Банахово пространство

В математике , точнее в функциональном анализе , банахово пространство (произносится[ˈBanax] ) - полное нормированное векторное пространство . Таким образом, банахово пространство - это векторное пространство с метрикой, которая позволяет вычислять длину вектора и расстояние между векторами, и является полным в том смысле, что последовательность векторов Коши всегда сходится к четко определенному пределу, который находится внутри пространства.

Пространства Банаха названы в честь польского математика Стефана Банаха , который представил это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с Хансом Ханом и Эдуардом Хелли . ^[1] Морис Рене Фреше был первым, кто использовал термин «пространство Банаха», а Банах, в свою очередь, ввел термин « пространство Фреше ». ^[2] банаховы первоначально вырос из исследования функциональных пространств с помощью Гильберта , Фреше и Рисса ранее в века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа, исследуемые пространства часто являются банаховыми.

Определение [ править ]

Банахово пространство является полным нормированным пространством ( X , || ⋅ ||) . Нормированное пространство является парой ^{[примечание 1]} ( Х , || ⋅ ||) , состоящий из векторного пространства X над скалярным полем K (где K является ℝ или ℂ ) вместе с выделенным ^{[примечание 2]} нормы || ⋅ || :  X → ℝ . Как и все нормы, эта норма индуцирует инвариантную относительно сдвига ^{[примечание 3]} функцию расстояния, называемуюканоническая или ( нормальная ) индуцированная метрика , определяемая ^{[примечание 4]}

d ( x , y ): = || у - х ||

для всех векторов х , у ∈ X . Это превращает X в метрическое пространство ( X , d ) . Последовательность x _• = ( x _n )^∞
_{п = 1}называется д -Cauchy или Коши в ( X , д ) ^{[примечание 5]} или || ⋅ || -Коши тогда и только тогда, когда для каждого действительного r > 0 существует некоторый индекс N такой, что

d ( x _n , x _m ) = || x _n - x _m || < г

всякий раз , когда т и п больше , чем N . Каноническая метрика d называется полной метрикой, если пара ( X , d ) является полным метрическим пространством , что по определению означает, что для любой d - последовательности Коши x _• = ( x _n )^∞
_{п = 1}в ( X , d ) существует такой x ∈ X , что

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | x_ {n} -x \ right \ | = 0}$

где, поскольку || х _п - х || = d ( x _n , x ) , сходимость этой последовательности может быть эквивалентно выражена как:

${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} x_ {n} = x}$в ( X , d ) .

По определению, нормированное пространство ( X , || ⋅ ||) является банаховым пространством тогда и только тогда, когда ( X , d ) является полным метрическим пространством , или, иначе говоря, тогда и только тогда, когда каноническая метрика d является полной метрикой . Норма || ⋅ || нормированного пространства ( X , || ⋅ ||) называется полной нормой тогда и только тогда, когда ( X , || ⋅ ||) является банаховым пространством.

L-полувнутренний продукт

Для любого нормированного пространства ( X , || ⋅ ||) существует L- полускалярное произведение («L» для Гюнтера Люмера ) ⟨⋅, ⋅⟩ на X такое, что для всех x ∈ X ; в общем, может быть бесконечно много L-полускалярных произведений, удовлетворяющих этому условию. L-полускалярные произведения - это обобщение скалярных произведений , которые принципиально отличает гильбертовы пространства от всех других банаховых пространств. Это показывает, что все нормированные пространства (и, следовательно, все банаховы пространства) можно рассматривать как обобщения (пред) гильбертовых пространств.${\ textstyle \ | х \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

Топология

Каноническая метрика d нормированного пространства ( X , || ⋅ ||) индуцирует обычную метрическую топологию τ _d на X , где эта топология , называемая канонической или индуцированной нормой топологией , делает ( X , τ _d ) в хаусдорфово метризуемое топологическое пространство . Автоматически предполагается, что каждое нормированное пространство несет эту топологию, если не указано иное. С этой топологией каждое банахово пространство является пространством Бэра., хотя есть нормированные пространства Бэра, но не Банаха. ^[3] Эта индуцированная нормой топология всегда превращает норму в непрерывное отображение || ⋅ || : ( X , τ _d ) → ℝ .

Эта индуцированная нормой топология также превращает ( X , τ _d ) в так называемое топологическое векторное пространство (TVS) ^{[примечание 6],} которое по определению является векторным пространством, наделенным топологией, делающей операции сложения и скалярного умножения непрерывными. . Подчеркивается, что TVS ( X , τ _d ) - это только векторное пространство вместе с определенным типом топологии; то есть, когда он рассматривается как TVS, он не связан с какой-либо конкретной нормой или метрикой (обе из которых « забываются »).

Полнота [ править ]

Полные нормы и эквивалентные нормы

Две нормы в векторном пространстве называются эквивалентными тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию. ^[4] Если p и q - две эквивалентные нормы на векторном пространстве X, то ( X , p ) является банаховым пространством тогда и только тогда, когда ( X , q ) является банаховым пространством. В этой сноске показан пример непрерывной нормы в банаховом пространстве, которая не эквивалентна данной норме этого банахова пространства. ^{[примечание 7] [4]} Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны, и каждое конечномерное нормированное пространство является банаховым пространством.^[5]

Полные нормы vs полные метрики

Пусть ( X , || ⋅ ||) является нормированным пространством , и что τ топология нормы , индуцированной на X . Предположим, что D - любая метрика на X такая, что топология, индуцируемая D на X , равна τ . Если D является перевод инвариант ^{[примечание 3]} , то ( X , || ⋅ ||) банахово пространство , если и только если ( X , D ) является полным метрическим пространством. ^[6] Если D является не перевод инвариант, то это может быть возможным ( X , || ⋅ ||) в банахово пространство , а ( X , D ) , чтобы не быть полным метрическим пространством ^[7] (см это примечание ^{[примечание 8 ]} для примера). В противоположность этому , теорема Кли, ^{[8] [9] [примечание 9]} , которая также применима ко всем метризуемых топологических векторных пространств , следует , что если существует любое ^{[Примечание 10]} полное метрическое D на Xиндуцирующий топологию нормы на X , то ( X , || ⋅ ||) - банахово пространство.

Метрика D на векторном пространстве X индуцируется нормой на X тогда и только тогда, когда D инвариантен относительно сдвигов и абсолютно однороден , что означает, что D ( sx , sy ) = | s | D ( x , y ) для всех скаляров s и всех x , y ∈ X , и в этом случае функция || х || : = D ( x , 0) определяет норму на Xи каноническая метрика, индуцированная || ⋅ || равна D .

