ мерного векторного пространства.

Геометрия [ править ]

«Единичный круг» двойственных чисел состоит из чисел с $a = \pm 1,$ поскольку они удовлетворяют условию $zz * = 1,$ где $z * = a - bε$ . Однако обратите внимание, что

e^{b\varepsilon }=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}\right)=1+b\varepsilon ,

поэтому экспоненциальное отображение, примененное к оси $ε,$ покрывает только половину «круга».

Пусть $z = a + bε$ . Если $a \neq 0$ и $m = б / а$ , то $z = a (1 + mε)$ - полярное разложение двойственного числа $z$ , а наклон $m$ - его угловая часть. Концепция вращения в плоскости двойственных чисел эквивалентна отображению вертикального сдвига, поскольку $(1 + pε) (1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

В абсолютном пространстве и времени галилеянин преобразования

\left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,

это

t'=t,\quad x'=vt+x,

связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета скорости $v$ . С двойными числами $t + xε,$ представляющими события в одном пространственном измерении и времени, то же преобразование выполняется с умножением на $1 + vε$ .

Циклы [ править ]

Учитывая два двойных числа $p$ и $q$ , они определяют набор $z,$ такой, что разница в наклонах («угол Галилея») между прямыми от $z$ до $p$ и $q$ постоянна. Этот набор представляет собой цикл в двойной числовой плоскости; поскольку уравнение, устанавливающее разность углов наклона линий как константу, является квадратным уравнением в действительной части $z$ , цикл является параболой . «Циклическое вращение» дуальной числовой плоскости происходит как движение ее проективной прямой . По словам Исаака Яглома , ^[1]^{: 92–93.}цикл $Z = {z : y = αx 2}$ инвариантен относительно композиции сдвига

x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y

с переводом

x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.

Подразделение [ править ]

Деление двойных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя отлична от нуля. Процесс деления аналогичен сложному делению в том смысле, что знаменатель умножается на его сопряженное значение, чтобы исключить ненастоящие части.

Следовательно, разделив уравнение вида

{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}

умножаем верх и низ на сопряжение знаменателя:

{\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}

который определяется, когда c не равно нулю .

Если, с другой стороны, $c$ равно нулю, а $d$ - нет, то уравнение

{a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}

не имеет решения, если $a не$ равно нулю
в противном случае решается любым двойственным числом вида $б / d + yε$ .

Это означает, что нереальная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто нереальных двойственных чисел. В самом деле, они (тривиально) являются делителями нуля и, очевидно, образуют идеал ассоциативной алгебры (и, следовательно, кольца ) двойственных чисел.

Приложения в механике [ править ]

Двойные числа находят применение в механике , особенно в кинематическом синтезе. Например, двойные числа позволяют преобразовать уравнения ввода / вывода четырехзвенной сферической связи, которая включает только ротоидальные соединения, в четырехзвенный пространственный механизм (ротоид, ротоид, ротоид, цилиндр). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов и двойной части, имеющей единицы длины. ^[2] Подробнее см. Теорию винта .

Обобщения [ править ]

Эта конструкция может быть выполнена в более общем смысле : для коммутативных кольца $R$ можно определить двойное число над $R$ как частное от кольца многочленов $R [X]$ по идеалу $(Х 2)$ : изображение $X$ , то есть квадрат равен нулю и соответствует элементу $ε$ сверху.

Произвольный модуль элементов нулевого квадрата [ править ]

Существует более общая конструкция двойственных чисел. Для коммутативного кольца и модуля существует кольцо, называемое кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры: $R$ $M$ $R[M]$

Это -модуль с умножением, определенным для и $R$ $R\oplus M$ $(r,i)\cdot (r',i')=(rr',ri'+r'i)$ $r,r'\in R$ $i,i'\in I.$

Алгебра двойственных чисел - это частный случай, когда и $M=R$ $\varepsilon =(0,1).$

Суперпространство [ править ]

Двойственные числа находят применение в физике , где они составляют один из простейших нетривиальных примеров суперпространства . Эквивалентно, это сверхчисла только с одним генератором; сверхчисла обобщают концепцию на $n$ различных генераторов $ε$ , каждый антикоммутирующий, возможно, доводящий $n$ до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.

Мотивация введения двойственных чисел в физику следует из принципа исключения Паули для фермионов. Направление вдоль $ε$ называется «фермионным» направлением, а действительная составляющая - «бозонным» направлением. Фермионное направление получило свое название от того факта, что фермионы подчиняются принципу исключения Паули: при обмене координатами квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, исчезает, если две координаты сближаются; эта физическая идея фиксируется алгебраическим соотношением $ε 2 = 0$ .

Проективная линия [ править ]

Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинули Грюнвальд ^[3] и Коррадо Сегре . ^[4]

Подобно тому, как сфере Римана требуется точка северного полюса на бесконечности, чтобы закрыть комплексную проективную линию , так и прямая на бесконечности преуспевает в замыкании плоскости двойных чисел в цилиндр . ^[1]^{: 149–153}

Предположим, что $D$ - кольцо двойственных чисел $x + yε,$ а $U$ - подмножество с $x \neq 0$ . Тогда $U$ представляет собой группу единиц из $D$ . Пусть $B = {(a, b) \in D \times D : a \in U или b \in U}$ . Соотношение определяется на B следующим образом : $( , б) ~ (с, d)$ , когда существует $U$ в $U$ такие, что $ua = c$ и $ub = d$ . Это отношение фактически является отношением эквивалентности . Точки проективной прямой над $D$ являются классами эквивалентности в $B$ при таком соотношении: $P (D) = B / ~$ . Они представлены проективными координатами $[a, b]$ .

