Сплит-кватернион

Сплит-кватернионное умножение
×	1	я	j	k
1	1	я	j	k
я	я	−1	k	−j
j	j	−k	1	−i
k	k	j	я	1

В абстрактной алгебре , то сплит-кватернионы или coquaternions образуют алгебраическую структуру , введенный Джеймсом Cockle в 1849 под названием последнего. Они образуют ассоциативную алгебру размерности четыре над действительными числами .

После введения в 20 - м веке бескоординатных определений колец и алгебр , было доказано , что алгебра сплита-кватернионы изоморфна к кольцу из $2 \times 2$ вещественных матриц . Таким образом, изучение расщепленных кватернионов можно свести к изучению реальных матриц, и это может объяснить, почему в математической литературе 20-го и 21-го веков мало упоминаний о расщепленных кватернионах.

Определение [ править ]

В сплит-кватернионов являются линейными комбинациями (с вещественными коэффициентами) из четырех базисных элементов $1, I, J, K$ , которые удовлетворяют следующим правилам продукта:

я 2 = -1

,

j 2 = 1

,

к 2 = 1

,

ij = k = -ji

.

По ассоциативности эти отношения подразумевают

jk = -i = -kj

,

ki = j = -ik

,

а также $ijk = 1$ .

Итак, расщепленные кватернионы образуют реальное векторное пространство размерности четыре с ${1, i, j, k}$ в качестве основы . Они также образуют некоммутативное кольцо , расширяя приведенные выше правила произведения посредством дистрибутивности на все расщепленные кватернионы.

Рассмотрим квадратные матрицы

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {1}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ qquad & {\ boldsymbol {i}} = {\ begin {pmatrix } 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \\ {\ boldsymbol {j}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ qquad & {\ boldsymbol {k}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}. \ end {align}}}

Они удовлетворяют той же таблице умножения, что и соответствующие расщепленные кватернионы. Поскольку эти матрицы образуют основу матриц «два на две», функция, которая отображает $1, i, j, k$ в (соответственно), индуцирует изоморфизм алгебры от расщепленных кватернионов к двум на две вещественные матрицы. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {1}}, {\ boldsymbol {i}}, {\ boldsymbol {j}}, {\ boldsymbol {k}}}$

Приведенные выше правила умножения подразумевают, что восемь элементов $1, i, j, k, -1, -i, -j, -k$ образуют группу при этом умножении, которая изоморфна группе диэдра D ₄ , группе симметрии квадрат . Фактически, если рассматривать квадрат, вершинами которого являются точки с координатами $0$ или $1$ , матрица представляет собой поворот на четверть оборота по часовой стрелке, симметрию относительно первой диагонали и симметрию относительно оси $x$ . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {i}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {j}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}}}$

Свойства [ править ]

Подобно кватернионам, введенным Гамильтоном в 1843 году, они образуют четырехмерную вещественную ассоциативную алгебру . Но, как и матрицы, и в отличие от кватернионов, расщепленные кватернионы содержат нетривиальные делители нуля , нильпотентные элементы и идемпотенты . (Например,1/2(1 + j) - идемпотентный делитель нуля, а i - j - нильпотентный.) Как алгебра над действительными числами , алгебра расщепленных кватернионов изоморфна алгебре вещественных матриц 2 × 2 определенным выше изоморфимом .

Этот изоморфизм позволяет идентифицировать каждый расщепленный кватернион с матрицей 2 × 2. Таким образом, каждое свойство расщепленных кватернионов соответствует аналогичному свойству матриц, которое часто называется по-разному.

Конъюгат сплит-кватернион $д = ш + х I + у J + г к$ , является $д * = ш - х я - у J - г к$ . В терминах матриц сопряжение - это матрица кофакторов, полученная путем обмена диагональными элементами и изменения знака двух других элементов.

Произведение расщепленного кватерниона с его сопряженным элементом представляет собой изотропную квадратичную форму :

{\ Displaystyle N (q) = qq ^ {*} = w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}

которая называется нормой расщепленного кватерниона или определителем соответствующей матрицы.

Действительная часть расщепленного кватерниона $q = w + x i + y j + z k$ равна $w = (q * + q) / 2$ . Он равен следу соответствующей матрицы.

Норма произведения двух сплит-кватернионов является произведением их норм. Эквивалентно, определитель произведения матриц является произведением их определителей.

Это означает, что расщепленные кватернионы и матрицы 2 × 2 образуют композиционную алгебру . Поскольку существуют ненулевые расщепленные кватернионы, имеющие нулевую норму, расщепленные кватернионы образуют «алгебру расщепления композиции» - отсюда и их название.

