Номер гиперкомплекса

В математике , гиперкомплексный номер является традиционным термином для элемента из конечномерной унитальной алгебры над полем из действительных чисел . Изучение гиперкомплексных чисел в конце 19 века составляет основу современной теории представлений групп.

История [ править ]

В девятнадцатом веке системы счисления, называемые кватернионами , тессаринами , кокватернионами , бикватернионами и октонионами, стали устоявшимися понятиями в математической литературе, добавленными к действительным и комплексным числам . Концепция гиперкомплексного числа охватывала их всех и требовала дисциплины для их объяснения и классификации.

Проект каталогизации начался в 1872 году, когда Бенджамин Пирс впервые опубликовал свою линейную ассоциативную алгебру , и был продолжен его сыном Чарльзом Сандерсом Пирсом . ^[1] Что наиболее важно, они определили нильпотентные и идемпотентные элементы как полезные гиперкомплексные числа для классификации. Конструкция Кэли-Диксона использовала инволюции для генерации комплексных чисел, кватернионов и октонионов из действительной системы счисления. Гурвиц и Фробениус доказали теоремы, которые ограничивают гиперкомплексность: теорема Гурвица утверждает, что конечномерные вещественные композиционные алгебрыявляются вещественными числами , комплексы , кватернионы , и октонионов , и теорема Фробениус говорит только действительные ассоциативные алгебры с делением являются , и . В 1958 году Дж. Франк Адамс опубликовал дальнейшее обобщение в терминах инвариантов Хопфа на H -пространствах, которое все еще ограничивает размерность 1, 2, 4 или 8. ^[2]${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {O}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Именно матричная алгебра использовала гиперкомплексные системы. Во-первых, матрицы предоставили новые гиперкомплексные числа, такие как вещественные матрицы 2 × 2 (см. Разделение кватерниона ). Вскоре матричная парадигма начала объяснять другие, поскольку они стали представлены матрицами и их операциями. В 1907 году Джозеф Веддерберн показал, что ассоциативные гиперкомплексные системы могут быть представлены квадратными матрицами или прямым произведением алгебр квадратных матриц. ^{[3] [4]} С этого момента предпочтительным термином для гиперкомплексной системы стала ассоциативная алгебра, как видно из названия диссертации Веддерберна в Эдинбургском университете.. Обратите внимание, однако, что неассоциативные системы, такие как октонионы и гиперболические кватернионы, представляют собой другой тип гиперкомплексного числа.

Как объясняет Хокинс ^[5] , гиперкомплексные числа - это ступенька к изучению групп Ли и теории представлений групп. Например, в 1929 году Эмми Нётер писала о «гиперкомплексных величинах и теории представлений». ^[6] В 1973 году Кантор и Солодовников опубликовали учебник по гиперкомплексным числам, который был переведен в 1989 году. ^{[7] [8]}

Карен Паршалл написала подробное изложение расцвета гиперкомплексных чисел ^[9], включая роль математиков, включая Теодора Мольена ^[10] и Эдуарда Штюда . ^[11] Для перехода к современной алгебре , Бартель ван дер Варден посвящает тридцать страниц в гиперкомплексные числа в своей истории алгебры . ^[12]

Определение [ править ]

Определение гиперкомплексного числа дано Кантором и Солодовниковым (1989) как элемент конечномерной алгебры над действительными числами, которая является единичной, но не обязательно ассоциативной или коммутативной . Элементы генерируются с действительными числовыми коэффициентами за основу . По возможности принято подбирать основу так, чтобы . Технический подход к гиперкомплексным числам обращает внимание прежде всего на числа второго измерения .${\ Displaystyle (а_ {0}, \ точки, а_ {п})}$${\ Displaystyle \ {1, я_ {1}, \ точки, я_ {п} \}}$${\ displaystyle i_ {k} ^ {2} \ in \ {- 1,0, + 1 \}}$

Двумерные вещественные алгебры [ править ]

Теорема: ^{[7] : 14,15 [13] [14] С} точностью до изоморфизма существует ровно три двумерных алгебры с единицей над действительными числами: обычные комплексные числа , расщепленные комплексные числа и двойственные числа . В частности, всякая двумерная алгебра с единицей над вещественными числами ассоциативна и коммутативна.

Доказательство: поскольку алгебра двумерна, мы можем выбрать базис {1, u }. Поскольку алгебра замкнута относительно возведения в квадрат, невещественный базисный элемент u преобразуется в линейную комбинацию 1 и u :

${\ displaystyle u ^ {2} = a_ {0} + a_ {1} u}$

для некоторых действительных чисел a ₀ и a ₁ . Используя общий метод полного квадрата путем вычитания на ₁ U и добавление квадратичную комплемента а ,²
₁ / 4 в обе стороны дает

${\ displaystyle u ^ {2} -a_ {1} u + {\ frac {a_ {1} ^ {2}} {4}} = a_ {0} + {\ frac {a_ {1} ^ {2}} {4}}.}$

