Нулевая матрица

В математике , особенно в линейной алгебре , нулевая матрица или нулевая матрица - это матрица, все элементы которой равны нулю . Он также служит в качестве аддитивной идентичности в аддитивную группу из матриц, и обозначается символом или -followed индексов соответствующих размерности матрицы в зависимости от контекста считает нужным. ^{[1] [2] [3] [4]} Некоторые примеры нулевых матриц:${\ Displaystyle м \ раз п}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle 0_ {1,1} = {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}. \}$

Свойства [ править ]

Набор матриц с элементами кольца K образует кольцо . Нулевая матрица в - это матрица, все элементы которой равны , где - аддитивная единица в K. ${\ Displaystyle м \ раз п}$${\ displaystyle K_ {m, n}}$${\ Displaystyle 0_ {К_ {м, п}} \,}$${\ Displaystyle К_ {м, п} \,}$${\ displaystyle 0_ {K} \,}$${\ displaystyle 0_ {K}}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = {\ begin {bmatrix} 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K } \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0_ {K} & 0_ {K} & \ cdots & 0_ {K} \ end {bmatrix}} _ {m \ times n}}$

Нулевая матрица - это аддитивная единица в . ^[5] То есть при всем удовлетворяет уравнению${\ Displaystyle К_ {м, п} \,}$${\ Displaystyle А \ в К_ {м, п} \,}$

${\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A.}$

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m × n (с элементами из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто ссылаются на нулевую матрицу. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается 0 без нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование, которое отправляет все векторы в нулевой вектор . ^[6] Он идемпотентен , что означает, что когда он умножается сам на себя, результатом становится он сам.

Нулевая матрица - единственная матрица, ранг которой равен 0.

События [ править ]

Проблема матрицы смертных - это проблема определения, учитывая конечный набор матриц размера n × n с целочисленными элементами, можно ли их перемножить в каком-то порядке, возможно, с повторением, чтобы получить нулевую матрицу. Это, как известно, неразрешимо для набора из шести или более матриц 3 × 3 или набора из двух матриц 15 × 15. ^[7]

В обычной регрессии наименьших квадратов , если данные идеально подходят, аннигиляторная матрица является нулевой матрицей.

См. Также [ править ]

• Матрица идентичности , мультипликативная идентичность для матриц
• Матрица единиц , матрица, в которой все элементы являются одним
• Нильпотентная матрица
• Матрица с одним элементом, матрица , в которой все элементы, кроме одного, равны нулю.

Ссылки [ править ]