В функциональном анализе и смежных областях математики , локально выпуклое топологическое векторное пространства ( LCTVS ) или локально выпуклых пространств являются примерами топологических векторных пространств (TVS), обобщающих нормированные пространства . Их можно определить как топологические векторные пространства, топология которых порождается переносами сбалансированных , впитывающих , выпуклых множеств . В качестве альтернативы они могут быть определены как векторное пространство с семьей из полунормов, и топология может быть определена в терминах этого семейства. Хотя в общем случае такие пространства не обязательно нормируемы , существование выпуклой локальной базы для нулевого вектора достаточно сильно для выполнения теоремы Хана – Банаха , что дает достаточно богатую теорию непрерывных линейных функционалов .
Пространства Фреше - это локально выпуклые пространства, вполне метризуемые (с выбором полной метрики). Они являются обобщениями банаховых пространств , которые являются полными векторными пространствами относительно метрики, порожденной нормой .
История
Метризуемые топологии на векторных пространствах изучаются с момента их введения в докторскую диссертацию Мориса Фреше 1902 года Sur quelques points du Calcul fonctionnel (в которой впервые было введено понятие метрики ). После того, как понятие общего топологического пространства было определено Феликсом Хаусдорфом в 1914 году [1], хотя некоторые математики неявно использовали локально выпуклые топологии, до 1934 года только Джон фон Нейман явно определил слабую топологию на гильбертовых пространствах и сильная операторная топология на операторах в гильбертовых пространствах. [2] [3] Наконец, в 1935 году фон Нейман ввел общее определение локально выпуклого пространства (названного им выпуклым пространством ). [4] [5]
Ярким примером результата, который должен был дождаться развития и распространения общих локально выпуклых пространств (среди других понятий и результатов, таких как сети , топология произведения и теорема Тихонова ), должен быть доказан в его полной общности, является теория Банаха – Алаоглу. теорема, которую Стефан Банах впервые установил в 1932 году с помощью элементарного диагонального рассуждения для случая сепарабельных нормированных пространств [6] (в этом случае единичный шар двойственного объекта метризуем ).
Определение
Предположим, что X - векторное пространство надподполе из комплексных чисел ( как правило , сам или ). Локально выпуклое пространство определяется либо в терминах выпуклых множеств, либо, что то же самое, в терминах полунорм.
Определение через выпуклые множества
Подмножество C в X называется
- Выпуклый, если для всех x , y в C и TX + (1 - т ) у в С . Другими словами, С содержит все отрезки между точками в C .
- Обведено, если для всех x в C , λx находится в C, если | λ | = 1 . Еслиэто означает, что C равно его отражению через начало координат. Дляэто означает, что для любого x в C , C содержит окружность, проходящую через x , с центром в начале координат, в одномерном комплексном подпространстве, порожденном x .
- Конуса (когда основное поле упорядочено ) , если для всех х в С и 0 & le ; А , & le ; 1, Ого в C .
- Сбалансирован, если для всех x в C , λx находится в C, если | λ | ≤ 1 . Еслиэто означает, что если x находится в C , C содержит отрезок прямой между x и - x . Дляэто означает, что для любого x в C , C содержит диск с x на его границе с центром в начале координат в одномерном комплексном подпространстве, порожденном x . Точно так же сбалансированный набор представляет собой обведенный конус.
- Абсорбирующий или поглощающий, если для каждого x в X существуеттакое, что x находится в tC для всех удовлетворение Набор C можно масштабировать на любое «большое» значение, чтобы поглотить каждую точку в пространстве.
- В любом TVS все окрестности источника являются абсорбирующими. [7]
- Абсолютно выпуклый или диск, если он одновременно сбалансированный и выпуклый. Это равносильно тому, что она замкнута относительно линейных комбинаций, коэффициенты которых в сумме абсолютно равны; такой набор является абсорбентом , если она охватывает все X .
