Представительство группы

Представление группы «действует» на объект. Простым примером является то, как симметрии правильного многоугольника , состоящего из отражений и вращений, преобразуют многоугольник.

В математической области теории представлений , представления групп описание абстрактных групп в терминах биективных линейных преобразований (т.е. автоморфизмов ) из векторных пространств ; в частности, они могут использоваться для представления групповых элементов в виде обратимых матриц, так что групповая операция может быть представлена умножением матриц . Представления групп важны, потому что они позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры., что хорошо понятно. Они также важны в физике, потому что, например, они описывают, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Термин « представление группы» также используется в более общем смысле для обозначения любого «описания» группы как группы преобразований некоторого математического объекта. Более формально «представление» означает гомоморфизм группы в группу автоморфизмов объекта. Если объект является векторным пространством, у нас есть линейное представление . Некоторые люди используют реализацию для общего понятия и резервируют термин представление для частного случая линейных представлений. Основная часть статьи посвящена теории линейных представлений; см. последний раздел для обобщений.

Разделы теории представлений групп [ править ]

Теория представлений групп делится на подтеории в зависимости от вида представляемой группы. Различные теории сильно различаются в деталях, хотя некоторые основные определения и концепции схожи. Наиболее важные подразделения:

Конечные группы. Представления групп - очень важный инструмент в изучении конечных групп. Они также возникают в приложениях теории конечных групп к кристаллографии и геометрии. Если поле скаляров векторного пространства имеет характеристику p , и если p делит порядок группы, то это называется теорией модульного представления ; этот частный случай имеет очень разные свойства. См. Теорию представлений конечных групп .
Компактные группы или локально компактные группы - многие результаты теории представлений конечных групп доказываются усреднением по группе. Эти доказательства могут быть перенесены на бесконечные группы путем замены среднего на интеграл при условии, что можно определить приемлемое понятие интеграла. Это можно сделать для локально компактных групп, используя меру Хаара . Полученная теория является центральной частью гармонического анализа . Двойственности Понтрягина описывает теорию коммутативных групп, как обобщенное преобразование Фурье . См. Также: Теорема Питера – Вейля .
Группы Ли. Многие важные группы Ли компактны, поэтому к ним применимы результаты теории компактных представлений. Также используются другие техники, специфичные для групп Ли. Большинство групп, важных в физике и химии, являются группами Ли, и их теория представлений имеет решающее значение для применения теории групп в этих областях. См. Представления групп Ли и Представления алгебр Ли .
Линейные алгебраические группы (илиболее общем случае аффинные групповые схемы ) - Они являются аналогами групп Ли, нопротяжении более общих полейчем просто R или C . Хотя линейные алгебраические группы имеют классификацию, очень похожую на классификацию групп Ли, и дают начало тем же семействам алгебр Ли, их представления довольно разные (и гораздо менее понятны). Аналитические методы, используемые для изучения групп Ли, должны быть заменены методами алгебраической геометрии , где относительно слабая топология Зарисского вызывает множество технических сложностей.
Некомпактные топологические группы . Класс некомпактных групп слишком широк для построения какой-либо общей теории представлений, но были изучены конкретные частные случаи, иногда с использованием специальных методов. В полупростых группах Ли имеют глубокую теорию, опираясь на компактном корпусе. Дополнительные разрешимые группы Ли нельзя классифицировать таким же образом. Общая теория групп Ли имеет дело с полупрямыми произведениями двух типов с помощью общих результатов, называемых теорией Макки , которая является обобщением методов классификации Вигнера .

Теория представлений также сильно зависит от типа векторного пространства, на котором действует группа. Различают конечномерные представления и бесконечномерные. В бесконечномерном случае важны дополнительные структуры (например, является ли пространство гильбертовым , банаховым и т. Д.).

Также необходимо учитывать тип поля, над которым определяется векторное пространство. Самый важный случай - это поле комплексных чисел . Другие важные случаи - это поле действительных чисел , конечные поля и поля p-адических чисел . В общем случае с алгебраически замкнутыми полями легче обращаться, чем с неалгебраически замкнутыми. Характеристика поля также является значительной; многие теоремы для конечных групп зависят от характеристики поля, не делящего порядок группы .

Определения [ править ]

Представление о группе G на векторном пространстве V над полем K является группой гомоморфизм из G в GL ( V ), в общую линейную группу на V . То есть представление - это карта

{\ Displaystyle \ rho \ двоеточие G \ to \ mathrm {GL} (V)}

такой, что

{\ displaystyle \ rho (g_ {1} g_ {2}) = \ rho (g_ {1}) \ rho (g_ {2}), \ qquad {\ text {для всех}} g_ {1}, g_ { 2} \ в G.}

Здесь V называется пространством представления, а размерность V называется размерностью представления. Когда гомоморфизм ясен из контекста, принято называть сам V представлением.

В случае , когда V имеет конечную размерность п он является общим , чтобы выбрать базис для V и определения GL ( V ) с GL ( п , К ) , группа п матрицу с размерностью п обратимых матриц на поле К .

