В математике , то теорема Петера-Вейля является основным результатом в теории гармонического анализа , применяя к топологическим группам , которые компактно , но не обязательно абелева . Первоначально это было доказано Германом Вейлем и его учеником Фрицем Петером в условиях компактной топологической группы G ( Peter & Weyl, 1927 ). Теорема представляет собой набор результатов, обобщающих важные факты о разложении регулярного представления любой конечной группы , обнаруженные Фердинандом Георгом Фробениусом.и Иссай Шур .
Пусть G - компактная группа. Теорема состоит из трех частей. В первой части говорится , что матричные коэффициенты неприводимых представлений о G плотны в пространстве C ( G ) непрерывных комплексных функций на G , и , таким образом , также в пространстве L 2 ( G ) из квадратных интегрируемых функций . Вторая часть утверждает полную приводимость унитарных представлений о G . Третья часть затем утверждает , что регулярное представление G на L 2 ( G ) разлагается в прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений. Кроме того, матричные коэффициенты неприводимых унитарных представлений образуют ортогональный базис в L 2 ( G ). В случае, если G - группа единичных комплексных чисел, этот последний результат является просто стандартным результатом из ряда Фурье.
Коэффициенты матрицы
Матрица коэффициенты группы G является комплексной функциейна G, заданном как композиция
где π: G → GL ( V ) является конечномерен ( непрерывной ) представление группы из G , и L представляет собой линейный функционал на векторном пространстве эндоморфизмами из V (например , след), который содержит GL ( V ) в качестве открытого подмножество. Матричные коэффициенты непрерывны, поскольку представления по определению непрерывны, и линейные функционалы на конечномерных пространствах также непрерывны.
Первая часть теоремы Питера – Вейля утверждает ( Bump 2004 , §4.1; Knapp 1986 , теорема 1.12):
Теорема Питера – Вейля (часть I). Набор матричных коэффициентов G является плотным в пространстве непрерывных комплексных функций С ( G ) на G , наделенные равномерной нормой .
Этот первый результат напоминает теорему Стоуна – Вейерштрасса в том смысле, что он указывает плотность набора функций в пространстве всех непрерывных функций, подлежащих только алгебраической характеризации. Фактически, матричные коэффициенты образуют единичную алгебру, инвариантную относительно комплексного сопряжения, потому что произведение двух матричных коэффициентов является матричным коэффициентом представления тензорного произведения, а комплексное сопряжение является матричным коэффициентом двойственного представления. Следовательно, теорема следует непосредственно из теоремы Стоуна – Вейерштрасса, если матричные коэффициенты разделяют точки, что очевидно, если G - матричная группа ( Knapp 1986 , стр. 17). Наоборот, из теоремы следует, что любая компактная группа Ли изоморфна матричной группе ( Knapp 1986 , теорема 1.15).
Следствием этого результата является то, что матричные коэффициенты группы G плотны в L 2 ( G ).
Разложение унитарного представления
Вторая часть теоремы указывает на существование разложения унитарного представления группы G на конечномерные представления. Интуитивно группы были задуманы как вращения на геометрических объектах, поэтому естественно изучать представления, которые по существу возникают из непрерывных действий на гильбертовых пространствах. (Для тех, кто впервые познакомился с дуальными группами, состоящими из характеров, которые являются непрерывными гомоморфизмами в группу круга , этот подход аналогичен, за исключением того, что группа круга (в конечном счете) обобщается на группу унитарных операторов в данном гильбертовом пространстве.)
Пусть G - топологическая группа, H - комплексное гильбертово пространство.
Непрерывное действие ∗: G × H → H порождает непрерывное отображение ρ ∗ : G → H H (функции из H в H с сильной топологией ), определяемое формулой ρ ∗ ( g ) ( v ) = ∗ (g , v) . Эта карта явно гомоморфизм из G в GL ( H ), гомеоморфный [ разъяснение необходимости ] автоморфизмы Н . И наоборот, имея такую карту, мы можем однозначно восстановить действие очевидным способом.
Таким образом , мы определяем представление G в гильбертовом пространстве H , чтобы быть теми группы гомоморфизм , р, которые возникают из непрерывных действий G на H . Мы говорим, что представление ρ унитарно, если ρ ( g ) - унитарный оператор для всех g ∈ G ; т.е.для всех V , ш ∈ H . (Т.е. он унитарен, если ρ: G → U ( H ). Обратите внимание, как это обобщает частный случай одномерного гильбертова пространства, где U ( C ) - просто круговая группа.)
Учитывая эти определения, мы можем сформулировать вторую часть теоремы Питера – Вейля ( Knapp 1986 , теорема 1.12):
Теорема Питера – Вейля (часть II). Пусть ρ унитарное представление компактной группы G на комплексном гильбертовом пространстве H . Тогда Н распадается в ортогональную прямую сумму неприводимых конечномерных унитарных представлений G .
Разложение интегрируемых с квадратом функций
Чтобы сформулировать третью и последнюю часть теоремы, существует естественное гильбертово пространство над G, состоящее из интегрируемых с квадратом функций :; это имеет смысл, поскольку на G существует мера Хаара . Группа G имеет унитарное представление ρ назадано, действуя слева, через
Окончательное утверждение теоремы Петера-Вейля ( Кнапп 1986 , теорема 1.12) дает явное ортонормированный базис из. Грубо она утверждает , что матричные коэффициенты для G , соответственно перенормированные, являются ортонормированный базис из L 2 ( G ). В частности,разлагается в ортогональную прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений, в которой кратность каждого неприводимого представления равна его степени (то есть размерности основного пространства представления). Таким образом,
где Σ обозначает множество (классов изоморфизма) неприводимых унитарных представлений группы G , а суммирование обозначает замыкание прямой суммы полных пространств E π представлений π.