Топологическое векторное пространство называется локально выпуклым , если происхождение имеет окрестность основу (то есть локальная база) , состоящую из выпуклых множеств. [7]
Фактически, каждая локально выпуклая TVS имеет базис окрестностей начала координат, состоящий из абсолютно выпуклых множеств (т. Е. Дисков), причем этот базис соседства может дополнительно быть выбран так, чтобы он также состоял полностью из открытых множеств или полностью из замкнутых множеств. [7] Каждая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из сбалансированных множеств, но только локально выпуклая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из сбалансированных и выпуклых множеств. TVS может иметь некоторые окрестности начала координат, которые являются выпуклыми, но не локально выпуклыми.
Поскольку трансляция (по определению «топологического векторного пространства») непрерывна, все трансляции являются гомеоморфизмами , поэтому каждая база окрестностей начала координат может быть переведена в базу окрестностей любого заданного вектора.
Определение через полунормы
Полунорма на X представляет собой карту такой, что
- p положительно или положительно полуопределено:;
- p является положительно однородным или положительно масштабируемым: для каждого скаляра Так, в частности, ;
- p является субаддитивным. Он удовлетворяет неравенству треугольника:
Если p удовлетворяет положительной определенности, которая утверждает, что если тогда , то p - норма . Хотя в общем случае полунормы не обязательно должны быть нормами, существует аналог этого критерия для семейств полунорм, отделенность, определенный ниже.
- Определение : Если X - векторное пространство и семейство полунорм на X, то подмножество из называется базой полунорм для если для всех существует и настоящий такой, что [8]
- Определение (вторая версия): локально выпуклое пространство определяется как векторное пространство X вместе с семействомполунорм на X .
Топология семинормы
Предположим, что X - векторное пространство над где - либо действительные, либо комплексные числа, и пусть (соотв. обозначим открытый (соответственно закрытый) шар радиуса в Семья полунорм на векторном пространстве X индуцирует каноническую топологию векторного пространства на X , называемую исходной топологией, индуцированной полунормами, превращая ее в топологическое векторное пространство (TVS). По определению, это грубейшая топология на X, для которой все отображения в непрерывны.
Непрерывность операций в векторном пространстве в этой топологии следует из свойств 2 и 3 выше. Легко видеть, что результирующее топологическое векторное пространство является «локально выпуклым» в смысле первого определения, данного выше, поскольку каждое абсолютно выпуклый и впитывающий (и потому, что последние свойства сохраняются при переводах).
Это возможно для локально выпуклой топологии на пространстве X индуцированным семейством норм , но для X , чтобы не быть нормируемым (то есть, чтобы его топология индуцируется единой нормы).
Основа и подоснова
Предположим, что семейство полунорм на X , который индуцирует локально выпуклая топология τ на X . Подбазис в начале координат задаются все множества видакогда p переходити r пробегает положительные действительные числа. Основание в начале координат задаются совокупностью всех возможных конечных пересечений таких множеств подбазиса.
Напомним, что топология TVS инвариантна к трансляции, что означает, что если S - любое подмножество X, содержащее начало координат, то для любого S является окрестностью 0 тогда и только тогда, когдаявляется окрестностью точки x ; таким образом, достаточно определить топологию в начале координат. База окрестностей y для этой топологии получается следующим образом: для любого конечного подмножества F множества и каждый позволять
Основы полунорм и насыщенных семейств
Если X - локально выпуклое пространство и еслиявляется набором непрерывных полунорм на X , тоназывается базой непрерывного полунорма , если она является базой полунормов для сбора все непрерывного полунорма на X . [8] В явном виде это означает, что для всех непрерывных полунорм p на X существует и настоящий такой, что [8]
Если является базой непрерывных полунорм для локально выпуклой ТВП X, то семейство всех множеств видапоскольку q меняетсяа r меняется в зависимости от положительных действительных чисел, является базой окрестностей начала координат в X (а не просто подбазой, поэтому нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств). [8]
Семья полунорм на векторном пространстве X называется насыщенным, если для любых p и q из, полунорма, определяемая принадлежит .
