Начальная топология

В общей топологии и смежных областях математики , в исходной топологии (или индуцированной топологией ^{[1] [2]} или слабой топологии или предельной топологии или проективное топологии ) на множестве , по отношению к семейству функций на , является грубая топология на X, который делает эти функции непрерывными .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

В топологии подпространства и топологии продукта конструкции являются частными случаями начальных топологий. Действительно, первоначальное построение топологии можно рассматривать как их обобщение.

Двойное понятие является окончательной топологией , которая для данного семейства функций , отображающих к набору является лучшей топологией на том , что делает эти функции непрерывны.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Определение [ править ]

Дано множество X и индексированный семейство ( Y _я ) _{я ∈ I} из топологических пространств с функциями

${\ displaystyle f_ {i}: X \ to Y_ {i},}$

исходная топология на - самая грубая топология на X такая, что каждая${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {i} :( X, \ tau) \ to Y_ {i}}$

является непрерывным .

Явно исходная топология - это набор открытых множеств, порожденный всеми множествами вида , где - открытое множество в для некоторого i ∈ I , при конечных пересечениях и произвольных объединениях. Наборы часто называют наборами цилиндров . Если I содержит ровно один элемент, все открытые множества являются цилиндрическими множествами.${\ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}$${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

Примеры [ править ]

Некоторые топологические конструкции можно рассматривать как частные случаи исходной топологии.

• Топология подпространства начальной топология на подпространстве относительно карты включения .
• Топология продукта является начальной топологией относительно семейства отображений проекции .
• Обратный предел любой обратной системы пространств и непрерывных отображений является теоретико-множественным обратным пределом вместе с исходной топологией , определяемой каноническими морфизмами.
• Слабая топология на локально выпуклом пространстве является начальной топологии относительно непрерывных линейных форм ее двойственного пространства .
• Для данного семейства топологий { τ _i } на фиксированном множестве X исходная топология на X относительно функций id _i  : X → ( X , τ _i ) является супремумом (или соединением) топологий {τ _i } в решетка топологий на X . То есть исходная топология τ - это топология, порожденная объединением топологий { τ _i }.
• Топологическое пространство вполне регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет начальную топологию относительно своего семейства ( ограниченных ) вещественнозначных непрерывных функций.
• Каждое топологическое пространство X имеет начальную топологию относительно семейства непрерывных функций из X в пространство Серпинского .

Свойства [ править ]

Характеристика собственности [ править ]

Исходная топология на X можно охарактеризовать следующим характерным свойством:
Функция из некоторого пространства , чтобы непрерывно тогда и только тогда , когда непрерывно для каждого I  ∈  I .${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f_ {i} \ circ g}$

Обратите внимание, что, несмотря на то, что они выглядят очень похожими, это не универсальное свойство. Ниже приводится категориальное описание.

Оценка [ править ]

Благодаря универсальному свойству топологии произведения мы знаем, что любое семейство непрерывных отображений определяет единственное непрерывное отображение${\ displaystyle f_ {i} \ двоеточие от X \ до Y_ {i}}$

${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ prod _ {i} Y_ {i} \ ,.}$

Эта карта известна как оценочная карта .

Говорят, что семейство отображений разделяет точки в X, если для всех в X существует такое i , что . Ясно, что семья разделяет точки , если и только если ассоциированное отображение оценки е является инъективен .${\displaystyle \{f_{i}\colon X\to Y_{i}\}}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y)}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$

Карта оценки е будет топологическим вложением тогда и только тогда , когда X имеет начальную топологию , определяемую карты и это семейство отображений разделяют точки в X .${\displaystyle \{f_{i}\}}$

Отделение точек от закрытых множеств [ править ]

Если пространство X оснащен топологией, часто бывает полезно знать , является ли топология на X является начальной топологией , индуцированной некоторым семейством отображений на X . В этом разделе дается достаточное (но не необходимое) условие.

Семейство отображений { f _i : X → Y _i } отделяет точки от замкнутых множеств в X, если для всех замкнутых множеств A в X и всех x не в A существует такое i , что

${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$

где cl обозначает оператор замыкания .

Теорема . Семейство непрерывных отображений { е _я : X → Y _я } разделяет точки от замкнутых множеств тогда и только тогда , когда множество цилиндров , для U открыть в Y _I , образует базу топологии на X .${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$

Отсюда следует, что всякий раз, когда { f _i } отделяет точки от замкнутых множеств, пространство X имеет начальную топологию, индуцированную отображениями { f _i }. Обратное неверно, так как обычно наборы цилиндров образуют только подбазу (а не базу) для исходной топологии.

Если пространство X является Т 0 пространство , то любой набор отображений { F _I } , которая отделяет точки от замкнутых множеств в X должны также отдельные точки. В этом случае оценочная карта будет вложением.

Категориальное описание [ править ]

На языке теории категорий первоначальное построение топологии можно описать следующим образом. Позвольте быть функтором из дискретной категории в категорию топологических пространств, который отображает . Позвольте быть обычным забывчивым функтором от до . Карты можно представить как конус от до . То есть, является объектом -The категории конусов до . Точнее, этот конус определяет -структурированный косойк в .${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {Top} }$${\displaystyle \mathrm {Set} }$${\displaystyle f_{j}:X\to Y_{j}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle UY}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$${\displaystyle UY}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {Set} }$

Функтор забывчивости индуцирует функтор . Характеристическое свойство исходной топологии эквивалентно утверждению, что существует универсальный морфизм от до , то есть: конечный объект в категории . В явном виде он состоит из объекта in вместе с морфизмом , так что для любого объекта in и морфизма существует уникальный морфизм, такой, что следующая диаграмма коммутирует:${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$${\displaystyle {\bar {U}}}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle ({\bar {U}}\downarrow (X,f))}$
${\displaystyle I(X,f)}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$${\displaystyle (Z,g)}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$

Присваивание, устанавливающее исходную топологию, распространяется на функтор, который правым примыкает к функтору забывания . Фактически, это право-обратное ; так как тождественный функтор на .${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$${\displaystyle {\bar {U}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\bar {U}}}$${\displaystyle {\bar {U}}I}$${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY)}$

См. Также [ править ]

• Окончательная топология
• Индуцированная топология

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6.
• «Начальная топология» . PlanetMath .
• «Топология продукта и топология подпространства» . PlanetMath .