Полные нормы против полных топологических векторных пространств

Помимо метрической полноты, существует еще одно понятие полноты, а именно понятие полного топологического векторного пространства (TVS) или TVS-полноты. Это понятие зависит только от векторного вычитания и топологии τ , которой наделено векторное пространство, поэтому, в частности, это понятие полноты TVS не зависит от того, какая норма индуцировала топологию τ (и даже применяется к TVS, которые даже не являются метризуемыми). Каждое банахово пространство - это полная ТВС. Более того, нормированное пространство является банаховым пространством (т. Е. Его каноническая метрика полна) тогда и только тогда, когда оно полно как топологическое векторное пространство. Кроме того, если ( X , τ) - топологическое векторное пространство,топология индуцирована некоторой (возможно, неизвестной) нормой , то ( X , τ) является полным топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда X можно присвоить норму || ⋅ || который индуцирует на X топологию τ, а также превращает ( X , || ⋅ ||) в банахово пространство. Если ( X , τ) является метризуемым топологическим векторным пространством (где заметим, что любая индуцированная нормой топология метризуема), то ( X , τ) является полным TVS тогда и только тогда, когда этопоследовательно завершать TVS, что означает, что достаточно проверить, что каждая последовательность Коши в ( X , τ) сходится в ( X , τ) к некоторой точке X (т.е. нет необходимости рассматривать более общее понятие произвольных сетей Коши ) .

Характеристика по сериям

Структура векторного пространства позволяет связать поведение последовательностей Коши с поведением сходящихся серий векторов . Нормированное пространство X является банаховым тогда и только тогда, когда каждый абсолютно сходящийся ряд в X сходится в X , ^[10]

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | v_ {n} \ | <\ infty \ quad {\ text {подразумевает, что}} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} v_ {n} \ \ {\ text {сходится в}} \ \ X}$.

Завершенные [ править ]

Каждое нормированное пространство может быть изометрически вложено в плотное векторное подпространство некоторого банахова пространства, где это банахово пространство называется пополнением нормированного пространства. Это хаусдорфово пополнение единственно с точностью до изометрического изоморфизма.

Более точно, для каждого нормированного пространства X , существует банахово пространство Y и отображение T  : X → Y такое , что Т представляет собой изометрическое отображение и Т ( Х ) плотно в Y . Если Z является еще банахово пространство таким образом, что существует изометрический изоморфизм из X на плотное подмножество Z , то Z изометрически изоморфно Y . Это банахово пространство Y является пополнением нормированного пространства X. , Лежащее в основе метрики пространства для Y такого же , как метрики завершения X , с векторным пространством операций , предоставленные из X в Y . Пополнение X часто обозначается как .${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$

Общая теория [ править ]

Линейные операторы, изоморфизмы [ править ]

Если X и Y - нормированные пространства над одним и тем же основным полем K , множество всех непрерывных K- линейных отображений T  : X → Y обозначается B ( X , Y ) . В бесконечномерных пространствах не все линейные отображения непрерывны. Линейное отображение из нормированного пространства X в другое нормированное пространство непрерывно тогда и только тогда , когда она ограничена на замкнутом единичном шаре в X . Таким образом, векторное пространство B ( X , Y )можно задать операторную норму

${\ Displaystyle \ | T \ | = \ sup \ left \ {\ | Tx \ | _ {Y} \ mid x \ in X, \ \ | x \ | _ {X} \ leq 1 \ right \}.}$

Для банахова пространства Y пространство B ( X , Y ) является банаховым пространством относительно этой нормы.

Если X - банахово пространство, пространство B ( X ) = B ( X , X ) образует унитальную банахову алгебру ; операция умножения задается композицией линейных отображений.

Если X и Y - нормированные пространства, они являются изоморфными нормированными пространствами, если существует линейная биекция T  : X → Y такая, что T и его обратный T ⁻¹ непрерывны. Если одно из двух пространств X или Y является полным (или рефлексивным , сепарабельным и т. Д.) , То также и другое пространство. Два нормированные пространства Х и Y являются изометрически изоморфными , если кроме того, Т является изометрией , т.е. || Т( х ) || = || х || для каждого х в X . Расстояние Банаха – Мазура d ( X , Y ) между двумя изоморфными, но не изометрическими пространствами X и Y дает меру того, насколько два пространства X и Y различаются.

Основные понятия [ править ]

Декартово произведение X × Y двух нормированных пространств канонически не снабжено нормой. Однако обычно используются несколько эквивалентных норм ^[11], таких как

${\ displaystyle \ | (x, y) \ | _ {1} = \ | x \ | + \ | y \ |, \ qquad \ | (x, y) \ | _ {\ infty} = \ max (\ | х \ |, \ | у \ |)}$

и порождают изоморфные нормированные пространства. В этом смысле произведение X × Y (или прямая сумма X ⊕ Y ) является полным тогда и только тогда, когда два множителя полны.

Если M - замкнутое линейное подпространство нормированного пространства X , существует естественная норма на фактор-пространстве X  /  M ,

${\ displaystyle \ | x + M \ | = \ inf \ limits _ {m \ in M} \ | x + m \ |.}$

Фактор X  /  M является банаховым пространством, когда X полно. ^[12] карта фактора из X на X  /  M , посылая й в X в своем класс х + М , является линейной, на и имеет норму 1 , за исключением того, когда М = Х , и в этом случае фактор является нулевым пространством.

Замкнутое линейное подпространство М из X называется быть дополняемое подпространство в X , если М представляет собой диапазон линейного ограниченного проекции Р из X на М . В этом случае пространство X изоморфна прямой сумме М и Кег ( Р ) , ядро проекции P .

Предположим, что X и Y - банаховы пространства и T ∈ B ( X , Y ) . Там существует каноническое разложение на Т в ^[12]

${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\operatorname {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}$

где первое отображение π является фактор - картой, а вторая карта Т ₁ передает каждый класс х + Кек ( Т ) в факторе к изображению Т ( х ) в Y . Это хорошо определено, потому что все элементы в одном классе имеют одно и то же изображение. Отображение T ₁ является линейной биекцией из X  / Ker ( T ) на образ T ( X ) , обратное к которому не обязательно должно быть ограничено.

Классические пространства [ править ]

Основные примеры ^[13] банаховых пространств включают: L р пространства и их особых случаев, последовательность пространств ℓ ^р , которые состоят из скалярных последовательностей , индексированных N ; среди них, пространство ℓ ¹ из абсолютно суммируемых последовательностей и пространство ℓ ² квадратных суммируемых последовательностей; пространство c ₀ последовательностей, стремящихся к нулю, и пространство ℓ ^∞ ограниченных последовательностей; пространство C ( K ) непрерывных скалярных функций на компактном хаусдорфовом пространстве K, оборудованный максимальной нормой,

${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}$

Согласно теореме Банаха – Мазура каждое банахово пространство изометрически изоморфно подпространству некоторого C ( K ) . ^[14] Для каждого сепарабельного банахового пространства X существует замкнутое подпространство М из л ¹ таким образом, что Х ≅ ℓ ¹ / М . ^[15]

Любое гильбертово пространство служит примером банахова пространства. Гильбертово пространство H на K = R , C полно для нормы вида

${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$

где

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }$

- это внутренний продукт , линейный по первому аргументу, который удовлетворяет следующим условиям:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x,y\in H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\forall x\in H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x&=0.\end{aligned}}}$

Так , например, пространство L ² представляет собой гильбертово пространство.