Если насыщенное семейство непрерывных полунорм, индуцирующее топологию на X, то совокупность всех множеств видакогда p переходити r пробегает все положительные действительные числа, образует базис окрестности в начале координат, состоящий из выпуклых открытых множеств; [8] Это формирует основу в начале координат, а не просто подбазу, так что, в частности, нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств. [8]
Основа норм
Следующая теорема означает, что если X - локально выпуклое пространство, то топология X может быть определена семейством непрерывных норм на X ( норма - это полунорма где подразумевает ) тогда и только тогда, когда на X существует хотя бы одна непрерывная норма . [9] Это связано с тем, что сумма нормы и полунормы является нормой, поэтому, если локально выпуклое пространство определяется некоторым семейством полунорм (каждая из которых обязательно непрерывна), то семейство норм (также непрерывных), полученных добавлением некоторой заданной непрерывной нормы к каждому элементу обязательно будет набор норм, определяющий ту же локально выпуклую топологию. Если существует непрерывная норма на топологическом векторном пространстве X, то X обязательно хаусдорфово, но обратное, вообще говоря, неверно (даже для локально выпуклых пространств или пространств Фреше ).
Теорема [10] - Пусть - пространство Фреше над полем Тогда следующие эквиваленты:
- вовсе не допускает непрерывную норму (то есть, любая непрерывная полунорма нане может быть нормой).
- содержит векторное подпространство, TVS-изоморфное
- содержит дополненное векторное подпространство , которое TVS-изоморфно
Сети
Предположим, что топология локально выпуклого пространства X индуцирована семействомнепрерывного полунорм на X . Если и если является нетто в X , тов X тогда и только тогда, когда для всех [11] Более того, еслиКоши в X , то и для каждого [11]
Эквивалентность определений
Хотя определение в терминах базы окрестностей дает лучшую геометрическую картину, определение в терминах полунорм легче работать на практике. Эквивалентность двух определений следует из конструкции, известной как функционал Минковского или калибровка Минковского. Ключевая особенность полунормов что обеспечивает выпуклость их е - шары является неравенством треугольника .
Для поглощающего множества C такого, что если x находится в C , то tx находится в C всякий раз, когда, определим функционал Минковского в C как
Из этого определения следует, что является полунормой, если C сбалансирована и выпуклая (по предположению также абсорбирующая). Наоборот, для семейства полунорм множества
образуют основу выпуклых впитывающих сбалансированных наборов.
Способы определения локально выпуклой топологии
Теорема [7] - Предположим , что X является (действительное или комплексное) векторное пространство,- база фильтров подмножеств X такая, что:
- Каждый является выпуклым , сбалансированным и поглощающим ;
- Для каждого существует некоторое реальное r, удовлетворяющее такой, что
потом является базой окрестностей в 0 для локально выпуклой TVS топологии на X .
Теорема [7] - Предположим , что X является (действительное или комплексное) векторное пространство,быть непустой набор выпуклых, уравновешены и поглощающие подмножества X . Тогда множество всех положительных скалярных кратных конечных пересечений множеств вобразует базис окрестностей в точке 0 для локально выпуклой TVS топологии на X .
Дальнейшие определения
- Семья полунорм называется полным или разделенным, или называется разделением точек, если всякий развыполняется для любого α, то x обязательно 0 . Локально выпуклое пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно имеет отделенное семейство полунорм. Многие авторы используют в определении критерий Хаусдорфа.
