В математике , то теорема регулярности меры Лебега является результатом в теории меры , которые утверждают , что мера Лебега на прямом является регулярной мерой . Неформально говоря, это означает, что каждое измеримое по Лебегу подмножество реальной прямой является «приблизительно открытым » и «приблизительно замкнутым ».
Формулировка теоремы
Мера Лебега на вещественной прямой R является регулярной мерой. То есть для всех измеримых по Лебегу подмножеств A в R и ε > 0 существуют такие подмножества C и U в R , что
- C закрыт; а также
- U открыт; а также
- C ⊆ A ⊆ U ; а также
- мера Лебега U \ C строго меньше ε .
Более того, если A имеет конечную меру Лебега, то C можно выбрать компактным (т. Е. - по теореме Гейне – Бореля - замкнутым и ограниченным ).
Следствие: структура измеримых по Лебегу множеств.
Если является Лебежит подмножество R , то существует борелевское множество B и множество нулевой N таких , что является симметричной разницей в B и N :