В Hardy пространства , то пространства Соболева являются примерами банаховых пространств, которые связаны с L ^р пространства и имеет дополнительную структуру. Они важны в различных областях анализа, среди прочего , в гармоническом анализе и уравнениях с частными производными .

Банаховы алгебры [ править ]

Банахова алгебра является пространством Банаха над K = R или C , вместе со структурой алгебры над K , такой , что отображение продукт × ∋ ( , б ) ↦ AB ∈ является непрерывным. Эквивалентную норму на A можно найти так, что || ab || ≤ || а || || б || для всех в , б ∈ A .

Примеры [ править ]

• Банахово пространство C ( K ) с поточечным произведением является банаховой алгеброй.
• Диска алгебра ( D ) состоит из функций , голоморфных в единичном круге открытого D ⊂ C и непрерывной на ее замыкании : D . Дисковая алгебра A ( D ) с максимальной нормой на D является замкнутой подалгеброй в C ( D ) .
• Винер алгебра ( Т ) есть алгебра функций на единичной окружности Т с абсолютно сходящимся рядом Фурье. Через отображение, связывающее функцию на T с последовательностью ее коэффициентов Фурье, эта алгебра изоморфна банаховой алгебре ℓ ¹ ( Z ) , где произведение является сверткой последовательностей.
• Для любого банахова пространства X пространство B ( X ) линейных ограниченных операторов на X с композицией отображений в качестве произведения является банаховой алгеброй.
• С * -алгебра является комплексная банахова алгебра с антилинейный инволюции ↦ ^* такой , что || а ^* а || = || а || ² . Пространство B ( H ) ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве H является фундаментальным примером C * -алгебры. Теорема Гельфанда – Наймарка утверждает, что любая C * -алгебра изометрически изоморфна C * -подалгебре некоторой B ( H ) . Пространство C ( K ) комплексных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве K является примером коммутативной C * -алгебры, где инволюция сопоставляет каждой функции f ее комплексно сопряженную f .     

Двойной пробел [ править ]

Если X - нормированное пространство, а K - лежащее в основе поле ( действительное или комплексное число), непрерывное двойственное пространство - это пространство непрерывных линейных отображений из X в K или непрерывных линейных функционалов . Обозначение для непрерывного двойственного в этой статье : X  ′ = B ( X , K ) . ^[16] Поскольку K - банахово пространство (с использованием абсолютного значения в качестве нормы), двойственное X  ′банахово пространство для любого нормированного пространства X .

Основным инструментом доказательства существования непрерывных линейных функционалов является теорема Хана – Банаха .

Теорема Хана – Банаха. Пусть Х является векторное пространство над полем K = R , C . Пусть дальше

• Y ⊆ X - линейное подпространство ,
• p  : X → R - сублинейная функция и
•  F   : Y → K быть линейным функционал такчто Ка (  е  ( у )) ≤ р ( у ) для всех у в Y .

Тогда существует линейный функционал F  : X → K такой, что

${\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{and}}\quad \forall x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}$

В частности, любой непрерывный линейный функционал на подпространстве нормированного пространства можно непрерывно продолжить на все пространство без увеличения нормы функционала. ^[17] Важным частным случаем является следующий: для каждого вектора x в нормированном пространстве X существует непрерывный линейный функционал f на X такой, что  

${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X'}\leq 1.}$

Когда x не равен вектору 0 , функционал f должен иметь норму, равную единице, и называется нормирующим функционалом для x .  

Теорема Хана – Банаха об отделимости утверждает, что два непересекающихся непустых выпуклых множества в вещественном банаховом пространстве, одно из которых открыто, можно разделить замкнутой аффинной гиперплоскостью . Открытое выпуклое множество лежит строго по одну сторону от гиперплоскости, второе выпуклое множество лежит по другую сторону, но может касаться гиперплоскости. ^[18]

Подмножество S в банаховом пространстве X является общей , если линейная оболочка из S является плотным в X . Подмножество S тотально в X тогда и только тогда, когда единственный непрерывный линейный функционал, обращающийся в нуль на S, является 0- функционалом: эта эквивалентность следует из теоремы Хана – Банаха.

Если Х есть прямая сумма двух замкнутых линейных подпространств М и N , то сопряженное X  ' в X изоморфна прямой сумме двойников M и N . ^[19] Если M - замкнутое линейное подпространство в X , можно связать ортогональный M в двойственном,

${\displaystyle M^{\perp }=\left\{x'\in X':x'(m)=0,\ \forall m\in M\right\}.}$

Ортогональное M ^⊥ является замкнутым линейным подпространством двойственного. Двойник к M изометрически изоморфен X  ′ /  M ^⊥ . Двойник к X  /  M изометрически изоморфен M ^⊥ . ^[20]

Двойственное к сепарабельному банахову пространству не обязательно должно быть сепарабельным, но:

Теорема. ^[21] Пусть X - нормированное пространство. Если X  ' является разъемным , тем X отделимо.

Когда Х  ' отделимы, вышеуказанный критерий для совокупности может быть использован для доказательства существования счетного общего подмножества в X .

Слабые топологии [ править ]

Слабой топологии на банаховом пространстве X является грубая топология на X , для которой все элементы х  ' в непрерывном сопряженном пространстве X  ' непрерывны. Таким образом, нормальная топология более тонкая, чем слабая. Из теоремы Хана – Банаха об отделимости следует, что слабая топология хаусдорфова , и что замкнутое по норме выпуклое подмножество банахова пространства также является слабо замкнутым. ^[22] Непрерывное по норме линейное отображение между двумя банаховыми пространствами X и Y также является слабо непрерывным., Т.е. непрерывно из слабой топологии X в том , что из Y . ^[23]

Если X бесконечномерно, существуют линейные отображения, которые не являются непрерывными. Пространство X ^* всех линейных отображений из X в подстилающей поля K (это пространство X ^* называется алгебраически сопряженное пространство , чтобы отличить его от X  ' ) также индуцирует топологию на X , которая является более тонкой , чем в слабой топологии, и многое реже используется в функциональном анализе.

На сопряженном пространстве X  ′ существует топология более слабая, чем слабая топология X  ′ , называемая слабой * топологией . Это грубейшая топология на X  ′, для которой все оценочные отображения x ′ ∈  X  ′ → x ′ ( x ), x  ∈  X , непрерывны. Его важность проистекает из теоремы Банаха – Алаоглу .

Теорема Банаха – Алаоглу. Пусть X - нормированное векторное пространство . Тогда замкнутый единичный шар B  ′ = { x ′ ∈ X  ′: || х ′ || ≤ 1} двойственного пространства компактно в слабой * топологии.