Если G является топологической группой , и V представляет собой топологическое векторное пространство , A непрерывное представление из G на V является представлением ρ таким образом, что приложения Ф: G × V → V определяется Ф ( г , v ) = ρ ( г ) ( v ) является непрерывным .
Ядро из представления р группы G определяется как нормальная подгруппа группы G , образ которой при р тождественное преобразование:

{\ Displaystyle \ ker \ rho = \ left \ {g \ in G \ mid \ rho (g) = \ mathrm {id} \ right \}.}

Точное представление является тот , в котором гомоморфизм G → GL ( V ) является инъективным ; другими словами, та, ядром которой является тривиальная подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента группы.

Для двух K векторных пространств V и W два представления ρ : G → GL ( V ) и π : G → GL ( W ) называются эквивалентными или изоморфными, если существует изоморфизм векторных пространств α : V → W так, что для все g в G ,

{\ Displaystyle \ альфа \ circ \ rho (g) \ circ \ alpha ^ {- 1} = \ pi (g).}

Примеры [ править ]

Рассмотрим комплексное число u = e ^{2πi / 3,} обладающее свойством u ³ = 1. Циклическая группа C ₃ = {1, u , u ² } имеет представление ρ на, задаваемое формулой: ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ rho \ left (1 \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ rho \ left (u \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u \\\ end {bmatrix}} \ qquad \ rho \ left (u ^ {2} \ right) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u ^ {2} \\\ end {bmatrix}}. }

Это представление является точным, потому что отображение ρ взаимно однозначно .

Другое представление для C ₃ on , изоморфное предыдущему, - это σ, задаваемое следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

\sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.

Группа C ₃ также может быть точно представлена на τ, задаваемом: $\mathbb {R} ^{2}$

\tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}

куда

a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.

Другой пример:

Пусть - пространство однородных многочленов степени 3 над комплексными числами от переменных $V$ $x_{1},x_{2},x_{3}.$

Затем действует путем перестановки трех переменных. $S_{3}$ $V$

Например, отправляет в . $(12)$ $x_{1}^{3}$ $x_{2}^{3}$

Сводимость [ править ]

Подпространство W в V , инвариантное относительно действия группы, называется подпредставлением . Если V имеет ровно два подпредставления, а именно нульмерное подпространство и само V , то представление называется неприводимым ; если у него есть собственное подпредставление ненулевой размерности, то представление называется приводимым . Представление нулевой размерности не считается ни сводимым, ни неприводимым, ^{[ необходима цитата ], так} же как число 1 не считается ни составным, ни простым .

В предположении, что характеристика поля K не делит размер группы, представления конечных групп могут быть разложены в прямую сумму неприводимых подпредставлений (см. Теорему Машке ). Это верно, в частности, для любого представления конечной группы над комплексными числами , поскольку характеристика комплексных чисел равна нулю, что никогда не делит размер группы.

В приведенном выше примере первые два заданных представления (ρ и σ) разложимы на два одномерных подпредставления (заданные span {(1,0)} и span {(0,1)}), а третье представление (τ) неприводимо.

Обобщения [ править ]

Теоретико-множественные представления [ править ]

Представление теоретико-множественный (также известное как действия группы или представление перестановок ) от группы G на множестве X задается функция р: G → Х ^Х , множество функций из X в X , такие , что для всех г ₁ , g ₂ в G и все x в X :

\rho (1)[x]=x

\rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]],

где это единичный элемент G . Это условие и аксиомы группы означают , что ρ ( г ) представляет собой взаимно однозначное соответствие (или перестановка ) для всех г в G . Таким образом , мы можем определить , что то же самое представление перестановку быть гомоморфизмом из G в симметрической группы S _X в X . $1$

Дополнительные сведения по этой теме см. В статье о групповых действиях .

Представления в других категориях [ править ]

Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом; морфизмы в этой категории являются только элементами G . Для произвольной категории С , А представление о G в C является функтор из G в C . Такой функтор выбирает объект X в C и групповой гомоморфизм из G в Aut ( X ), в группу автоморфизмов из X .

В случае, когда C - это Vect _K , категория векторных пространств над полем K , это определение эквивалентно линейному представлению. Точно так же теоретико-множественное представление - это просто представление группы G в категории множеств .

Когда C является Ab , категорией абелевых групп , полученные объекты называются G- модулями .

В качестве другого примера рассмотрим категорию топологических пространств , Top . Представления в Top гомоморфизмы от G до гомеоморфизма группы топологического пространства X .

С линейными представлениями тесно связаны два типа представлений:

проективные представления : в категории проективных пространств . Их можно описать как «линейные представления с точностью до скалярных преобразований».
аффинные представления : в категории аффинных пространств . Например, евклидова группа аффинно действует в евклидовом пространстве .

См. Также [ править ]

Неприводимые представления
Таблица символов
Теория характера
Молекулярная симметрия
Список тем гармонического анализа
Список тем теории представлений
Теория представлений конечных групп
Полупростое представление

Ссылки [ править ]

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .. Введение в теорию представлений с акцентом на группы Ли .
Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.