Расщепленный кватернион с ненулевой нормой имеет мультипликативный обратный , а именно $q * / N (q)$ . В терминах матрицы это правило Крамера, которое утверждает, что матрица является обратимой тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля, и, в этом случае, обратная матрица является частным множителя матрицы по определителю.

Изоморфизм между расщепленными кватернионами и матрицами 2 × 2 показывает, что мультипликативная группа расщепленных кватернионов с ненулевой нормой изоморфна, а группа расщепленных кватернионов нормы $1$ изоморфна с ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (2, \ mathbb {R}),}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {R}).}$

Представление в виде сложных матриц [ править ]

Существует представление сплита-кватернионы как унитальная ассоциативная подалгебра из $2 \times 2$ матриц с комплексными записями. Это представление может быть определено гомоморфизмом алгебр, который отображает расщепленный кватернион $w + x i + y j + z k$ на матрицу

{\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.

Здесь $i$ ( курсив ) - это мнимая единица , которую не следует путать с основным разделенным кватернионом $i$ ( прямым римским шрифтом ).

Образ этого гомоморфизма - кольцо матриц, образованное матрицами вида

{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},

где верхний индекс означает комплексное сопряжение . $^{*}$

Этот гомоморфизм отображает соответственно расщепленные кватернионы $i, j, k$ на матрицы

{\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.

Доказательство того, что это представление является гомоморфизмом алгебры, несложно, но требует некоторых скучных вычислений, которых можно избежать, начав с выражения расщепленных кватернионов как вещественных матриц $2 \times 2$ и используя подобие матриц . Пусть $S$ - матрица

S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.

Затем, применительно к представлению расщепленных кватернионов как вещественных матриц $2 \times 2$ , вышеупомянутый гомоморфизм алгебр является подобием матриц.

M\mapsto S^{-1}MS.

Практически сразу следует, что для разделенного кватерниона, представленного в виде комплексной матрицы, сопряженное значение является матрицей кофакторов, а норма - определителем.

С представлением расщепленных кватернионов в виде сложных матриц. матрицы кватернионов нормы $1$ в точности являются элементами специальной унитарной группы SU (1,1) . Это используется для в гиперболической геометрии для описания гиперболических движений на диске модели Пуанкаре . ^[1]

Генерация из разделенных комплексных чисел [ править ]

В этом разделе есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны )

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, используется необъяснимая терминология и обозначения .. Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Тема этой статьи может не соответствовать общему руководству Википедии о известности . Пожалуйста, помогите продемонстрировать значимость темы, цитируя надежные вторичные источники , не зависящие от темы и обеспечивающие значительное ее освещение, помимо банального упоминания. Если не удается показать известность, вероятно, статья будет объединена , перенаправлена или удалена .
Найти источники: «Сплит-кватернион» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( февраль 2021 г. ) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Кевин Маккриммон ^[2] показал , как все композиционные алгебры могут быть построены на манере промульгированного LE Диксон и Адриан Альбертом для разделения алгебры C , H и O . Действительно, он представляет правило умножения

(a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})

для использования при производстве удвоенного продукта в реальных деленных случаях. Как и раньше, удвоенное сопряжение так, что $(a,b)^{*}\ =\ (a^{*},-b),$

N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).

Если a и b - комплексные числа с разбиением и кватернион с разбиением $q\ =\ (a,b)\ =\ ((w+zj),(y+xj)),$

тогда $N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Стратификация [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В этом разделе изучаются и классифицируются подалгебры, порожденные одним расщепленным кватернионом.

Пусть $p = w + x i + y j + z k$ - расщепленный кватернион. Его действительная часть является $ш = 1 / 2 (р + р *)$ . Пусть $q = p - w = 1 / 2 (p - p *)$ - его нереальная часть . Один имеет $q * = - q$ , и, следовательно , это действительное число тогда и только тогда, когда $p$ является либо действительным числом ( $q$ $=$ $0$ и $p$ $=$ $w$ ), либо чисто нереальным разделенным кватернионом ( $w$ $=$ $0$ и $p$ $=$ $q$ ). . $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ $p^{2}$

Структура подалгебры, порожденной $p,$ очевидна. Надо $\mathbb {R} [p]$

\mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},

и это коммутативная алгебра . Его размерность равна двум, за исключением случая, когда $p$ вещественно (в данном случае подалгебра просто ). $\mathbb {R}$

Неверные элементы , квадрат которых действителен, имеют вид $aq$ с $\mathbb {R} [p]$ $a\in \mathbb {R} .$

Необходимо рассмотреть три случая, которые подробно описаны в следующих подразделах.