Теорема Банаха – Алаоглу зависит от теоремы Тихонова о бесконечных произведениях компактных пространств. Когда X отделимо, единичный шар B  ′ дуального является метризуемым компактом в слабой * топологии. ^[24]

Примеры двойных пробелов [ править ]

Двойственный элемент c ₀ изометрически изоморфен ℓ ¹ : для любого ограниченного линейного функционала f на c ₀ существует единственный элемент y = { y _n } ∈ ℓ ¹ такой, что  

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$

Сопряженное л ¹ изометрически изоморфно л ^∞ . Двойник к L p ([0, 1]) изометрически изоморфен L ^q ([0, 1]), когда 1 ≤ p <∞ и 1/п + 1/q= 1 .

Для любого вектора y в гильбертовом пространстве H отображение

${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$

определяет непрерывный линейный функционал ф _у на Н . В Рисса теорема о представлении гласит , что каждый непрерывный линейный функционал на Н имеет вид ф _у для однозначно определенного вектора у в H . Отображение y ∈ H →   f _y является антилинейной изометрической биекцией H на двойственное ему H  ′ . Когда скаляры действительны, это отображение является изометрическим изоморфизмом.     

Когда K - компактное хаусдорфово топологическое пространство, двойственное M ( K ) к C ( K ) является пространством мер Радона в смысле Бурбаки. ^[25] Подмножество P ( K ) в M ( K ), состоящее из неотрицательных мер массы 1 ( вероятностных мер ), является выпуклым w * -замкнутым подмножеством единичного шара в M ( K ) . В крайних точках из P ( K ) являютсяДираковские меры по K . Множество мер Дирака на К , наделенное ш * -топологии, является гомеоморфно к K .

Теорема Банаха – Стоуна. Если К и L являются бикомпакты и если С ( К ) и С ( Л ) изометрически изоморфны, то топологические пространства K и L являются гомеоморфно . ^{[26] [27]}

Результат был продлен Amir ^[28] и Cambern ^[29] на случай , когда мультипликативная Банаха-Мазура между C ( K ) и C ( L ) является <2 . Теорема больше не верна, когда расстояние = 2 . ^[30]

В коммутативной банаховой алгебре С ( К ) , то максимальные идеалы являются именно ядрами Дирака Весов на К ,

${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}$

В более общем смысле, согласно теореме Гельфанда – Мазура , максимальные идеалы унитальной коммутативной банаховой алгебры можно отождествить с ее характерами - не просто как множества, но как топологические пространства: первые с топологией оболочки-ядра, а вторые с топологией w * -топология. В этом отождествлении максимальное идеальное пространство можно рассматривать как aw * -компактное подмножество единичного шара в двойственном A  ' .

Теорема. Если K является Бикомпакт, то пространство максимальных идеалов Ξ банаховой алгебры C ( K ) является гомеоморфно к K . ^[26]

Не каждый унитальная коммутативная банахова алгебра имеет вид С ( К ) для некоторого бикомпакта К . Однако это утверждение верно, если поместить C ( K ) в меньшую категорию коммутативных C * -алгебр . Теорема Гельфанда о представлении коммутативных C * -алгебр утверждает, что каждая коммутативная унитальная C * -алгебра A изометрически изоморфна пространству C ( K ) . ^[31] Хаусдорфово компактное пространство K здесь снова является пространством максимальных идеалов, также называемым пространством максимальных идеалов.Спектр из А в С * -алгебре контексте.

Двусторонний [ править ]

Если Х представляет собой нормированное пространство, то (непрерывный) двойные Х  '' двойственного X  ' называется бидуальным , или второй сопряженные из X . Для каждого нормированного пространства X существует естественное отображение

${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\forall x\in X,\forall f\in X'\end{cases}}}$

Это определяет F _X ( x ) как непрерывный линейный функционал на X  ′ , т. Е. Элемент X  ′ ′ . Отображение F _X  : x → F _X ( x ) является линейным отображением из X в X  ′ ′ . Как следствие существования нормирующего функционала f для каждого x в X , это отображение F _X изометрично, а значит, инъективно .  

Например, сопряженное X = C ₀ идентифицируется с л ¹ , и сопряженное л ¹ идентифицируется с л ^∞ , пространство ограниченных последовательностей скалярных. При этих отождествлениях F _X является отображением включения из c ₀ в ℓ ^∞ . Он действительно изометрический, но не на.

Если F _X является сюръективным , то нормированное пространство X называется рефлексивным (см ниже ). Будучи двойственным к нормированному пространству, двузначное X  ′ ′ полно, следовательно, каждое рефлексивное нормированное пространство является банаховым пространством.

Используя изометрическое вложение F _X , принято рассматривать нормированное пространство X как подмножество его двузначного. Когда X - банахово пространство, оно рассматривается как замкнутое линейное подпространство в X  ′ ′ . Если X не рефлексивно, единичный шар X является собственным подмножеством единичного шара X  ′ ′ . Теорема Голдстайна утверждает, что единичный шар нормированного пространства слабо * -плотен в единичном шаре двузначного числа. Другими словами, для каждого x  ′ ′ в бидуале существует сеть { x _j } в X чтобы

${\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\in X'.}$

Сеть может быть заменена слабо * -сходящейся последовательностью, когда двойственное X  ' отделимо. С другой стороны, элементы бидуальных из л ¹ , которые не являются в л ¹ не может быть слабой * -пределом последовательностей в л ¹ , так как ℓ ¹ является слабо секвенциально полно .

Теоремы Банаха [ править ]

Вот основные общие результаты о банаховых пространствах, которые восходят к временам книги Банаха ( Banach (1932) ) и связаны с теоремой Бэра о категориях . Согласно этой теореме полное метрическое пространство (такое как банахово пространство, пространство Фреше или F-пространство ) не может быть равно объединению счетного числа замкнутых подмножеств с пустыми внутренностями . Следовательно, банахово пространство не может быть объединением счетного числа замкнутых подпространств, если оно уже не равно одному из них; банахово пространство со счетным базисом Гамеля конечномерно.

Теорема Банаха – Штейнгауза. Пусть X - банахово пространство, а Y - нормированное векторное пространство . Предположимчто F представляет собой совокупность непрерывных линейных операторов из X в Y . Принцип равномерной ограниченности утверждаетчто если для всех х в X мы имеем вир _{T ∈ F} || Т ( х ) || _Y <∞ , то sup _{T ∈ F} || Т || _Y <∞ .

Теорема Банаха – Штейнгауза не ограничивается банаховыми пространствами. Он может быть расширен, например , в случае , когда Х представляет собой пространство Фреше , при условии , что вывод изменяется следующим образом : в соответствии с той же гипотезе, существует окрестность U от 0 в X такой , что все Т в F равномерно ограничены на U ,

${\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$

Теорема об открытом отображении. Пусть X и Y - банаховы пространства и T  : X → Y - сюръективный непрерывный линейный оператор, тогда T - открытое отображение.