Рассмотрим вложение $D \to P (D)$ посредством $z \to [z, 1]$ . Тогда точки $[1, n]$ при $n 2 = 0$ находятся в $P (D),$ но не являются образом какой-либо точки при вложении. $P (D)$ отображается на цилиндр путем проекции : Возьмем цилиндр касательной к плоскости двойного числа на линии ${yε : у \in ℝ}$ , $ε 2 = 0$ . Теперь возьмите противоположную линию на цилиндре за ось пучка плоскостей. Плоскости, пересекающие плоскость с двойными числами и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная плоскости двойственных чисел, соответствует точкам $[1, n]$ , $n 2 = 0$ на проективной прямой над двойственными числами.

См. Также [ править ]

Гладкий анализ бесконечно малых
Теория возмущений
Теория винта
Двойное комплексное число
Преобразования Лагерра
Число Грассмана

Ссылки [ править ]

^ а б Яглом, ИМ (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа . Springer. ISBN 0-387-90332-1. Руководство по ремонту 0520230 .
^ Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захариев, Евтим (ред.), "Применение дуальной алгебры к кинематическому анализу", Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация , Серия НАТО ASI, Springer Berlin Heidelberg, 161 , стр. 3–32, doi : 10.1007 / 978-3-662-03729-4_1 , ISBN 9783662037294
^ Грюнвальд, Йозеф (1906). "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie". Monatshefte für Mathematik . 17 : 81–136. DOI : 10.1007 / BF01697639 . S2CID 119840611 .
^ Сегре, Коррадо (1912). "XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali". Опере .Также в Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino 47 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Бенчивенга, Ульдерико (1946). "Sulla rappresentazione geometrya delle algebre doppie dotate di modulo". Атти делла Реале Академия науки и прекрасной летописи Неаполя . 3. 2 (7). Руководство по ремонту 0021123 .
Клиффорд, Уильям Кингдон (1873). «Предварительный набросок би-кватернионов». Труды Лондонского математического общества . 4 : 381–395.
Харкин, Энтони А .; Харкин, Джозеф Б. (2004). «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF) . Математический журнал . 77 (2): 118–129. DOI : 10.1080 / 0025570X.2004.11953236 . S2CID 7837108 .
Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382.
Этюд, Эдуард (1903). Geometrie der Dynamen . п. 196.Из историко-математических монографий Корнелла в Корнельском университете .
Яглом, Исаак (1968). Комплексные числа в геометрии . Академическая пресса . п. 12 –18.
Брэнд, Луи (1947). Векторный и тензорный анализ . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья.
Фишер, Ян С. (1999). Методы двойных чисел в кинематике, статике и динамике . Бока-Ратон: CRC Press.
Бертрам, В. (2008). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства над общими базовыми полями и кольцами, Мемуары AMS vol. 192, п. 900 . Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc.
« » Higher «касательное пространство» . math.stackexchange.com .

[yaglom-1] а б Яглом, ИМ (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа . Springer. ISBN 0-387-90332-1. Руководство по ремонту 0520230 .

[2] Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захариев, Евтим (ред.), "Применение дуальной алгебры к кинематическому анализу", Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация , Серия НАТО ASI, Springer Berlin Heidelberg, 161 , стр. 3–32, doi : 10.1007 / 978-3-662-03729-4_1 , ISBN 9783662037294

[3] Грюнвальд, Йозеф (1906). "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie". Monatshefte für Mathematik . 17 : 81–136. DOI : 10.1007 / BF01697639 . S2CID 119840611 .

[4] Сегре, Коррадо (1912). "XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali". Опере .Также в Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino 47 .

vтеКоличество систем
Счетные множества	Натуральные числа ( ) $\mathbb {N}$ Целые числа ( ) $\mathbb {Z}$ Рациональные числа ( ) $\mathbb {Q}$ Конструируемые числа Алгебраические числа ( ) $\mathbb {A}$ Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : действительные числа ( ) $\mathbb {R}$ Комплексные числа ( ) $\mathbb {C}$ Кватернионы ( ) $\mathbb {H}$ Октонионы ( ) $\mathbb {O}$
Сплит- типы	более : $\mathbb {R}$ Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над : $\mathbb {C}$ Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ) $\mathbb {S}$ Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа( p -адические соленоиды) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список

vтеБесконечно малые
История	Адекватность Обозначения Лейбница Интегральный символ Критика нестандартного анализа Аналитик Метод механических теорем Принцип Кавальери Метод неделимых
Связанные отрасли	Нестандартный анализ Нестандартное исчисление Теория внутреннего множества Синтетическая дифференциальная геометрия Гладкий анализ бесконечно малых Конструктивный нестандартный анализ Теория бесконечно малых деформаций (физика)
Формализации	Дифференциалы Гиперреальные числа Двойные числа Сюрреалистические числа
Индивидуальные концепции	Стандартная функция детали Принцип передачи Hyperinteger Теорема об увеличении Монада Внутренний набор Поле Леви-Чивита Сверхконечное множество Закон непрерывности Переполнение Микропрерывность Трансцендентный закон однородности
Математики	Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон Пьер де Ферма Огюстен-Луи Коши Леонард Эйлер
Учебники	Анализируйте des Infiniment Petits Элементарное исчисление Cours d'Analyse