Нильпотентный случай [ править ]

С выше обозначениями, если (то есть, если $д$ является нильпотентным ), то $Н$ $($ $д$ $) = 0$ , то есть, Отсюда следует , что существует $ж$ и $т$ в таких , что $0 \leq$ $т$ $<-$ $π$ и $q^{2}=0,$ $x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.$ $\mathbb {R}$

p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, нереальная часть которых нильпотентна.

Это также параметризация этих подалгебр точками окружности: расщепленные кватернионы формы образуют окружность ; подалгебра, порожденная нильпотентным элементом, содержит ровно одну точку окружности; и круг не содержит другой точки. $\mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k}$

Алгебра, порожденная нильпотентным элементом, изоморфна пространству двойственных чисел . $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$

Разборный корпус [ править ]

Гиперболоид из двух листов

Это тот случай, когда $N (q)> 0$ . Позволяя одному иметь $n={\sqrt {N(q)}},$

q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.

Следует, что $1 / п q$ принадлежит гиперболоиду двух листов уравненияСледовательно, существуют действительные числа $n$ $,$ $t$ $,$ $u$ такие, что $0 \leq$ $t$ $<2$ $π$ и $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$

p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, нереальная часть которых имеет положительную норму.

Это также параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек гиперболоида двух листов: расщепленные кватернионы формы образуют гиперболоид из двух листов; подалгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде, по одной на каждом листе; и гиперболоид не содержит другой точки. $\cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k}$

Алгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, изоморфна пространству расщепленных комплексных чисел и ему . Он также изоморфен (как алгебра) отображению, определяемому $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\qquad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.$

Неразборный футляр [ править ]

Гиперболоид одного листа
(вертикальная ось в статье обозначена

x

)

Это тот случай, когда $N (q) <0$ . Позволяя одному иметь $n={\sqrt {-N(q)}},$

q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.

Следует, что $1 / п q$ принадлежит гиперболоиду одного листа уравненияСледовательно, существуют действительные числа $n$ $,$ $t$ $,$ $u$ такие, что $0 \leq$ $t$ $<2$ $π$ и $y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.$

p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, нереальная часть которых имеет отрицательную норму.

Это также параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек гиперболоида одного листа: расщепленные кватернионы формы образуют гиперболоид одного листа; подалгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде; и гиперболоид не содержит другой точки. $\sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k}$

Алгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, изоморфна полю комплексных чисел и полю комплексных чисел. $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ $\mathbb {C}$

Стратификация по норме [ править ]

Как видно выше, чисто нереальные расщепленные кватернионы нормы $-1, 1$ и $0$ образуют соответственно гиперболоид из одного листа, гипорболоид из двух листов и круговой конус в пространстве нереальных кватернионов.

Эти поверхности являются попарными асимптотами и не пересекаются. Их набор состоит из шести связанных регионов:

две области, расположенные на вогнутой стороне гиперболоида двух листов, где $N(q)>1$
две области между гиперболоидом двух листов и конусом, где $0<N(q)<1$
область между конусом и гиперболоидом одного листа, где $-1<N(q)<0$
область вне гиперболоида одного листа, где $N(q)<-1$

Это расслоение можно уточнить, рассматривая расщепленные кватернионы фиксированной нормы: для каждого действительного числа $n 0$ чисто нереальные расщепленные кватернионы нормы $n$ образуют гиперболоид. Все эти гиперболоиды являются асимптотами указанного выше конуса, и ни одна из этих поверхностей не пересекается с другими. Поскольку набор чисто нереальных расщепленных кватернионов представляет собой несвязное объединение этих поверхностей, это обеспечивает желаемое расслоение.

Исторические заметки [ править ]

Кокватернионы были впервые представлены (под этим названием) ^[3] в 1849 году Джеймсом Коклом в журнале London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine . Вступительные документы по куколь были отозваны в 1904 г. Список литературы ^[4] из кватернионов общества . Александр Макфарлейн назвал структуру векторов расщепленных кватернионов экзосферической системой, когда он выступал на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году ^[5].

Единичная сфера была рассмотрена в 1910 году Гансом Беком. ^[6] Например, группа диэдра появляется на странице 419. Структура расщепленного кватерниона также кратко упоминалась в Annals of Mathematics . ^[7]^[8]

Синонимы [ править ]

Пара-кватернионы (Иванов, Замковой 2005, Мохаупт 2006) Многообразия с пара-кватернионными структурами изучаются в дифференциальной геометрии и теории струн . В пара-кватернионной литературе k заменяется на −k.
Exspherical система (Macfarlane 1900)
Расщепленные кватернионы (Розенфельд, 1988) ^[9]
Антикватернионы (Розенфельд, 1988)
Псевдокватернионы (Яглом 1968 ^[10] Розенфельд 1988)

См. Также [ править ]

