Матрица единиц

В математике , матрица из них или всех-онов матрица представляет собой матрицу , где каждый элемент равен одному . ^[1] Примеры стандартных обозначений приведены ниже:

${\ displaystyle J_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} }; \ quad J_ {2,5} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {1,2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \ end {pmatrix}} . \ quad}$

Некоторые источники называют все-те матрицы на единичную матрицу , ^[2] , но этот термин может также относиться к единичной матрице , другой матрицы.

Вектор из единиц или всех единиц вектора является матрицей из единиц , имеющей строку или столбца формы .

Свойства [ править ]

Для матрицы единиц J размера n × n выполняются следующие свойства:

• След от J является п , ^[3] , и определитель равен 1 , если п равно 1 или 0 в противном случае.
• Характеристический полином от J является .${\ Displaystyle (хп) х ^ {п-1}}$
• Ранг J равен 1, а собственные значения - n с кратностью 1 и 0 с кратностью n - 1 . ^[4]
• ${\ Displaystyle J ^ {k} = n ^ {k-1} J}$для ^[5]${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots.}$
• J - нейтральный элемент произведения Адамара . ^[6]

Когда J рассматривается как матрица вещественных чисел , сохраняются следующие дополнительные свойства:

• J - положительная полуопределенная матрица .
• Матрица является идемпотентной . ^[5]${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}} J}$
• Матрица экспоненциальное из J является${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.}$

Приложения [ править ]

Матрица всех единиц возникает в математической области комбинаторики , особенно в связи с применением алгебраических методов к теории графов . Например, если A - матрица смежности неориентированного графа G с n вершинами , а J - матрица всех единиц той же размерности, то G является регулярным графом тогда и только тогда, когда AJ  =  JA . ^[7] В качестве второго примера, матричные появляется в некоторых линейных-алгебраических доказательств формулы Кэли , что дает число остовных деревьев в А полный граф , используя теорему о матричном дереве .

См. Также [ править ]

• Нулевая матрица , матрица , в которой все элементы равны нулю.
• Матрица с однократной записью

Ссылки [ править ]