Мы также можем рассматривать как представление прямой группы продуктов , с двумя факторами, действующими посредством перевода слева и справа, соответственно. Исправить представление из . Пространство матричных коэффициентов для представления можно отождествить с, пространство линейных отображений себе. Естественное левое и правое действие на коэффициенты матрицы соответствует действию на дано
Тогда мы можем разложить как унитарное представление в виде
Наконец, мы можем сформировать ортонормированный базис для следующим образом. Предположим, что для каждого класса изоморфизма неприводимого унитарного представления выбран представитель π, и обозначим совокупность всех таких π через Σ. Позволять - матричные коэффициенты матрицы π в ортонормированном базисе, другими словами
для каждого г ∈ G . Наконец, пусть d (π) - степень представления π. Теперь теорема утверждает, что набор функций
ортонормированный базис
Ограничение на функции класса
Функция на G называется функцией класса, если для всех а также в G . Пространство интегрируемых с квадратом функций классов образует замкнутое подпространство, и, следовательно, гильбертово пространство само по себе. В пространстве матричных коэффициентов для фиксированного представленияэто персонаж из , определяется
В приведенных выше обозначениях символ представляет собой сумму коэффициентов диагональной матрицы:
Важным следствием предыдущего результата является следующее:
- Теорема : Характеры неприводимых представлений группы G образуют ортонормированный базис пространства функций , интегрируемых с квадратом класса на G .
Этот результат играет важную роль в классификации Вейля представлений связной компактной группы Ли . [1]
Пример:
Простой, но полезный пример - это случай группы комплексных чисел величины 1, . В этом случае неприводимые представления одномерны и задаются формулой
Тогда для каждого представления существует единственный матричный коэффициент, функция
Последняя часть теоремы Питера – Вейля утверждает в этом случае, что эти функции образуют ортонормированный базис для . В данном случае теорема представляет собой просто стандартный результат теории рядов Фурье.
Для любой компактной группы G мы можем рассматривать разложениев терминах матричных коэффициентов как обобщение теории рядов Фурье. Действительно, это разложение часто называют рядом Фурье.
Пример: SU (2)
Мы используем стандартное представление группы SU (2) в виде
Таким образом, SU (2) представляется в виде 3-сферы сидя внутри . Неприводимые представления SU (2), тем временем, помечаются неотрицательным целым числом и может быть реализовано как естественное действие SU (2) на пространстве однородных многочленов степени в двух комплексных переменных. [2] Матричные коэффициенты-е представление - гиперсферические гармоники степени, то есть ограничения на однородных гармонических многочленов степени в а также . Ключом к проверке этого утверждения является вычисление того, что для любых двух комплексных чисел а также , функция
гармоничен как функция .
В этом случае нахождение ортонормированного базиса для состоящий из матричных коэффициентов, означает нахождение ортонормированного базиса, состоящего из гиперсферических гармоник, что является стандартной конструкцией в анализе сфер.
Последствия
Теория представлений связных компактных групп Ли
Теорема Питера – Вейля - в частности, утверждение, что характеры образуют ортонормированный базис для пространства функций классов, интегрируемых с квадратом, - играет ключевую роль в классификации неприводимых представлений связной компактной группы Ли. [3] Аргумент также зависит от интегральной формулы Вейля (для функций классов) и формулы характера Вейля .
Краткое изложение аргументации можно найти здесь .
Линейность компактных групп Ли
Одним из важных следствий теоремы Питера – Вейля является следующее: [4]
- Теорема : каждая компактная группа Ли имеет точное конечномерное представление и, следовательно, изоморфна замкнутой подгруппе группы Ли. для некоторых .
Структура компактных топологических групп
Из теоремы Питера – Вейля можно вывести важную общую структурную теорему. Пусть G - компактная топологическая группа, которую мы предполагаем хаусдорфовой . Для любого конечномерного G -инвариантного подпространства V в L 2 ( G ), где G действует слева, мы рассматриваем образ G в GL ( V ). Она замкнута, поскольку G компактна и является подгруппой группы Ли GL ( V ). Отсюда следует по теореме о Эли Картана , что образ G является группой Ли также.
Если мы теперь взять предел (в смысле теории категорий ) по всему такому пространству V , мы получаем результат о G : Поскольку G действует точно на L 2 ( G ), G является обратным пределом групп Ли . Конечно, она сама может не быть группой Ли: например, она может быть проконечной группой .
Смотрите также
- Понтрягинская двойственность
Рекомендации
- Питер, Ф .; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Аня. , 97 : 737-755, DOI : 10.1007 / BF01447892.
- Удар, Дэниел (2004), группы Ли , Springer, ISBN 0-387-21154-3.
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- "Теорема Питера-Вейля" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Кнапп, Энтони (1986), теория представлений полупростых групп , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0.
- Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли после введения , Прогресс в математике, 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер, ISBN 0-8176-4259-5.
- Мосты, Джордж Д. (1961), "Когомология топологических групп и солвмногообразий", Анналы математики , Princeton University Press, 73 (1): 20-48, DOI : 10,2307 / 1970281 , JSTOR 1970281
- Palais, Ричард С .; Стюарт, TE (1961), "Когомологий дифференцируемых групп преобразований", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 83 (4): 623-644, DOI : 10,2307 / 2372901 , JSTOR 2372901.
- Конкретный
- ^ Холл 2015 Глава 12
- ^ Холл 2015 Пример 4.10
- ^ Зал 2015 Раздел 12.5
- ^ Кнапп 2002 , следствие IV.4.22