Следствие. Каждый взаимно однозначный ограниченный линейный оператор из банахова пространства в банахово пространство является изоморфизмом.

Первая теорема об изоморфизме банаховых пространств. Предположим, что X и Y - банаховы пространства и T ∈ B ( X , Y ) . Предположим далее , что диапазон Т замкнуто в Y . Тогда X / Ker ( T ) изоморфно T ( X ) .

Этот результат является прямым следствием предыдущей теоремы об изоморфизме Банаха и канонической факторизации ограниченных линейных отображений.

Следствие. Если банахово пространство X является внутренней прямой суммой замкнутых подпространств M ₁ , ..., M _n , то X изоморфно M ₁ ⊕ ... ⊕ M _n .

Это еще одно следствие теоремы Банаха об изоморфизме, примененное к непрерывной биекции из M ₁ ⊕ ... ⊕ M _n на X, отправляющей ( m ₁ , ..., m _n ) в сумму m ₁ + ... + m _n .

Теорема о замкнутом графе. Пусть T  : X → Y - линейное отображение между банаховыми пространствами. График T замкнут в X × Y тогда и только тогда, когда T непрерывен.

Рефлексивность [ править ]

Нормированное пространство X называется рефлексивным, если естественное отображение

${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\forall x\in X,\forall f\in X'\end{cases}}}$

сюръективно. Рефлексивные нормированные пространства - это банаховы пространства.

Теорема. Если X - рефлексивное банахово пространство, каждое замкнутое подпространство X и каждое фактор-пространство X рефлексивны.

Это следствие теоремы Хана – Банаха. Далее, по теореме об открытом отображении, если существует ограниченный линейный оператор из банахова пространства X на банахово пространство Y , то Y рефлексивен.

Теорема. Если X - банахово пространство, то X рефлексивно тогда и только тогда, когда X  ′ рефлексивно.

Следствие. Пусть X - рефлексивное банахово пространство. Тогда X является отделимы тогда и только тогда , когда X  ' отделимо.

В самом деле, если двойственное Y  ′ банахова пространства Y сепарабельно, то Y сепарабельно. Если X рефлексивно и отделимо, то двойственное к X  ′ сепарабельно, поэтому X  ′ сепарабельно.

Теорема. Предположим, что X ₁ , ..., X _n - нормированные пространства и X = X ₁ ⊕ ... ⊕ X _n . Тогда X рефлексивно тогда и только тогда, когда каждое X _j рефлексивно.

Гильбертовы пространства рефлексивны. Пространства L ^p рефлексивны, когда 1 < p <∞ . В более общем смысле равномерно выпуклые пространства рефлексивны по теореме Мильмана – Петтиса . Пространства c ₀ , ℓ ¹ , L ¹ ([0, 1]), C ([0, 1]) не рефлексивны. В этих примерах нерефлексивных пространства X , то бидуальный X  '' является «гораздо больше» , чем X . А именно, при естественном изометрическом вложении X в X  ′ ′заданное теоремой Хана – Банаха, фактор-группа X  ′ ′ /  X бесконечномерна и даже неразделима. Однако Роберт С. Джеймс построил пример ^[32] нерефлексивного пространства, обычно называемого « пространством Джеймса » и обозначаемого J , ^[33], такого, что фактор J  ′ ′ /  J является одномерным. Более того, это пространство J изометрически изоморфно своему бидуалу.

Теорема. Банахово пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда его единичный шар компактен в слабой топологии .

Когда X рефлексивно, то отсюда следует , что все замкнутые и ограниченные выпуклые подмножества из X слабо компактны. В гильбертовом пространстве H слабая компактность единичного шара очень часто используется следующим образом: каждая ограниченная последовательность в H имеет слабо сходящиеся подпоследовательности.

Слабая компактность единичного шара предоставляет инструмент для поиска решений в рефлексивных пространствах некоторых задач оптимизации . Например, каждая выпуклая непрерывная функция на единичном шаре B рефлексивного пространства достигает своего минимума в некоторой точке B .

Как частный случай предыдущего результата, когда X является рефлексивным пространством над R , каждый непрерывный линейный функционал f в X  ' достигает своего максимума || f  || на единичном шаре X . Следующая теорема Роберта С. Джеймса дает обратное утверждение.  

Теорема Джеймса. Для банахова пространства следующие два свойства эквивалентны:

• X рефлексивен.
• для всех f в X  ′ существует x в X с || х || ≤ 1 , так что f  ( x ) = || f  ||.   

Теорема может быть расширена, чтобы дать характеристику слабо компактных выпуклых множеств.

На каждом нерефлексивном банаховом пространстве X существуют непрерывные линейные функционалы, не достигающие нормы . Тем не менее, епископ - Фелпс теорема ^[34] утверждает , что норма-достижения функционалы нормы плотны в двойственной X  ' в X .

Слабые сходимости последовательностей [ править ]

Последовательность { х _п } в банаховом пространстве X есть слабо сходится к вектору х ∈ Х , если F  ( х _п ) сходится к F  ( х ) для любого непрерывного линейного функционала F в двойном X  ' . Последовательность { x _n } является слабо последовательностью Коши, если f  ( x _n ) сходится к скалярному пределу L (  f      ) для любого f из X  ′ . Последовательность {  е _п  } в сопряженном X  ' является слабо * сходится к функциональным е   ∈ X  ' , если F _п  ( х ) сходится к F  ( х ) для каждого х в X . Слабые последовательности Коши, слабо сходящиеся и слабо * сходящиеся последовательности ограничены по норме как следствие теоремы Банаха – Штейнгауза .     

Когда последовательность { x _n } в X является слабо последовательностью Коши, предел L выше определяет ограниченный линейный функционал на двойственном X  ' , т. Е. Элемент L двузначного числа X , и L является пределом { x _n } в слабой * -топологии бидуала. Банахово пространство X является слабо секвенциально полным, если каждая слабо сходящаяся в X последовательность Коши . Из предыдущего обсуждения следует, что рефлексивные пространства слабо секвенциально полны.

Теорема. ^[35] Для любой меры µ пространство L ¹ ( µ ) слабо секвенциально полно.

Ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве - простой пример слабо сходящейся последовательности с пределом, равным вектору 0 . Единичный вектор основа из л ^р , 1 < р <∞ , или с ₀ , является еще одним примером слабо последовательности нуля , т.е. последовательности , которая слабо сходится к 0 . Для каждой слабо нулевой последовательности в банаховом пространстве существует последовательность выпуклых комбинаций векторов из данной последовательности, сходящаяся по норме к 0 . ^[36]

Единичный вектор основа л ¹ не является слабо Коши. Слабо последовательности Коши в ℓ ¹ слабо сходятся, поскольку L ¹ -пространства слабо секвенциально полны. На самом деле, слабо сходящиеся последовательности в л ¹ являются нормой сходится. ^[37] Это означает, что ℓ ¹ удовлетворяет свойству Шура .

