В математическом анализе и особенно функциональном анализе фундаментальную роль играет пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве со значениями в виде действительных или комплексных чисел . Это пространство, обозначаемое, является векторным пространством относительно поточечного сложения функций и скалярного умножения на константы. Более того, это нормированное пространство с нормой, определяемой формулой
равномерная норма . Равномерная норма определяет топологию из равномерной сходимости функций на. Космосявляется банаховой алгеброй относительно этой нормы. ( Рудин 1973 , §11.3)
Характеристики
- По лемме Урысона , разделяет точку из: Если - различные точки, то существует такой, что .
- Космос бесконечномерно, если X - бесконечное пространство (поскольку оно разделяет точки). Следовательно, в частности, он обычно не является локально компактным .
- Теорема Рисса-Маркова-Какутани представление дает характеристику непрерывного сопряженного пространства в. В частности, это двойственное пространство является пространством мер Радона на X (регулярных борелевских мер ), обозначаемых rca ( X ). Это пространство с нормой, заданной полной вариацией меры, также является банаховым пространством, принадлежащим классу ba пространств . ( Данфорд и Шварц 1958 , §IV.6.3)
- Положительные линейные функционалы насоответствуют (положительным) регулярным борелевским мерам на, по другой форме теоремы Рисса о представлении. ( Рудин 1966 , Глава 2)
- Если X бесконечно, тоне рефлексивно и не слабо завершено .
- Арцела теорема имеет место: A подмножество K изявляется относительно компактным тогда и только тогда , когда оно ограничено в норме, и равностепенно непрерывный .
- Теорема Стоуна-Вейерштрасса верна для. В случае вещественных функций, если является Подкольцо изкоторый содержит все константы и разделяет точки, то замыкание из A является. В случае сложных функций утверждение выполняется с дополнительным предположением, что A замкнута относительно комплексного сопряжения .
- Если X и Y - два компактных хаусдорфовых пространства и- гомоморфизм алгебр, коммутирующий с комплексным сопряжением, то F непрерывен. Кроме того, Р имеет вид Р ( ч ) ( у ) = ч ( е ( у )) для некоторой непрерывной функции ƒ : Y → X . В частности, если C ( X ) и C ( Y ) изоморфны как алгебры, то X и Y являются гомеоморфными топологическими пространствами.
- Пусть ∆ - пространство максимальных идеалов в. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между Δ и точками. Кроме того, Δ можно отождествить с набором всех комплексных гомоморфизмов→ С . Снабдим Δ исходной топологией по отношению к этой паре с(т.е. преобразование Гельфанда ). потомгомеоморфна Δ, наделенной этой топологией. ( Рудин 1973 , §11.13)
- Последовательность в является слабо Коши тогда и только тогда, когда оно (равномерно) ограничено ви поточечно сходящиеся. В частности, только слабо завершен для конечное множество.
- Расплывчатая топологией является слабой * топологией на двойственном.
- Банах-Алаогл следует , что любое нормированное пространство изометрический изоморфно подпространству С ( Х ) для некоторого X .
Обобщения
Пространство С ( Х ) вещественных или комплексных значений непрерывных функций могут быть определены на любом топологическом пространстве X . Однако в некомпактном случае C ( X ), вообще говоря, не является банаховым пространством относительно равномерной нормы, так как оно может содержать неограниченные функции. Следовательно, более характерно рассматривать пространство, обозначенное здесь C B ( X ) ограниченных непрерывных функций на X . Это банахово пространство (фактически коммутативная банахова алгебра с единицей) относительно равномерной нормы. ( Хьюитт и Стромберг, 1965 , теорема 7.9)
Иногда желательно, особенно в теории меры , дополнительно уточнить это общее определение, рассматривая частный случай, когда X - локально компактное хаусдорфово пространство. В этом случае можно идентифицировать пару выделенных подмножеств C B ( X ): ( Hewitt & Stromberg 1965 , §II.7)
- C 00 ( X ), подмножество C ( X ), состоящее из функций с компактным носителем . Это называется пространством функций, исчезающих в окрестности бесконечности .
- C 0 ( X ), подмножество C ( X ), состоящее из таких функций, что для любого ε> 0 существует такой компакт K ⊂ X , что | f ( x ) | <Ε для всех х ∈ X \ K . Это называется пространством функций, исчезающих на бесконечности .
Замыкание C 00 ( X ) есть в точности C 0 ( X ). В частности, последнее является банаховым пространством.
Рекомендации
- Dunford, N .; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, Часть I , Wiley-Interscience.
- Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).