- Псевдометрика является обобщением метрики , которая не удовлетворяет условию , что только тогда, когда Локально выпуклое пространство псевдометризуемо, что означает, что его топология возникает из псевдометрии тогда и только тогда, когда у него есть счетное семейство полунорм. Действительно, тогда псевдометрия, порождающая ту же топологию, задается формулой (где 1/2 n можно заменить любой положительной суммируемой последовательностью). Эта псевдометрия трансляционно-инвариантна, но не однородна, что означаети поэтому не определяет (псевдо) норму. Псевдометрика является честной метрикой тогда и только тогда, когда семейство полунорм разделено, поскольку это так, если и только если пространство хаусдорфово. Если к тому же пространство полно, оно называется пространством Фреше .
- Как и любое топологическое векторное пространство, локально выпуклое пространство также является однородным пространством . Таким образом, можно говорить о равномерной непрерывности , равномерной сходимости и последовательностях Коши .
- Сеть Коши в локально выпуклом пространстве является чистой { х κ } κ , что для любого е > 0 и каждый полунорме р & alpha ; , существует κ такое , что при всех Х , μ > κ , р α ( х λ - х μ ) < ε . Другими словами, сеть должна быть Коши одновременно во всех полунормах. Определение полноты дается здесь в терминах сетей вместо более известных последовательностей, потому что в отличие от пространств Фреше, которые являются метризуемыми, общие пространства могут быть определены несчетным семейством псевдометрик. Последовательностей, которые по определению счетны, недостаточно для характеристики сходимости в таких пространствах. Локально выпуклое пространство полно тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши сходится.
- Семейство полунорм становится предупорядоченным множеством при соотношении p α ≤ p β тогда и только тогда, когда существует M > 0 такое, что для всех x , p α ( x ) ≤ Mp β ( x ) . Говорят, что это направленное семейство полунорм, если семейство является направленным множеством с добавлением в качестве соединения , другими словами, если для любых α и β существует такое γ , что p α + p β ≤ p γ . Каждое семейство полунорм имеет эквивалентное направленное семейство, то есть семейство, определяющее одну и ту же топологию. В самом деле, для семейства { p α } α ∈ I , пусть Φ - множество конечных подмножеств I , тогда для каждого F из Φ определим Можно проверить, что { q F } F ∈ Φ - эквивалентное ориентированное семейство.
- Если топология пространства индуцирована одной полунормой, то пространство полунормируемо . Любое локально выпуклое пространство с конечным семейством полунорм полунормируемо. Более того, если пространство хаусдорфово (семейство разделено), то пространство нормируется, а норма задается суммой полунорм. В терминах открытых множеств локально выпуклое топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда 0 имеет ограниченную окрестность.
Достаточные условия
Свойство расширения Хана-Банаха
Пусть X - ТВП. Скажем , что векторное подпространство М из X обладает свойством расширения , если любой непрерывный линейный функционал на М может быть распространен на непрерывный линейный функционал на X . [12] Скажем, что X обладает свойством расширения Хана-Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство X обладает свойством расширения. [12]
Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых TVS существует обратное:
Теорема [12] (Kalton) - каждые полные метризуемые TVS со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукло.
Если векторное пространство X имеет несчетную размерность и если мы наделим его лучшей векторной топологией, то это TVS с HBEP, который не является ни локально выпуклым, ни метризуемым. [12]
Характеристики
Через, семейство непрерывного полунорма, порождающая топологию X .
Топологические свойства
- Предположим, что Y является TVS (не обязательно локально выпуклой или хаусдорфовой) над действительными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества Y - это в точности те, которые имеют вид для некоторых и некоторый положительный непрерывный сублинейный функционал р на Y . [13]
- Если а также тогда тогда и только тогда, когда для каждого и каждый конечный набор есть некоторые такой, что [14]
- Закрытие в X равно[15]
- Всякая хаусдорфова локально выпуклая TVS гомеоморфна подпространству произведения банаховых пространств . [16]
Топологические свойства выпуклых подмножеств
- Внутренность и замыкание выпуклого подмножества TVS снова выпуклые. [17]
- Сумма Минковского двух выпуклых множеств выпукла; кроме того, скалярное кратное выпуклого множества снова выпукло. [17]
- Если C - выпуклое множество с непустой внутренней частью, то замыкание C равно закрытию внутренней части C ; Кроме того, внутренняя часть C равна внутренней части закрытия C . [17] [18]
- Итак, если выпуклое множество C имеет непустую внутренность, то C является замкнутым (соответственно открытым) множеством тогда и только тогда, когда оно является регулярным замкнутым (соответственно регулярным открытым) множеством.