Результаты на основе ℓ ¹ [ править ]

Слабосвязанные последовательности Кошей и ℓ ¹ основание являются противоположными случаями дихотомии , установленной в следующем глубоком результате Х. П. Rosenthal. ^[38]

Теорема. ^[39] Пусть { x _n } - ограниченная последовательность в банаховом пространстве. Либо { х _п } имеет слабо Коши подпоследовательность, или оно допускает подпоследовательность эквивалент к стандартной орте основе л ¹ .

Дополнение к этому результату принадлежит Odell and Rosenthal (1975).

Теорема. ^[40] Пусть X - сепарабельное банахово пространство. Следующие варианты эквивалентны:

• Пространство X не содержит замкнутого подпространства, изоморфного ℓ ¹ .
• Каждый элемент бидуальных X  '' является слабым * -пределом последовательности { х _п } в X .

По теореме Goldstine, каждый элемент единичного шара B  '' из X  ' слабо * -предел сети в единичном шаре X . Когда Й не содержит л ¹ , каждый элемент из B  '' является слабым * -пределом из последовательности в единичном шаре X . ^[41]

Когда банахово пространство X сепарабельно, единичный шар двойственного X  ′ , снабженный слабой * -топологией, является метризуемым компактным пространством K , ^[24] и каждый элемент x  ′ ′ в двузначном X  ′ ′ определяет ограниченный функция на K :

${\displaystyle x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.}$

Эта функция является непрерывной для компактной топологии K тогда и только тогда, когда x  ′ ′ действительно находится в X , рассматриваемом как подмножество X  ′ ′ . Предположим , кроме того , для остальной части пункта , что X не содержит л ¹ . Согласно предыдущему результату Оделла и Розенталя, функция x  ′ ′ является поточечным пределом на K последовательности { x _n } ⊂ X непрерывных функций на K , следовательно, это функция первого класса Бэра на K. Единичный шар бидуального является точечно компактным подмножеством первого класса Бэра на K . ^[42]

Последовательности, слабая и слабая * компактность [ править ]

Когда X сепарабельно, единичный шар двойственного является слабым * -компактным по Банаху – Алаоглу и метризуемым для слабой * топологии ^[24], следовательно, любая ограниченная последовательность в двойственном имеет слабо * сходящиеся подпоследовательности. Это применимо к сепарабельным рефлексивным пространствам, но в этом случае верно больше, как указано ниже.

Слабая топология банахова пространства X метризуема тогда и только тогда, когда X конечномерно. ^[43] Если двойственное X  ′ сепарабельно, слабая топология единичного шара X метризуема. В частности, это относится к сепарабельным рефлексивным банаховым пространствам. Хотя слабая топология единичного шара, вообще говоря, не метризуема, слабую компактность можно охарактеризовать с помощью последовательностей.

Теорема Эберлейна – Шмулиана . ^[44] Множество A в банаховом пространстве относительно слабо компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательность { a _n } в A имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.

Банахово пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая ограниченная последовательность в X имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. ^[45]

Слабо компактное подмножество в л ¹ является нормой-компактным. Действительно, всякая последовательность А имеет слабо сходящиеся подпоследовательности Эберлейного-Шмульян, которые являются норма сходящегося свойством Шуру л ¹ .

Базы Шаудера [ править ]

Шаудер базис в банаховом пространстве X представляет собой последовательность { е _п } _{п  ≥ 0} векторов в X со свойством , что для любого вектора х в X , существуют однозначно определенные скаляры { х _п } _{п  ≥ 0} в зависимости от х , таких , что

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}$

Банаховы пространства с базисом Шаудера обязательно отделимы , потому что счетное множество конечных линейных комбинаций с рациональными коэффициентами (скажем) плотно.

Это следует из теоремы Банаха-Штейнгауза , что линейные отображения { Р _п } равномерно ограничены некоторой константой С . Пусть { e^∗
_n} Обозначит функционалы, правопреемник к каждой координате х в X координаты х _п о х в указанном выше разложении. Их называют биортогональными функционалами . Когда базисные векторы имеют норму 1 , координатные функционалы { e^∗
_n} Имеет норму ≤ 2 C в двойственном X .

Большинство классических сепарабельных пространств имеют явные базы. Система Хаара { h _n } является базисом для L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p <∞ . Тригонометрическая система является базисом в L ^р ( Т ) при 1 < р <∞ . Система Шаудера является базисом в пространстве C ([0, 1]) . ^[46] Вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра A ( D ) базис ^[47]оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев не показал в 1974 году, что A ( D ) допускает основу, построенную на системе Франклина . ^[48]

Поскольку каждый вектор x в банаховом пространстве X с базисом является пределом P _n ( x ) , с P _n конечного ранга и равномерно ограниченным, пространство X удовлетворяет свойству ограниченной аппроксимации . Первый пример Энфло пространства, не обладающего свойством аппроксимации, был в то же время первым примером сепарабельного банахова пространства без базиса Шаудера. ^[49]

Роберт С. Джеймс охарактеризовал рефлексивность в банаховых пространствах с базисом: пространство X с базисом Шаудера рефлексивно тогда и только тогда, когда базис одновременно сжимающийся и ограниченно полный . ^[50] В этом случае биортогональных функционалы образуют базис двойственное X .

Тензорный продукт [ править ]

Пусть X и Y два K -векторных пространства. Тензорное произведение X ⊗ Y из X и Y представляет собой К -векторному пространству Z с отображением билинейной T  : X × Y → Z , который имеет следующее универсальное свойство :

Если Т ₁  : Х × Y → Z ₁ является любой билинейное отображение в K -векторных пространство Z ₁ , то существует единственное линейное отображение F   : Z → Z ₁ таким образом, что Т ₁ = F ∘ Т . 

Образ под T пары ( x , y ) в X × Y обозначается x ⊗ y и называется простым тензором . Каждый элемент z в X ⊗ Y является конечной суммой таких простых тензоров.

Существуют различные нормы, которые могут быть помещены в тензорное произведение лежащих в основе векторных пространств, в том числе проективная кросс-норма и инъективная кросс-норма, введенные А. Гротендиком в 1955 году ^[51].

В общем случае тензорное произведение полных пространств снова не является полным. При работе с банаховыми пространствами принято говорить, что проективное тензорное произведение ^[52] двух банаховых пространств X и Y является пополнением алгебраического тензорного произведения X ⊗ Y, снабженного проективной тензорной нормой, и аналогично для инъективного тензора продукт ^[53] . Гротендик доказал, в частности, что ^[54]${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}}$

где K - компактное хаусдорфово пространство, C ( K , Y ) - банахово пространство непрерывных функций из K в Y и L ¹ ([0, 1], Y ) - пространство измеримых по Бохнеру и интегрируемых функций из [0, 1 ] в Y , причем изоморфизмы изометричны. Два приведенных выше изоморфизма являются соответствующими расширениями карты, переводящей тензор f   ⊗  y в вектор-функцию s ∈ K →   f  ( s ) y ∈ Y .

