В абстрактной алгебре , А бикомплекс число является пара ( ш , г ) из комплексных чисел строится по процессу Кэли-Диксона , который определяет бикомплекс конъюгат, и произведение двух бикомплексных чисел как
Тогда бикомплексная норма определяется выражением
- квадратичная форма в первом компоненте.
Бикомплекса числа образуют коммутативную алгебру над С размерности два, которая изоморфна к прямой сумме алгебр C ⊕ C .
Произведение двух бикомплексных чисел дает значение квадратичной формы, которое является произведением отдельных квадратичных форм чисел: проверка этого свойства квадратичной формы произведения относится к тождеству Брахмагупты – Фибоначчи . Это свойство квадратичной формы бикомплексного числа указывает на то, что эти числа образуют композиционную алгебру . Фактически, бикомплексные числа возникают на бинарином уровне конструкции Кэли – Диксона, основанной на ℂ с нормой z 2 .
Общее бикомплексное число можно представить матрицей , имеющий определитель . Таким образом, составляющее свойство квадратичной формы согласуется с составляющим свойством определителя.
Как настоящая алгебра
× | 1 | я | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | я | j | k |
я | я | −1 | k | - j |
j | j | k | 1 | я |
k | k | - j | я | −1 |
Бикомплексные числа образуют алгебру над C размерности два, и поскольку C имеет размерность два над R , бикомплексные числа являются алгеброй над R размерности четыре. На самом деле действительная алгебра старше комплексной; она была названа тессаринами в 1848 году, а комплексная алгебра появилась только в 1892 году.
Основой для tessarine 4-алгебра над R определяет г = 1 и г = - я , давая матрицы, которые умножаются согласно приведенной таблице. Когда единичная матрица отождествляется с 1, тогда тессарин t = w + zj .
История
Тема множественных воображаемых единиц была исследована в 1840-х годах. В длинной серии статей «О кватернионах, или о новой системе воображаемых в алгебре», начатой в 1844 году в Philosophical Magazine , Уильям Роуэн Гамильтон сообщил о системе, умножающейся в соответствии с группой кватернионов . В 1848 году Томас Киркман сообщил о своей переписке с Артуром Кэли относительно уравнений для единиц, определяющих систему гиперкомплексных чисел. [1]
Тессаринс
В 1848 году Джеймс Кокл представил тессарины в серии статей в Philosophical Magazine . [2]
Tessarine является гиперкомплексным числом вида
где Кокл использовал тессарины, чтобы выделить ряд гиперболических косинусов и ряд гиперболических синусов в ряду экспонент. Он также показал, как возникают делители нуля в тессаринах, вдохновив его на использование термина «невозможное». Тессарины сейчас наиболее известны своей подалгеброй настоящих тессаринов. , также называемые комплексными числами с расщеплением , которые выражают параметризацию единичной гиперболы .
Бикомплексные числа
В 1892 г. Mathematische Annalen бумаги, Коррадо~d Сегра введена бикомплекс номер , [3] , которые образуют алгебру изоморфна tessarines.
Сегре читал « Лекции о кватернионах» В. Р. Гамильтона (1853 г.) и работы В. К. Клиффорда . Сегре использовал некоторые из обозначений Гамильтона для разработки своей системы бикомплексных чисел : пусть h и i - элементы, квадратные в −1 и коммутирующие. Тогда, предполагая ассоциативность умножения, произведение hi должно возводиться в квадрат +1. Алгебра, построенная на основе {1, h , i , hi } , тогда такая же, как тессарины Джеймса Кокла, представленные с использованием другого базиса. Сегре отметил, что элементы
- являются идемпотентами .
Когда бикомплексные числа выражаются через базис {1, h , i , - hi } , их эквивалентность тессаринам очевидна. Рассмотрение линейного представления этих изоморфных алгебр показывает согласие в четвертом измерении, когда используется отрицательный знак; рассмотрите приведенный выше образец продукта в линейном представлении.
Фактор-кольца многочленов
Одно сравнение бикомплексных чисел и тессаринов использует кольцо многочленов R [ X , Y ], где XY = YX . идеал затем предоставляет кольцо частных, представляющее тессарины. В этом фактор - кольца подход, элементы tessarines соответствуют смежности по отношению к идеальному А . Точно так же идеальный производит частное, представляющее бикомплексные числа.