- Если C является выпуклым подмножеством TVS X (не обязательно по Хаусдорфу), x принадлежит внутренней части S , а y принадлежит замыканию S , то открытый отрезок прямой соединяет x и y (то есть,) Принадлежит внутренности S . [18] [19]
- Если X - локально выпуклое пространство (не обязательно Хаусдорфово), M - замкнутое векторное подпространство X , V - выпуклая окрестность 0 в M , и есливектор, не лежащий в V , то существует выпуклая окрестность U точки 0 в X такая, что а также [17]
- Замыкание выпуклого подмножества хаусдорфовой локально выпуклой TVS X одинаково для всех локально выпуклых хаусдорфовых топологий TVS на X , которые совместимы с двойственностью между X и его непрерывным двойственным пространством. [20]
- В локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка вполне ограниченного множества вполне ограничены. [7]
- В полном локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка компакта компактны. [7]
- В более общем смысле, если K - компактное подмножество локально выпуклого пространства, то выпуклая оболочка (соответственно дисковый корпус ) компактно тогда и только тогда, когда оно полно. [7]
- В локально выпуклом пространстве выпуклые оболочки ограниченных множеств ограничены. Это не относится к TVS в целом. [21]
- В пространстве Фреше замкнутая выпуклая оболочка компакта компактна. [22]
- В локально выпуклом пространстве любая линейная комбинация вполне ограниченных множеств вполне ограничена. [21]
Свойства выпуклой оболочки
Для любого подмножества S из ТВС в X , тем выпуклая оболочка (соответственно. Замкнутая выпуклая оболочка , сбалансированные корпуса , соответственно выпуклый уравновешенная оболочка ) из S , обозначаются (соотв. , ), Является наименьшим выпуклым (соответственно замкнутый выпуклый, сбалансирован, выпуклое уравновешенное) подмножество X , содержащей S .
- В квазиполных локально выпуклых ТВП замыкание выпуклой оболочки компактного подмножества снова компактно.
- В локально выпуклой TVS Хаусдорфа выпуклая оболочка предкомпактного множества снова предкомпактна. [23] Следовательно, в полной локально выпуклой хаусдорфовой ТВП замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова является компактной. [24]
- В любой TVS выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств компактна (и выпукла). [7]
- Отсюда следует, что в любой ТВП Хаусдорфа выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств замкнута (помимо того, что она компактна и выпукла); в частности, выпуклая оболочка такого объединения равна замкнутой выпуклой оболочке этого объединения.
- В общем случае замкнутая выпуклая оболочка компакта не обязательно компактна.
- В любой нехаусдорфовой TVS существуют подмножества, которые являются компактными (и, следовательно, полными), но не замкнутыми.
- В биполярной теореме гласит , что биполярное (т.е. полярная полярный) подмножеств локально выпуклого хаусдорфовый ТВС равен замкнутые выпуклой уравновешенной оболочку этого множества. [25]
- Уравновешенная оболочка выпуклого множества не обязательно выпукла.
