В топологии , лемма Урысона является лемма , которая гласит , что топологическое пространство является нормальным , если и только если любые два непересекающиеся замкнутые подмножества могут быть разделены с помощью непрерывной функции . [1]
Лемма Урысона обычно используется для построения непрерывных функций с различными свойствами на нормальных пространствах. Он широко применим, поскольку все метрические пространства и все компактные хаусдорфовы пространства нормальны. Лемма обобщается (и обычно используется при доказательстве) теоремы Титце о продолжении .
Лемма названа в честь математика Павла Самуиловича Урысона .
Обсуждение
Два подмножества А и В в А топологического пространства X , как говорят, отделены друг от окрестностей , если существуют окрестности ¯u из А и В из B , которые не пересекаются. В частности, A и B обязательно не пересекаются.
Два простых подмножества A и B называются разделенными функцией, если существует непрерывная функция f из X в единичный интервал [0,1] такая, что f ( a ) = 0 для всех a в A и f ( b ) = 1 для всех Ь в B . Любая такая функция называется функцией Урысона для A и B . В частности, A и B обязательно не пересекаются.
Отсюда следует, что если два подмножества A и B разделены функцией, то их замыкания тоже.
Также следует, что если два подмножества A и B разделены функцией, то A и B разделены окрестностями.
Нормальное пространство является топологическим пространством , в котором любые два непересекающиеся замкнутые множества могут быть отделены друг от окрестностей. Лемма Урысона утверждает, что топологическое пространство нормально тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества могут быть разделены непрерывной функцией.
Множества A и B не должно быть точно разделены е , то есть, мы не знаем, и вообще могут не требовать , чтобы п ( х ) ≠ 0 и ≠ 1 для й вне A и B . Пространства, в которых выполняется это свойство, являются совершенно нормальными пространствами .
Лемма Урысона привела к формулировке других топологических свойств, таких как «тихоновское свойство» и «вполне хаусдорфовы пространства». Например, следствием леммы является то, что нормальные пространства T 1 являются тихоновскими .
Официальное заявление
Топологическое пространство X нормально тогда и только тогда, когда для любых двух непустых замкнутых непересекающихся подмножеств A и B в X существует непрерывное отображение такой, что а также .
Эскиз доказательства
Процедура представляет собой полностью прямое применение определения нормальности (стоит нарисовать несколько фигур, представляющих первые несколько шагов индукции, описанной ниже, чтобы увидеть, что происходит), начиная с двух непересекающихся замкнутых множеств. Умна частью доказательства является индексацией открытых множеств , таким образом , построенных по двоично фракциям.
Для каждой двоичной дроби r ∈ (0,1) мы собираемся построить открытое подмножество U ( r ) в X такое, что:
- U ( r ) содержит A и не пересекает B для всех r ,
- Для г < х , то замыкание в U ( г ) содержится в U ( ов ).
Когда у нас есть эти множества, мы определяем f ( x ) = 1, если x ∉ U ( r ) для любого r ; в противном случае F ( х ) = инф { г : х ∈ U ( г )} для каждого х ∈ Х . Используя тот факт, что диадические рациональные числа плотны , нетрудно показать, что f непрерывна и обладает свойством f ( A ) ⊆ {0} и f ( B ) ⊆ {1}.
Чтобы построить множества U ( r ), мы на самом деле делаем немного больше: мы строим множества U ( r ) и V ( r ) так, что
- A ⊆ U ( r ) и B ⊆ V (r) для всех r ,
- U ( r ) и V ( r ) открыты и не пересекаются для всех r ,
- При r < s , V ( s ) содержится в дополнении к U ( r ), а дополнение к V ( r ) содержится в U ( s ).
Поскольку дополнение к V ( r ) замкнуто и содержит U ( r ), последнее условие влечет условие (2) сверху.
Это построение проводится по математической индукции . Во- первых определим U (1) = Х \ B и V (0) = Х \ А . Поскольку X нормально, мы можем найти два непересекающихся открытых множества U (1/2) и V (1/2), которые содержат A и B соответственно. Теперь предположим, что n ≥ 1 и множества U ( k / 2 n ) и V ( k / 2 n ) уже построены для k = 1, ..., 2 n −1. Поскольку X нормально, для любого a ∈ {0, 1, ..., 2 n −1} можно найти два непересекающихся открытых множества, которые содержат X \ V ( a / 2 n ) и X \ U (( a + 1) / 2 n ) соответственно. Назовите эти два открытых множества U ((2 a +1) / 2 n +1 ) и V ((2 a +1) / 2 n +1 ) и проверьте указанные выше три условия.
Проект Mizar полностью формализовал и автоматически проверил доказательство леммы Урысона в файле URYSOHN3 .
Смотрите также
Заметки
- ^ Уиллард 1970 Раздел 15.
Рекомендации
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
Внешние ссылки
- "Лемма Урысона" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Подтверждение системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20