Тензорные произведения и свойство аппроксимации [ править ]

Пусть X - банахово пространство. Тензорное произведение изометрически отождествляется с замыканием в B ( X ) множества операторов конечного ранга. Когда X обладает свойством аппроксимации , это замыкание совпадает с пространством компактных операторов на X .${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$

Для любого банахова пространства Y существует линейное отображение с естественной нормой 1

${\displaystyle Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$

полученное расширением тождественного отображения алгебраического тензорного произведения. Гротендик связанного с проблемой аппроксимации к вопросу о том, является ли один-к-одному , когда эта карта Y является сопряженным X . А именно, для любого банахова пространства X отображение

${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$

взаимно однозначно тогда и только тогда, когда X обладает свойством аппроксимации. ^[55]

Гротендик предположил, что и должны быть разными, если X и Y бесконечномерные банаховы пространства. Это было опровергнуто Жилем Пизье в 1983 г. ^[56] Пизье построил бесконечномерное банахово пространство X такое, что и равны. Более того, как и в примере Энфло , это пространство X - это «сделанное вручную» пространство, которое не обладает свойством аппроксимации. С другой стороны, Шанковский доказал, что классическое пространство B (ℓ ² ) не обладает свойством аппроксимации. ^[57]${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$

Некоторые результаты классификации [ править ]

Характеризации гильбертова пространства среди банаховых пространств [ править ]

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы норма банахова пространства X была ассоциирована со скалярным произведением, является тождество параллелограмма :

${\displaystyle \forall x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).}$

Отсюда, например, следует, что пространство Лебега L ^p ([0, 1]) является гильбертовым пространством только тогда, когда p = 2 . Если эта идентичность удовлетворяется, связанный внутренний продукт задается идентичностью поляризации . В случае реальных скаляров это дает:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$

Для сложных скаляров, определяющих внутреннее произведение так, чтобы оно было C- линейным по x и антилинейным по y , тождество поляризации дает:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).}$

Чтобы убедиться, что закона параллелограмма достаточно, в реальном случае наблюдают, что <  x , y  > симметрично, а в сложном случае - что он удовлетворяет свойству эрмитовой симметрии и <  ix , y  > = i  <  x , y  > . Из закона параллелограмма следует, что <  x , y  > аддитивно по x . Отсюда следует, что она линейна по рациональным числам, а значит, линейна по непрерывности.

Доступны несколько характеристик пространств, изоморфных (а не изометричных) гильбертовым пространствам. Закон параллелограмма может быть расширен более чем на два вектора и ослаблен введением двустороннего неравенства с константой c ≥ 1 : Квапень доказал, что если

${\displaystyle c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}}$

для любого целого числа n и всех семейств векторов { x ₁ , ..., x _n } ⊂ X банахово пространство X изоморфно гильбертову пространству. ^[58] Здесь Ave _± обозначает среднее значение по 2 ⁿ возможным вариантам выбора знаков ± 1 . В той же статье Квапень доказал, что справедливость банаховозначной теоремы Парсеваля для преобразования Фурье характеризует банаховы пространства, изоморфные гильбертовым пространствам.

Линденштраус и Цафрири доказали, что банахово пространство, в котором каждое замкнутое линейное подпространство дополняется (то есть является образом ограниченного линейного проектора), изоморфно гильбертову пространству. ^[59] Доказательство опирается на теорему Дворецкого о евклидовых сечениях многомерных центрально-симметричных выпуклых тел. Другими словами, теорема Дворецкого утверждает, что для любого целого n любое конечномерное нормированное пространство с размерностью, достаточно большой по сравнению с n , содержит подпространства, почти изометричные n -мерному евклидову пространству.

Следующий результат дает решение так называемой задачи об однородном пространстве . Бесконечномерное банахово пространство X называется однородным, если оно изоморфно всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам. Банахово пространство, изоморфное ℓ ² , однородно, и Банах требовал обратного. ^[60]

Теорема. ^[61] Банахово пространство, изоморфное всем своим бесконечномерным замкнутым подпространствам, изоморфно сепарабельному гильбертову пространству.

Бесконечномерное банахово пространство наследственно неразложимо, если никакое его подпространство не может быть изоморфно прямой сумме двух бесконечномерных банаховых пространств. Теорема о дихотомии Гауэрса ^[61] утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство X содержит либо подпространство Y с безусловным базисом , либо наследственно неразложимое подпространство Z , и, в частности, Z не изоморфно своим замкнутым гиперплоскостям. ^[62] Если X однороден, значит, он должен иметь безусловную основу. Тогда из частного решения, полученного Коморовским иТомчак – Ягерманн , для пространств с безусловным базисом ^[63] , X изоморфно ℓ ² .

Метрическая классификация [ править ]

Если это изометрия из банахова пространства на банахово пространство (где оба и - векторные пространства над ), то теорема Мазура – ​​Улама утверждает, что это должно быть аффинное преобразование. В частности, если это отображает нуль в нуль , то должно быть линейным. Этот результат означает, что метрика в банаховых пространствах, и в более общем плане в нормированных пространствах, полностью отражает их линейную структуру.${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(0_{X})=0_{Y}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

Топологическая классификация [ править ]

Конечномерные банаховы пространства гомеоморфны как топологические пространства тогда и только тогда, когда они имеют ту же размерность, что и вещественные векторные пространства.

Теорема Андерсона – Кадека (1965–66) доказывает ^[64], что любые два бесконечномерных сепарабельных банаховых пространства гомеоморфны как топологические пространства. Теорема Кадека была расширена Торунчиком, который доказал ^[65], что любые два банаховых пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характер плотности , минимальную мощность плотного подмножества.

Пространства непрерывных функций [ править ]

Когда два бикомпакты K ₁ и K ₂ являются гомеоморфными , банаховы пространства С ( К ₁ ) и C ( K ₂ ) изометричны. И наоборот, когда K ₁ не гомеоморфен K ₂ , (мультипликативное) расстояние Банаха – Мазура между C ( K ₁ ) и C ( K ₂ ) должно быть больше или равно 2 , см. Выше результаты Амира и Камберна.. Хотя несчетные компактные метрические пространства могут иметь разные типы гомеоморфности, Милютин получил следующий результат: ^[66]

Теорема. ^[67] Пусть K - несчетное компактное метрическое пространство. Тогда C ( K ) изоморфна C ([0, 1]) .