Обобщение этого подхода используется свободная алгебра R ⟨ X , Y ⟩ в двух некоммутирующими неизвестных Х и Y . Рассмотрим эти три полинома второй степени . Пусть A - порожденный ими идеал. Тогда фактор - кольцо R ⟨ X , Y ⟩ / изоморфна кольцу tessarines.
Чтобы увидеть это Обратите внимание, что
- чтобы
- Но потом
- как требуется.
Теперь рассмотрим альтернативный идеал B, порожденный. В этом случае можно доказать. Изоморфизм колец R ⟨ X , Y ⟩ / ≅ R ⟨ X , Y ⟩ / B включает в себя замену базиса обменивать.
В качестве альтернативы предположим, что поле C обычных комплексных чисел предполагается заданным, а C [ X ] - кольцо многочленов от X с комплексными коэффициентами. Тогда фактор-группа C [ X ] / ( X 2 + 1) является другим представлением бикомплексных чисел.
Полиномиальные корни
Напишите 2 C = C ⊕ C и представьте его элементы упорядоченными парами ( u , v ) комплексных чисел. Поскольку алгебра тессаринов T изоморфна 2 C , кольца многочленов T [X] и 2 C [ X ] также изоморфны, однако многочлены в последней алгебре расщепляются:
Следовательно, когда полиномиальное уравнение в этой алгебре установлена, она сводится к двум полиномиальных уравнений на C . Если степень равна n , то для каждого уравнения имеется n корней : Любая заказанная пара из этого набора корней будет удовлетворять исходному уравнению в 2 C [ X ], поэтому оно имеет n 2 корней.
Благодаря изоморфизму с T [ X ] существует соответствие многочленов и соответствие их корней. Следовательно, многочлены тессарина степени n также имеют n 2 корней с учетом кратности корней .
Приложения
Тессарины применялись в цифровой обработке сигналов . [4] [5] [6]
Рекомендации
- ^ Томас Киркман (1848) «О Pluquaternions и гомоидных продуктах n Squares», Лондонский и Эдинбургский философский журнал 1848 г., стр. 447 Ссылка на книги Google
- ↑ Джеймс Кокл в журнале London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , серия 3
- 1848 г. О некоторых функциях, похожих на кватернионы, и о новом воображаемом в алгебре , 33: 435–9.
- 1849 г. О новом воображаемом в алгебре 34: 37–47.
- 1849 г. О символах алгебры и теории Тессаринов 34: 406–10.
- 1850 г. Об истинной амплитуде тессарина 36: 290-2.
- 1850 г. О невозможных уравнениях, о невозможных количествах и тессаринах 37: 281–3.
- ^ Сегре, Коррадо (1892), «Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici» [Реальное представление сложных элементов и гипералгебраических объектов], Mathematische Annalen , 40 : 413–467, doi : 10.1007 / bf01443559 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ). (особенно см. стр. 455–67)
- ^ Пей, Су-Чанг; Чанг, Джа-Хан; Дин, Цзянь-Цзюн (21 июня 2004 г.). «Коммутативные редуцированные бикватернионы и их преобразование Фурье для обработки сигналов и изображений» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . IEEE. 52 (7): 2012–2031. DOI : 10.1109 / TSP.2004.828901 . ISSN 1941-0476 .
- ^ Альфсманн, Даниэль (4–8 сентября 2006 г.). О семействах 2 N- мерных гиперкомплексных алгебр, пригодных для цифровой обработки сигналов (PDF) . 14-я Европейская конференция по обработке сигналов, Флоренция, Италия: EURASIP.CS1 maint: location ( ссылка )
- ^ Альфсманн, Даниэль; Геклер, Хайнц Г. (2007). О гиперболических сложных цифровых системах LTI (PDF) . ЕВРАЗИП.
дальнейшее чтение
- Дж. Бейли Прайс (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции , Марсель Деккер.ISBN 0-8247-8345-X
- Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Ничелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского с введением в коммутативные гиперкомплексные числа , Birkhäuser Verlag , Базель ISBN 978-3-7643-8613-9