Матрицы Паули
Сплит-бикватернионы
Сплит-октонионы
Гиперкомплексные числа
Двойные кватернионы

Заметки [ править ]

^ Karzel, Helmut & Гюнтер Kist (1985) "Кинематические алгебры и их геометрии", в кольцах и геометрия , Р. Кай, П. Plaumann и К. Strambach редактора, стр. 437-509, особ 449,50, D. Рейдел ISBN 90-277-2112-2
^ Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр , страница 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924
^ Джеймс Кокл (1849), О системах алгебры с участием более чем одного воображаемого , философского журнала (серия 3) 35: 434,5, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия
^ А. Макфарлейн (1904) Библиография кватернионов и родственных систем математики , из исторических математических монографий Корнельского университета , записи для Джеймса Кокла, стр. 17–18
^ Александр Макфарлейн (1900) Применение пространственного анализа к криволинейным координатам Архивировано 10 августа2014 г. в Wayback Machine , Труды Международного конгресса математиков , Париж, стр. 306, из Международного математического союза
^ Ганс Бек (1910) Ein Seitenstück zur Mobius'schen Geometrie der Kreisverwandschaften , Труды Американского математического общества 11
^ AA Альберт (1942), "Квадратичные формы, разрешающие композицию", Annals of Mathematics 43: 161-77
^ Валентин Баргманн (1947), "Неприводимые унитарные представления группы Лоренца" , Annals of Mathematics 48: 568–640
^ Розенфельд, BA (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 389, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4
^ Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , страница 24, Academic Press

Дальнейшее чтение [ править ]

Броуди, Дордже К. и Ева-Мария Грефе . «О сложной механике и кокватернионах». Журнал Physics A: математической и теоретической 44,7 (2011): 072001. дои : 10,1088 / 1751-8113 / 44/7/ 072001
Иванов, Стефан; Замковой, Симеон (2005), "Параэрмитовы и паракватернионные многообразия", Дифференциальная геометрия и ее приложения 23 , стр. 205–234, arXiv : math.DG / 0310415 , MR 2158044 .
Мохаупт, Томас (2006), «Новые разработки в специальной геометрии», arXiv : hep-th / 0602171 .
Оздемир, М. (2009) «Корни расщепленного кватерниона», Applied Mathematics Letters 22: 258–63. [1]
Оздемир, М. и А.А. Эргин (2006) "Вращения с времяподобными кватернионами в 3-м пространстве Минковского", Журнал геометрии и физики 56: 322–36. [2]
Погоруй, Анатолий и Рамон М. Родригес-Дагнино (2008) Некоторые алгебраические и аналитические свойства алгебры кокватернионов , достижения в прикладных алгебрах Клиффорда .

[1] Karzel, Helmut & Гюнтер Kist (1985) "Кинематические алгебры и их геометрии", в кольцах и геометрия , Р. Кай, П. Plaumann и К. Strambach редактора, стр. 437-509, особ 449,50, D. Рейдел ISBN 90-277-2112-2

[2] Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр , страница 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924

[3] Джеймс Кокл (1849), О системах алгебры с участием более чем одного воображаемого , философского журнала (серия 3) 35: 434,5, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия

[4] А. Макфарлейн (1904) Библиография кватернионов и родственных систем математики , из исторических математических монографий Корнельского университета , записи для Джеймса Кокла, стр. 17–18

[5] Александр Макфарлейн (1900) Применение пространственного анализа к криволинейным координатам Архивировано 10 августа2014 г. в Wayback Machine , Труды Международного конгресса математиков , Париж, стр. 306, из Международного математического союза

[6] Ганс Бек (1910) Ein Seitenstück zur Mobius'schen Geometrie der Kreisverwandschaften , Труды Американского математического общества 11

[7] AA Альберт (1942), "Квадратичные формы, разрешающие композицию", Annals of Mathematics 43: 161-77

[8] Валентин Баргманн (1947), "Неприводимые унитарные представления группы Лоренца" , Annals of Mathematics 48: 568–640

[9] Розенфельд, BA (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 389, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4

[10] Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , страница 24, Academic Press

vтеКоличество систем
Счетные множества	Натуральные числа ( ) $\mathbb {N}$ Целые числа ( ) $\mathbb {Z}$ Рациональные числа ( ) $\mathbb {Q}$ Конструируемые числа Алгебраические числа ( ) $\mathbb {A}$ Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : действительные числа ( ) $\mathbb {R}$ Комплексные числа ( ) $\mathbb {C}$ Кватернионы ( ) $\mathbb {H}$ Октонионы ( ) $\mathbb {O}$
Сплит- типы	более : $\mathbb {R}$ Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над : $\mathbb {C}$ Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ) $\mathbb {S}$ Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа( p -адические соленоиды) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список