Обычная мера

В математике , А регулярная мера на топологическом пространстве является мерой , для которой каждое измеримое множество может быть аппроксимирована сверху открытых измеримых множеств и снизу компактных измеримых множеств.

Определение [ править ]

Пусть ( X , T ) топологическое пространство , и пусть Σ является σ-алгебра на X . Пусть μ - мера на ( X , Σ). Измеримое подмножество A в X называется внутренним регулярным, если

{\ displaystyle \ mu (A) = \ sup \ {\ mu (F) \ mid F \ substeq A, F {\ text {компактный и измеримый}} \}}

и называется внешним регулярным, если

{\ displaystyle \ mu (A) = \ inf \ {\ mu (G) \ mid G \ supseteq A, G {\ text {открытый и измеримый}} \}}

Мера называется внутренней регулярной, если каждое измеримое множество является внутренним регулярным. Некоторые авторы используют другое определение: мера называется внутренней регулярной, если каждое открытое измеримое множество является внутренним регулярным.
Мера называется внешней регулярной, если каждое измеримое множество внешне регулярное.
Мера называется регулярной, если она является внешней регулярной и внутренней регулярной.

Примеры [ править ]

Обычные меры [ править ]

Мера Лебега на вещественной прямой является регулярной мерой: см. Теорему регулярности для меры Лебега .
Любая вероятностная мера Бэра на любом локально компактном σ-компактном хаусдорфовом пространстве является регулярной мерой.
Любая вероятностная борелевская мера на локально компактном хаусдорфовом пространстве со счетной базой для его топологии, компактном метрическом пространстве или пространстве Радона является регулярной.

Внутренние регулярные меры, не являющиеся внешними регулярными [ править ]

Пример меры на вещественном прямой со своей обычной топологией , которая не является внешней регулярным является мера μ , где , и для любого другого набора . ${\ Displaystyle \ му (\ emptyset) = 0}$ ${\ Displaystyle \ му \ влево (\ {1 \} \ справа) = 0 \, \,}$ ${\ Displaystyle \ му (А) = \ infty \, \,}$ ${\ displaystyle A}$
Борелевская мера на плоскости, которая сопоставляет любому борелевскому множеству сумму (одномерных) мер его горизонтальных сечений, является внутренней регулярной, но не внешней регулярной, поскольку каждое непустое открытое множество имеет бесконечную меру. Разновидностью этого примера является несвязное объединение несчетного числа копий вещественной прямой с мерой Лебега.
Пример борелевской меры μ на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая является внутренним регулярным, σ-конечным и локально конечным, но не внешним регулярным, приводится Бурбаки (2004 , упражнение 5 раздела 1) следующим образом. Топологическое пространство X имеет в качестве основного множества подмножество реальной плоскости, заданное осью y точек (0, y ) вместе с точками (1 / n , m / n ² ) с m , n положительными целыми числами. Топология выглядит следующим образом. Единичные точки (1 / n , m / n ²) - все открытые множества. База окрестностей точки (0, y ) задается клиньями, состоящими из всех точек в X вида ( u , v ) с | v - y | ≤ | u | ≤ 1 / n для положительного целого числа n . Это пространство X локально компактно. Мера μ задается условием, что ось y имеет меру 0, а точка (1 / n , m / n ² ) имеет меру 1 / n ^3.. Эта мера является внутренней регулярной и локально конечной, но не является внешней регулярной, поскольку любое открытое множество, содержащее ось y, имеет меру бесконечность.

Внешние регулярные меры, которые не являются внутренними регулярными [ править ]

Если μ - внутренняя регулярная мера в предыдущем примере, а M - мера, заданная формулой M ( S ) = inf _{U ⊇ S} μ ( U ), где inf берется по всем открытым множествам, содержащим борелевское множество S , то M является внешняя регулярная локально конечная борелевская мера на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая не является внутренней регулярной в сильном смысле, хотя все открытые множества являются внутренними регулярными, поэтому она внутренне регулярна в слабом смысле. Меры M и μ совпадают на всех открытых множествах, всех компактах и всех множествах, на которых M имеет конечную меру. Вy -ось имеет бесконечную M -меру, хотя все ее компактные подмножества имеют меру 0.
У измеримого кардинала с дискретной топологией есть такая вероятностная борелевская мера, что каждое компактное подмножество имеет меру 0, поэтому эта мера является внешней регулярной, но не внутренней регулярной. Существование измеримых кардиналов не может быть доказано в теории множеств ZF, но (по состоянию на 2013 год) считается совместимым с ней.

Меры, которые не являются ни внутренними, ни внешними обычными [ править ]

Пространство всех ординалов, не более чем равных первому несчетному ординалу Ω, с топологией, порожденной открытыми интервалами, является компактным хаусдорфовым пространством. Мера, которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество счетных ординалов, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является вероятностной мерой Бореля, которая не является ни внутренней, ни внешней регулярной.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-19745-9.
Партасарати, КР (2005). Вероятностные меры на метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. п. xii + 276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (См. Главу 2)

Дадли, Р.М. (1989). Реальный анализ и вероятность . Чепмен и Холл.