- Если C и D - выпуклые подмножества топологического векторного пространства (TVS) X и если, то существуют и действительное число r, удовлетворяющее такой, что [17]
- Если M - векторное подпространство TVS X , C - выпуклое подмножество M , а D - выпуклое подмножество X, такое что, тогда . [17]
- Напомним , что наименьшее сбалансированными подмножество X , содержащее множество S , называется уравновешенной оболочкой из S и обозначаетсяДля любого подмножества S из X , на выпуклой уравновешенной оболочке из S , обозначается, является наименьшим подмножеством X, содержащим S, которое является выпуклым и сбалансированным. [26] Выпуклая сбалансированная оболочка S равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки S (т. Е.), А выпуклая уравновешенная оболочка S является не обязательно совпадают с уравновешенной оболочкой выпуклой оболочки S (т.е. не обязательно равно ). [26]
- Если A и B - подмножества TVS X и если r - скаляр, то, , а также Более того, если компактно, то [27]
- Если A и B - подмножества TVS X , замкнутая выпуклая оболочка которой компактна, то[27]
- Если S - выпуклое множество в комплексном векторном пространстве X и существует некоторое такой, что тогда для всех настоящих такой, что В частности, для всех скаляров a, таких что
Примеры и непримеры
Самая тонкая и грубая локально выпуклая топология
Самая грубая векторная топология
Любое векторное пространство X, наделенное тривиальной топологией (т. Е. Недискретной топологией), является локально выпуклой TVS (и, конечно, самой грубой такой топологией). Эта топология хаусдорфова тогда и только тогда, когдаНедискретная топология превращает любое векторное пространство в полную псевдометризуемую локально выпуклую ТВП.
Напротив, дискретная топология формирует векторную топологию на X тогда и только тогда, когдаЭто следует из того факта, что каждое топологическое векторное пространство является связным пространством .
Тончайшая локально выпуклая топология
Если X - вещественное или комплексное векторное пространство и если- множество всех полунорм на X, то локально выпуклая топология TVS, обозначаемая 𝜏 lc , чтоиндуцирует на X называется лучшей локально выпуклая топология на X . [28] Эта топология может также быть описана как ТВС-топология на X , имеющей в качестве окрестностей основания при температуре от 0 множества всех поглощающих дисков в X . [28] Любая локально выпуклая TVS-топология на X обязательно является подмножеством 𝜏 lc . ( Х , τ ЖЕ ) является Хаусдорфово . [15] Любое линейное отображение из ( X , 𝜏 lc ) в другую локально выпуклую TVS обязательно непрерывно. [15] В частности, каждый линейный функционал на ( X , 𝜏 lc ) непрерывен и каждое векторное подпространство X замкнуто в ( X , lc ) .; [15] поэтому, если X бесконечномерно, то ( X , 𝜏 lc ) не является псевдометризуемым (и, следовательно, не метризуемым). [28] Более того, 𝜏 lc является единственной хаусдорфовой локально выпуклой топологией на X со свойством непрерывности любого линейного отображения из нее в любое хаусдорфово локально выпуклое пространство. [29] Пространство ( X , 𝜏 lc ) - борнологическое пространство . [30]
Примеры локально выпуклых пространств
Каждое нормированное пространство является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, и большая часть теории локально выпуклых пространств обобщает части теории нормированных пространств. Семейство полунорм можно принять за единую норму. Каждое банахово пространство является полным хаусдорфовым локально выпуклым пространством, в частности, пространства L p с p ≥ 1 являются локально выпуклыми.
Вообще говоря, каждое пространство Фреше локально выпукло. Пространство Фреше можно определить как полное локально выпуклое пространство с выделенным счетным семейством полунорм.
Космос из вещественной последовательностей с семейством полунорма заданного
локально выпуклый. Счетное семейство полунорм полно и сепарабельно, поэтому это пространство Фреше, которое не нормируется. Это также предельная топология пространств, встроенный в естественным образом, дополняя конечные последовательности бесконечным числом .
Для любого векторного пространства X и набора F линейных функционалов на нем, X можно превратить в локально выпуклое топологическое векторное пространство, задав ему самую слабую топологию, делающую все линейные функционалы в F непрерывными. Это известно как слабая топология или исходная топология , определяемой F . Коллекция F может быть алгебраически сопряженным из X или любой другой коллекции. Семейство полунорм в этом случае задается формулойдля всех е в F .
