Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с Точно отделено функцией )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В топологии и смежных отраслей математики , разделенных множеств являются пары подмножеств данного топологического пространства , которые связаны друг с другом определенным образом: примерно не говоря, ни перекрытия , ни соприкасались. Понятие того, когда два множества разделены или нет, важно как для понятия связных пространств (и их связных компонентов), так и для аксиом разделения для топологических пространств.

Разделенные наборы не следует путать с разделенными пробелами (определенными ниже), которые в некоторой степени связаны, но отличаются друг от друга. Разделимые пространства - это снова совершенно другое топологическое понятие.

Определения [ править ]

Существуют различные способы, которыми два подмножества топологического пространства X можно считать разделенными.

  • A и B не пересекаются, если их пересечение - пустое множество . Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а только с теорией множеств . Он включен сюда, потому что он самый слабый в последовательности различных понятий. Дополнительные сведения о дизъюнктности в целом см. В разделе Непересекающиеся множества .
  • И B являются разделены в X , если каждый не пересекается с другого закрытия . Сами замыкания не обязательно должны быть отделены друг от друга; например, интервалы [0,1) и (1,2] разделены на вещественной прямой R , даже если точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий пример - это то, что в любом метрическом пространстве два открытых шара B r (x 1 ) = {y: d (x 1 , y) < r } и B s (x 2 ) = {y: d (x2 , y) < s } разделяются всякий раз, когда d (x 1 , x 2 ) ≥ r + s . Обратите внимание, что любые два разделенных набора автоматически не должны пересекаться.
  • И B являются отделены друг от окрестностей , если существуют окрестности U из А и В из B таким образом, что U и V не пересекаются. (Иногда вы увидите требование, чтобы U и V были открытыми окрестностями, но в конечном итоге это не имеет значения.) Для примера A = [0,1) и B = (1,2] вы можете взять U = (-1,1) и V = (1,3). Обратите внимание, что если любые два набора разделены окрестностями, то, безусловно, они разделены.A и B открыты и не пересекаются, тогда они должны быть разделены окрестностями; просто взять U = A и V = B . По этой причине разделенность часто используется с замкнутыми множествами (как в аксиоме нормальной разделенности ).
  • И B являются отделены друг от замкнутых окрестностей , если существует замкнутая окрестность U из А и замкнутая окрестность V из B таким образом, что U и V не пересекаются. Наши примеры, [0,1) и (1,2], не разделены замкнутыми окрестностями. Вы можете сделать либо U, либо V замкнутыми, включив в него точку 1, но вы не можете сделать их оба закрытыми, не пересекая их. Обратите внимание, что если любые два набора разделены замкнутыми окрестностями, то, безусловно, они разделены окрестностями.
  • И B являются отделены друг от друга функции , если существует непрерывная функция F из пространства X на вещественной прямой R такой , что F ( ) = {0} и F ( B ) = {1}. (Иногда вы видите единичный интервал [0,1], используемый вместо R в этом определении, но это не имеет значения.) В нашем примере [0,1) и (1,2] не разделены функцией , потому что нет возможности непрерывно определять fв точке 1. Обратите внимание, что если любые два множества разделены функцией, то они также разделены замкнутыми окрестностями; окрестности могут быть даны в терминах прообраза из F , как U  : = F -1 [- е , е ] и V  : = F -1 [1- е , 1 + е ], до тех пор , как е является положительным действительным число меньше 1/2.
  • И B имеют точно отделены друг от друга функции , если существует непрерывная функция F из X в R такой , что F -1 (0) = A и F -1 (1) = B . (Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместо R , и опять же это не имеет значения.) Обратите внимание, что если любые два набора точно разделены функцией, то, безусловно, они разделены функцией. Поскольку {0} и {1} замкнуты в R, только закрытые множества могут быть точно разделены функцией, но тот факт, что два набора замкнуты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделяются функцией (даже другой функцией).

Отношение к аксиомам разделения и разделенным пробелам [ править ]

Эти аксиомы разделения являются различными условиями, которые иногда наложенными на топологические пространства, многие из которых может быть описаны в терминах различных типов , разделенные множества. В качестве примера мы определим аксиому T 2 , которая является условием, наложенным на разделенные пространства. В частности, топологическое пространство разделяется, если для любых двух различных точек x и y одноэлементные множества { x } и { y } разделены окрестностями.

Разделенные пространства также называют хаусдорфовы пространства или Т 2 пространств . Дальнейшее обсуждение разделенных пространств можно найти в статье « Хаусдорфово пространство» . Общее обсуждение различных аксиом разделения находится в статье Аксиома разделения .

Отношение к связанным пространствам [ править ]

Учитывая топологическое пространство X , иногда полезно рассмотреть, возможно ли отделить подмножество A от его дополнения . Это, конечно, верно, если A - либо пустое множество, либо все пространство X , но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство X является связано , если только эти две возможности. И наоборот, если непустое подмножество отделена от своего собственного дополнения, и если только подмножество из А , чтобы разделить это свойство является пустым множеством, то является открытым компонентом связности из X. (В вырожденном случае, когда X сам по себе является пустым множеством , авторитеты различаются в зависимости от того, является ли он связным и является ли компонент открытой связности самого себя.)

Для получения дополнительной информации о связанных пространствах см. Связанное пространство .

Связь с топологически различимыми точками [ править ]

Учитывая топологическое пространство X , две точки х и у являются топологически различимы , если существует открытое множество , что одна точка принадлежит , но с другой точки нет. Если x и y топологически различимы, то одноэлементные множества { x } и { y } должны быть не пересекающимися. С другой стороны, если синглтоны { x } и { y } разделены, то точки x и yдолжен быть топологически различимым. Таким образом, для синглтонов топологическая различимость является условием между дизъюнктностью и разделенностью.

Дополнительные сведения о топологически различимых точках см. В разделе Топологическая различимость .

Источники [ править ]

  • Стивен Уиллард, Общая топология , Addison-Wesley, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN  0-486-43479-6 (издание Dover).