Гомоморфизм алгебры

В математике , гомоморфизм алгебры является гомоморфизмом между двумя ассоциативными алгебрами . Более точно, если $A$ и $B$ - алгебры над полем (или коммутативным кольцом ) $K$ , это функция такая, что для всех $k$ в $K$ и $x$ $,$ $y$ в $A$ , ^[1]^[2] ${\ displaystyle F \ двоеточие от A \ до B}$

${\ Displaystyle F (kx) = kF (x)}$
${\ Displaystyle F (x + y) = F (x) + F (y)}$
${\ Displaystyle F (ху) = F (х) F (y)}$

Первые два условия говорят , что $F$ является K - линейное отображение (или K -модулей , если K является коммутативным кольцом), а последнее условие говорит о том, что $F$ является (неунитальным) кольцевым гомоморфизмом .

Если $F$ допускает обратный гомоморфизм, или , что эквивалентно , если оно биективно , $F$ называется быть изоморфизмом между $A$ и $B$ .

Гомоморфизмы унитальной алгебры [ править ]

Если и B являются два униталъными алгебрами, то гомоморфизм алгебр назовет унитарным , если он отображает единство А к единству B . Часто слова «гомоморфизм алгебры» фактически используются для обозначения «гомоморфизма алгебры с единицей», и в этом случае неунитальные гомоморфизмы алгебры исключаются. ${\ displaystyle F: A \ rightarrow B}$

Унитальная алгебра гомоморфизм является (унитальным) кольцевым гомоморфизмом .

Примеры [ править ]

Каждое кольцо является -алгеброй, поскольку всегда существует единственный гомоморфизм . См. « Ассоциативная алгебра # Примеры» для объяснения. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to R}$
Любой гомоморфизм коммутативных колец дает структуру коммутативной $R$ -алгебры . Наоборот, если $S$ - коммутативная $R$ -алгебра, отображение является гомоморфизмом коммутативных колец. Несложно вывести, что надкатегория коммутативных колец над $R$ совпадает с категорией коммутативных -алгебр. ${\ displaystyle R \ to S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle r \ mapsto r \ cdot 1_ {S}}$ ${\ displaystyle R}$
Если является подалгебра в B , то для любого обратимого б в Б функция , которая принимает каждый а , в А к Ь ^-1Ь является алгеброй гомоморфизм (в случае , это называется внутренний автоморфизм B ). Если A также проста и B - центральная простая алгебра , то каждый гомоморфизм из A в B таким образом задается некоторым b в B ; это ${\ displaystyle A = B}$ Теорема Сколема – Нётер .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
^ Лэнг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

[1] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.

[2] Лэнг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

[1]