Внешняя мера

В математической области теории меры внешняя мера или внешняя мера - это функция , определенная на всех подмножествах данного набора со значениями в расширенных действительных числах, удовлетворяющих некоторым дополнительным техническим условиям. Теория внешних мер была впервые введена Константином Каратеодори , чтобы обеспечить абстрактную основу для теории измеримых множеств и счетно-аддитивных мер. ^[1]^[2] Работа Каратеодори о внешних мерах нашла множество приложений в теоретико- мерной теории множеств .(внешние меры, например, используются в доказательстве фундаментальной теоремы о продолжении Каратеодори ) и существенно использовались Хаусдорфом для определения размерноподобного метрического инварианта , который теперь называется хаусдорфовой размерностью . Внешние меры обычно используются в области геометрической теории меры .

Меры являются обобщениями длины, площади и объема, но они полезны для гораздо более абстрактных и неправильных множеств, чем интервалы в или шары в . Можно было бы ожидать определения обобщенной измерительной функции , удовлетворяющей следующим требованиям: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ варфи}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Оказывается, эти требования являются несовместимыми условиями; см . неизмеримое множество . Целью построения внешней меры на всех подмножествах X является выбор класса подмножеств (называемых измеримыми ) таким образом, чтобы удовлетворялось свойство счетной аддитивности.

Для заданного множества обозначим совокупность всех подмножеств , включающих пустое множество . Внешняя мера на является функцией множества . ${\ Displaystyle Х,}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {Х}}$ ${\ Displaystyle Х,}$ ${\ Displaystyle \ varnothing.}$ ${\ Displaystyle Х}$

Обратите внимание, что в этом определении нет никаких тонкостей относительно бесконечного суммирования. Поскольку все слагаемые предполагаются неотрицательными, последовательность частичных сумм может расходиться только по неограниченному возрастанию. Таким образом, бесконечная сумма, появляющаяся в определении, всегда будет четко определенным элементом. Если бы вместо этого внешней мере было позволено принимать отрицательные значения, ее определение пришлось бы изменить, чтобы принять во внимание возможность несходящихся бесконечных сумм. . ${\ Displaystyle [0, \ infty].}$

Альтернативное и эквивалентное определение. ^[3] Некоторые учебники, такие как Halmos (1950), вместо этого определяют внешнюю меру как функцию , такую что ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle \ му: 2 ^ {X} \ к [0, \ infty]}$