Иная ситуация для счетно бесконечных компактных хаусдорфовых пространств. Каждый счетно бесконечный компакт K гомеоморфен некоторому отрезку порядковых чисел

${\displaystyle \langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}}$

с порядковой топологией , где α - счетно бесконечный ординал. ^[68] Банахово пространство C ( K ) изометрично C (<1, α  >) . Когда α , β - два счетно бесконечных ординала и предполагая, что α ≤ β , пространства C (<1, α  >) и C (<1, β  >) изоморфны тогда и только тогда, когда β < α ^ω . ^[69] Например, банаховы пространства

${\displaystyle C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots }$

взаимно неизоморфны.

Примеры [ править ]

Словарь символов:

• К = R , C ;
• X - компактное хаусдорфово пространство ;
• I - замкнутый и ограниченный интервал [ a , b ] ;
• p , q - действительные числа с 1 < p , q <∞, так что 1/п + 1/q = 1.
• Σ - σ -алгебра множеств;
• Ξ - алгебра множеств (для пространств, требующих только конечной аддитивности, таких как пространство ba );
• μ - мера с вариацией | μ | .

Классические банаховы пространства
	Двойное пространство	Рефлексивный	слабо последовательно завершенный	Норма	Заметки
K n	K n	да	да	${\displaystyle \|x\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}}$	Евклидово пространство
ℓп п	ℓп д	да	да	${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$
ℓп ∞	ℓп 1	да	да	${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \nolimits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|}$
ℓ п	ℓ q	да	да	${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$
ℓ 1	ℓ ∞	Нет	да	${\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|}$
ℓ ∞	ба	Нет	Нет	${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}|x_{i}|}$
c	ℓ 1	Нет	Нет	${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}|x_{i}|}$
c 0	ℓ 1	Нет	Нет	${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}|x_{i}|}$	Изоморфен, но не изометричен c .
bv	ℓ ∞	Нет	да	${\displaystyle \|x\|_{bv}=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|}$	Изометрически изоморфен ℓ 1 .
bv 0	ℓ ∞	Нет	да	${\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|}$	Изометрически изоморфен ℓ 1 .
bs	ба	Нет	Нет	${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|}$	Изометрически изоморфен ℓ ∞ .
CS	ℓ 1	Нет	Нет	${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|}$	Изометрически изоморфен c .
В ( Х , Ξ)	ба (Ξ)	Нет	Нет	${\displaystyle \|f\|_{B}=\sup \nolimits _{x\in X}|f(x)|}$
С ( Х )	rca ( X )	Нет	Нет	${\displaystyle \|x\|_{C(X)}=\max \nolimits _{x\in X}|f(x)|}$
ба (Ξ)	?	Нет	да	${\displaystyle \|\mu \|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }|\mu |(A)}$
ca (Σ)	?	Нет	да	${\displaystyle \|\mu \|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }|\mu |(A)}$	Замкнутое подпространство в ba (Σ) .
rca (Σ)	?	Нет	да	${\displaystyle \|\mu \|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }|\mu |(A)}$	Замкнутое подпространство в ca (Σ) .
L p ( μ )	L q ( μ )	да	да	${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$
L 1 ( мк )	L ∞ ( μ )	Нет	да	${\displaystyle \|f\|_{1}=\int |f|\,d\mu }$	Сопряженное L ∞ ( μ ) , если μ есть σ -конечной .
BV ( I )	?	Нет	да	${\displaystyle \|f\|_{BV}=V_{f}(I)+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)}$	В F  ( I ) представляет собой полное изменение по е
NBV ( I )	?	Нет	да	${\displaystyle \|f\|_{BV}=V_{f}(I)}$	NBV ( I ) состоит из функций BV ( I ), таких что${\displaystyle \lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0}$
AC ( I )	К + L ∞ ( I )	Нет	да	${\displaystyle \|f\|_{BV}=V_{f}(I)+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)}$	Изоморфно пространству Соболева W  1,1 ( I ) .
C n ([ a , b ])	rca ([ a , b ])	Нет	Нет	${\displaystyle \|f\|=\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left|f^{(i)}(x)\right|}$	Изоморфно R n ⊕ C ([ a , b ]) по существу по теореме Тейлора .

Производные [ править ]

В банаховом пространстве можно определить несколько концепций производной. Смотрите статьи о производной Фреше и производной Гато для деталей. Производная Фреше позволяет распространить понятие полной производной на банаховы пространства. Производная Гато позволяет расширить производную по направлению на локально выпуклые топологические векторные пространства . Дифференцируемость по Фреше - более сильное условие, чем дифференцируемость по Гато. Квази-производная является еще одним обобщением производной по направлению , что предполагает более сильное условие , чем дифференцируемость по Гато, но более слабому условии , чем Фреш дифференцируемость.

Обобщения [ править ]

Несколько важных пространств в функциональном анализе, например пространство всех бесконечно часто дифференцируемых функций R → R или пространство всех распределений на R , являются полными, но не являются нормированными векторными пространствами и, следовательно, не банаховыми пространствами. В пространствах Фреше все еще существует полная метрика , а LF-пространства - это полные равномерные векторные пространства, возникающие как пределы пространств Фреше.

См. Также [ править ]

• Пространство (математика)  - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
  • Пространство Фреше  - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
  • Харди космос
  • Гильбертово пространство  - математическое обобщение евклидова пространства до бесконечных измерений
  • L-полу-внутренний продукт  - Обобщение внутренних продуктов, применимое ко всем нормированным пространствам.
  • L p space  - Функциональные пространства, обобщающие конечномерные p-нормальные пространства.
  • Пространство Соболева  - Банахово пространство функций с нормой, объединяющее L ^p -нормы функции и ее производных
• Проблема искажения
• Пространство интерполяции
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство Смита
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Банах, Стефан (1932). Теорье де операции Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 .
• Beauzamy, Bernard (1985) [1982], Введение в банаховы пространства и их геометрию (второе исправленное издание), Северная Голландия..
• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Карозерс, Нил Л. (2005), Краткий курс теории банаховых пространств , Тексты студентов Лондонского математического общества, 64 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xii + 184, ISBN 0-521-84283-2.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Дистел, Джозеф (1984), Последовательности и ряды в банаховых пространствах , Тексты для выпускников по математике, 92 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.  Xii + 261 , ISBN 0-387-90859-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. с помощью WG Bade и RG Bartle (1958), Линейные операторы. I. Общая теория , чистая и прикладная математика, 7 , Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., MR  0117523
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
• Линденштраус, Иорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Тексты для выпускников по математике, 183 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 596, ISBN 0-387-98431-3.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Райан, Раймонд А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Монографии Спрингера по математике, Лондон: Springer-Verlag, стр. Xiv + 225, ISBN 1-85233-437-1.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .
• Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Кембриджские исследования по высшей математике, 25 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xiv + 382, ISBN 0-521-35618-0.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме банаховых пространств .

• "Банахово пространство" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство Банаха» . MathWorld .