Таким образом, где Три случая зависят от этого реального значения:${\ displaystyle \ left (u - {\ гидроразрыва {a_ {1}} {2}} \ right) ^ {2} = {\ tilde {u}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {u}} ^ {2} ~ = a_ {0} + {\ frac {a_ {1} ^ {2}} {4}}.}$

• Если 4 a ₀ = - a ₁ ² , приведенная выше формула дает ũ ² = 0 . Следовательно, ũ можно напрямую отождествить с нильпотентным элементом базиса двойственных чисел.${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ {1, ~ \ epsilon \}}$
• Если 4 a ₀ > - a ₁ ² , приведенная выше формула дает ũ ² > 0 . Это приводит к разделению комплексных чисел, которые имеют нормализованный базис с . Для получения J из ˙U , последняя должна быть разделена на положительное число , которое имеет такую же площадь , как ˙U имеет.${\ displaystyle \ {1, ~ j \}}$${\displaystyle j^{2}=+1}$${\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}$
• Если 4 a ₀ <- a ₁ ² , приведенная выше формула дает ũ ² <0 . Это приводит к комплексным числам, которые имеют нормализованный базис с . Для того, чтобы выход I из ¯u , последний должен быть разделен на положительное действительное число какой квадратов к отрицательной части ¯u ² .${\displaystyle \{1,~i\}}$${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$

Комплексные числа - единственная двумерная гиперкомплексная алгебра, которая является полем . Алгебры, такие как расщепленные комплексные числа, которые включают невещественные корни из 1, также содержат идемпотенты и делители нуля , поэтому такие алгебры не могут быть алгебрами с делением . Тем не менее, эти свойства могут оказаться очень значимыми, например , в описании преобразования Лоренца из специальной теории относительности .${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}$ ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$

В выпуске журнала Mathematics Magazine за 2004 год двумерные вещественные алгебры были названы «обобщенными комплексными числами». ^[15] Идея взаимного отношения четырех комплексных чисел может быть распространена на двумерные вещественные алгебры. ^[16]

Примеры более высоких измерений (более одной ненастоящей оси) [ править ]

Алгебры Клиффорда [ править ]

Алгебра Клиффорд является унитальной ассоциативной алгебра порождается над нижележащим векторным пространством , снабженным квадратичной формой . Для действительных чисел это эквивалентно возможности определить симметричное скалярное произведение u ⋅ v =1/2( uv + vu ), который можно использовать для ортогонализации квадратичной формы, чтобы получить базис { e ₁ , ..., e _k } такой, что:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{matrix}}\right.}$

Замыкание при умножении порождает мультивекторное пространство, порожденное базисом из 2 ^k элементов, {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ ,. ..}. Их можно интерпретировать как основу гиперкомплексной системы счисления. В отличие от базиса { e ₁ , ..., e _k }, оставшиеся базовые элементы не нуждаются в антикоммутации, в зависимости от того, сколько простых обменов должно быть выполнено, чтобы поменять местами два фактора. Итак, e ₁ e ₂ = -e ₂ e ₁ , но e ₁ ( e ₂ e ₃ ) = + ( e ₂ e ₃ ) e ₁ .

Если отложить в сторону базисы, содержащие такой элемент e _i , что e _i ² = 0 (т. Е. Направления в исходном пространстве, по которым квадратичная форма была вырожденной ), оставшиеся алгебры Клиффорда можно идентифицировать по метке Cl _{p , q} ( R ) , что указывает на то, что алгебра построена из p простых базисных элементов с e _i ² = +1 , q с e _i ² = −1 и где R указывает, что это должна быть алгебра Клиффорда над действительными числами, т. е. коэффициенты элементов алгебры должны быть действительными числами.

Эти алгебры, называемые геометрические алгебрами , образуют систематический набор, которые оказываются весьма полезными в задачах физики , которые включают повороты , фазу или спины , в частности , в классической и квантовой механике , электромагнитной теории и теории относительности .

Примеры включают: комплексные числа Cl _0,1 ( R ), расщепленные комплексные числа Cl _1,0 ( R ), кватернионы Cl _0,2 ( R ), расщепленные бикватернионы Cl _0,3 ( R ), расщепленные кватернионы Cl _1,1 ( R ) ≈ Cl _2,0 ( R ) (естественная алгебра двумерного пространства); Cl _3,0 ( R ) (естественная алгебра трехмерного пространства и алгебра матриц Паули); и алгебра пространства-времени Cl _1,3 ( R ).

Элементы алгебры Cl _{p , q} ( R ) образуют четную подалгебру Cl^[0]
_{q +1, p}( R ) алгебры Cl _{q +1, p} ( R ), которая может использоваться для параметризации поворотов в большей алгебре. Таким образом, существует тесная связь между комплексными числами и вращениями в двумерном пространстве; между кватернионами и вращениями в трехмерном пространстве; между расщепленными комплексными числами и (гиперболическими) вращениями ( преобразованиями Лоренца ) в 1 + 1-мерном пространстве и так далее.

В то время как конструкции Кэли-Диксона и расщепленные комплексные конструкции с восемью или более измерениями не ассоциативны по отношению к умножению, алгебры Клиффорда сохраняют ассоциативность в любом количестве измерений.