Пространства дифференцируемых функций дают другие ненормируемые примеры. Рассмотрим пространство гладких функций такой, что , где a и b - мультииндексы . Семейство полунорм, определяемоеразделено, счетно и пространство полно, поэтому это метризуемое пространство является пространством Фреше. Оно известно как пространство Шварца или пространство функций быстрого убывания, а его двойственное пространство - это пространство умеренных распределений .
Важным функциональным пространством в функциональном анализе является пространство D ( U ) гладких функций с компактным носителем вДля топологии этого пространства требуется более детальное построение, поскольку пространство C∞
0( U ) не полна в равномерной норме. Топология на D ( U ) определяется следующим образом: для любого фиксированного компакта K ⊂ U пространствофункций f ∈ C∞
0( U ) с supp ( f ) ⊂ K - пространство Фреше со счетным семейством полунорм || f || m = sup k≤m sup x | D k f ( x ) | (это собственно нормы, а доработка пространствас || ⋅ || m norm является банаховым пространством D m ( K ) ). Для любого набора { K λ } λ компактных множеств, направленных по включению и таких, что их объединение равно U , C∞
0( K λ ) образуют прямую систему , а D ( U ) определяется как предел этой системы. Такой предел пространств Фреше известен как LF-пространство . Более конкретно, D ( U ) - это объединение всех C∞
0( K λ ) с самой сильной локально выпуклой топологией, которая делает каждое отображение включения C∞
0( K λ ) ↪ D ( U ) непрерывно. Это пространство локально выпукло и полно. Однако оно не метризуемо, и поэтому не является пространством Фреше. Двойственное пространствоэто пространство распределений на
Более абстрактно, учитывая топологическое пространство X , пространствонепрерывных (не обязательно ограниченных) функций на X можно задать топологию равномерной сходимости на компактах. Эта топология определяется полунормами φ K ( f ) = max {| f ( x ) | : x ∈ K } (поскольку K меняется на направленном множестве всех компактных подмножеств X ). Когда X локально компактно (например, открытое множество в) применяется теорема Стоуна-Вейерштрасса - в случае вещественнозначных функций любая подалгебраразделяющая точки и содержащая постоянные функции (например, подалгебру многочленов), плотна .
Примеры пространств без локальной выпуклости
Многие топологические векторные пространства локально выпуклы. Примеры пространств, в которых отсутствует локальная выпуклость, включают следующее:
- Пространства L р ([0, 1]) дляоснащены F-нормойОни не являются локально выпуклыми, так как единственная выпуклая окрестность нуля - это все пространство. В более общем смысле пространства L p ( μ ) с безатомной конечной мерой μ и не являются локально выпуклыми.
- Пространство измеримых функций на единичном интервале (где мы идентифицируем две функции, которые почти всюду равны ) имеет топологию векторного пространства, определяемую трансляционно-инвариантной метрикой: (которая индуцирует сходимость по мере измеримых функций; для случайных величин сходимость по мере - это сходимость по вероятности ) Это пространство часто обозначают
Оба примера обладают тем свойством, что любое непрерывное линейное отображение действительных чисел равно 0 . В частности, их сопряженное пространство тривиально, то есть содержит только нулевой функционал.
- Пространство последовательностей ℓ p ( N ) ,, не является локально выпуклым.
Непрерывные отображения
Теорема [31] - Пусть- линейный оператор между TVS, где Y локально выпукло (заметим, что X не обязательно должен быть локально выпуклым). потомнепрерывна тогда и только тогда, когда для любой непрерывной полунормы q на Y существует непрерывная полунорма p на X такая, что
Поскольку локально выпуклые пространства являются топологическими пространствами, а также векторными пространствами, естественными функциями, которые следует учитывать между двумя локально выпуклыми пространствами, являются непрерывные линейные отображения . Используя полунормы, можно дать необходимый и достаточный критерий непрерывности линейного отображения, который очень похож на более известное условие ограниченности, найденное для банаховых пространств.
