Борелевская регулярная мера

В математике , внешняя мера μ на п - мерном евклидовом пространстве R ^п называется Бореля регулярной мерой , если выполняются следующие два условия:

• Каждое борелевское множество B  ⊆  R ^п является μ - измеримо в смысле критерия Каратеодори : для любого A  ⊆  R ^н ,

${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap B)+\mu (A\setminus B).}$

• Для любого множества A  ⊆  R ⁿ существует борелевское множество B  ⊆  R ⁿ такое, что A  ⊆  B и μ ( A ) =  μ ( B ).

Обратите внимание, что множество A не обязательно должно быть μ -измеримым: μ ( A ), однако, хорошо определено, поскольку μ - внешняя мера. Внешняя мера, удовлетворяющая только первому из этих двух требований, называется мерой Бореля , а внешняя мера, удовлетворяющая только второму требованию (с заменой борелевского множества B на измеримое множество B), называется регулярной мерой .

Лебегово внешняя мера на R ^п является примером борелевскома регулярной меры.

Можно доказать , что борелевская регулярную мера, хотя и вводятся здесь в качестве внешней меры (только счетно юга добавки ), становится полной мера ( счетно - аддитивной ) , если ограничены к борелевским .

Ссылки [ править ]

• Эванс, Лоуренс С .; Гариепи, Рональд Ф. (1992). Теория меры и тонкие свойства функций . CRC Press. ISBN 0-8493-7157-0.
• Тейлор, Ангус Э. (1985). Общая теория функций и интегрирования . Dover Publications. ISBN 0-486-64988-1.
• Фонсека, Ирен ; Гангбо, Уилфрид (1995). Теория степени в области анализа и приложений . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851196-5.