В 1995 году Ян Р. Портеус написал о «Распознавании подалгебр» в своей книге об алгебрах Клиффорда. Его Предложение 11.4 суммирует гиперкомплексные случаи: ^[17]

Пусть A - вещественная ассоциативная алгебра с единичным элементом 1. Тогда

• 1 порождает R ( алгебру действительных чисел ),
• любая двумерный подалгебра , порожденная элемент й ₀ из таким образом, что х ₀ ² = -1 изоморфно C ( алгебра комплексных чисел ),
• любая двумерный подалгебра , порожденная элементом й ₀ из таким образом, что е ₀ ² = 1 изоморфен R ² (пары действительных чисел с покомпонентным продуктом, изоморфных алгеброй сплита-комплексных чисел ),
• любая четырехмерная подалгебра, порожденная набором { e ₀ , e ₁ } взаимно антикоммутирующих элементов алгебры A , изоморфная H ( алгебра кватернионов ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$
• любая четырехмерная подалгебра, порожденная набором { e ₀ , e ₁ } взаимно антикоммутирующих элементов алгебры A , изоморфная M ₂ ( R ) ( вещественные матрицы 2 × 2 , кокватернионы ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$
• любая восьмимерная подалгебра, порожденная набором { e ₀ , e ₁ , e ₂ } взаимно антикоммутирующих элементов алгебры A, такая, что она изоморфна ² H ( расщепляемые бикватернионы ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$
• любая восьмимерная подалгебра, порожденная набором { e ₀ , e ₁ , e ₂ } взаимно антикоммутирующих элементов алгебры A , изоморфная M ₂ ( C ) ( комплексные матрицы 2 × 2 , бикватернионы , алгебра Паули ).${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$

Для расширения за пределы классических алгебр см. Классификация алгебр Клиффорда .

Конструкция Кэли-Диксона [ править ]

Все алгебры Клиффорда Cl _{p , q} ( R ), кроме действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов, содержат нереальные элементы, квадраты которых равны +1; и поэтому не могут быть алгебрами с делением. Другой подход к расширению комплексных чисел используется конструкцией Кэли – Диксона . Это генерирует системы счисления размерности 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ..., с базами , где все нереальные базисные элементы антикоммутируют и удовлетворяют . В 8 или более измерениях ( n ≥ 3 ) эти алгебры неассоциативны. В 16 или более измерениях ( n ≥ 4 ) эти алгебры также имеют делители нуля${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}$${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$.

Первыми алгебрами в этой последовательности являются четырехмерные кватернионы , восьмимерные октонионы и 16-мерные седенионы . Алгебраическая симметрия теряются с каждым увеличением размерности: кватернионы умножение не коммутативно , октонионы умножение не- ассоциативный , а норма о sedenions не мультипликативная.

Конструкцию Кэли – Диксона можно изменить, добавив на некоторых этапах дополнительный знак. Затем он генерирует «расщепленные алгебры» в наборе композиционных алгебр вместо алгебр с делением:

расщепленные комплексные числа с удовлетворяющим базисом ,${\displaystyle \{1,i_{1}\}}$${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$

расщепленные кватернионы с удовлетворяющим базисом , и${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}$${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

сплит-октонионы с удовлетворяющим основанием ,${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}$${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.}$

В отличие от комплексных чисел, расщепленные комплексные числа не являются алгебраически замкнутыми и, кроме того, содержат нетривиальные делители нуля и нетривиальные идемпотенты . Как и кватернионы, расщепленные кватернионы не коммутативны, но содержат нильпотенты ; они изоморфны квадратным матрицам размерности два. Сплит-октонионы неассоциативны и содержат нильпотенты.

Тензорные продукты [ править ]

Тензорное произведение любых двух алгебр является еще алгебра, которая может быть использована для производства многих примеров больше гиперкомплексных систем счисления.

В частности, взятие тензорных произведений с комплексными числами (рассматриваемыми как алгебры над действительными числами) приводит к четырехмерным тессаринам , восьмимерным бикватернионам и 16-мерным комплексным октонионам .${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$

Дальнейшие примеры [ править ]

• бикомплексные числа : 4-мерное векторное пространство над вещественными числами, 2-мерное над комплексными числами
• многокомплексные числа : 2 ^{n −1} -мерных векторных пространства над комплексными числами
• композиционная алгебра : алгебра с квадратичной формой , составляющая произведение

См. Также [ править ]

• Седенионы
• Томас Киркман
• Георг Шефферс
• Ричард Брауэр
• Гиперкомплексный анализ

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике по абстрактной алгебре есть страница по теме: Гиперкомплексные числа

• «Гиперсложное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• История гиперкомплексов на hyperjeff.com
• Hypercomplex.info
• Вайсштейн, Эрик У. "Гиперкомплексное число" . MathWorld .
• Этюд Э. О системах комплексных чисел и их применении в теории групп преобразований (PDF) (Английский перевод)
• Фробениус Г. Теория гиперкомплексных величин (PDF) (Английский перевод)