Для локально выпуклых пространств X и Y с семействами полунорм { p α } α и { q β } β соответственно линейное отображениенепрерывна тогда и только тогда, когда для любого β существуют α 1 , α 2 ,…, α n и M > 0 такие, что для всех v в X
Другими слова, каждое полнормы диапазона Т является ограниченным сверху некоторой конечной суммой полунормов в домене . Если семейство { p α } α является направленным семейством, и его всегда можно выбрать направляемым, как объяснено выше, тогда формула становится еще более простой и знакомой:
Класс всех ЛВП пространств образует категорию с линейным непрерывными отображениями в качестве морфизмов .
Линейные функционалы
Теорема [31] - Если Х представляет собой ТВС (не обязательно локально выпуклые) , а если F представляет собой линейный функционал на X , то F непрерывен тогда и только тогда , когда существует непрерывная полунорма р на X такого , что
Если X - вещественное или комплексное векторное пространство, f - линейный функционал на X , а p - полунорма на X , то если и только если [31] Если f - ненулевой линейный функционал на вещественном векторном пространстве X и если p - полунорма на X , то если и только если [15]
Многолинейные карты
Позволять быть целым числом, - ТВП (не обязательно локально выпуклые), пусть Y - локально выпуклая ТВП, топология которой определяется семейством непрерывных полунорм, и пусть - полилинейный оператор , линейный по каждой из своих n координат. Следующие варианты эквивалентны:
- M непрерывно.
- Для каждого существуют непрерывные полунормы на соответственно такие, что для всех [15]
- Для каждого , существует некоторая окрестность 0 в на котором ограничен. [15]
Смотрите также
- Выпуклый набор - в геометрии набор, который пересекает каждую линию в один линейный сегмент.
- Теорема Крейна – Мильмана - Когда пространство совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек
- Линейная форма - линейная карта из векторного пространства в его поле скаляров.
- Локально выпуклая векторная решетка
- Функционал Минковского
- Семинорм
- Сублинейный функционал
- Топологическая группа - группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
- Векторное пространство - Базовая алгебраическая структура линейной алгебры
Заметки
- ↑ Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre (1914).
- ^ фон Нейман, Дж. Собрание сочинений . Том II. стр.94-104
- ^ Dieudonne, J. История функционального анализа Глава VIII. Секция 1.
- ^ фон Нейман, Дж. Собрание сочинений . Том II. стр.508-527
- ^ Dieudonne, J. История функционального анализа Глава VIII. Раздел 2.
- ^ Банах, С. Теория линейных операций с.75. Гл. VIII. П. 3. Теорема 4. в переводе из Теории линейных операций (1932).
- ^ a b c d e f g h i Narici & Beckenstein 2011 , стр. 67-113.
- ^ a b c d e f Narici & Beckenstein 2011 , стр. 122.
- ^ Jarchow 1981 , стр. 130.
- ^ Jarchow 1981 , стр. 129-130.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 126.
- ^ a b c d Narici & Beckenstein 2011 , стр. 225-273.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 177-220.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 149.
- ^ a b c d e f g Narici & Beckenstein 2011 , стр. 149-153.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 115-154.
- ^ Б с д е е Тревес 2006 , р. 126.
- ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 38.
- Перейти ↑ Conway 1990 , p. 102.
- ^ Trèves 2006 , стр. 370.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 155-176.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 7.
- ^ Trèves 2006 , стр. 67.
- ^ Trèves 2006 , стр. 145.
- ^ Trèves 2006 , стр. 362.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 68.
- ^ а б Данфорд 1988 , стр. 415.
- ^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , стр. 125-126.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 476.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 446.
- ^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , стр. 126-128.
Рекомендации
- Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261 .
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .